2019-2020年高中数学北师大版必修4《二倍角的正弦、余弦和正切》word导学案_图文


2019-2020 年高中数学北师大版必修 4《二倍角的正弦、余弦和正切》 word 导学案
1.能够根据和角的正弦公式、余弦公式、正切公式导出二倍角的正弦公式、余弦公式和 正切公式.
2.能够根据倍角公式得出半角公式,了解倍角公式和半角公式的内在联系. 3.能够使用倍角公式进行简单的三角恒等变换.

2002 年 8 月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角 三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 θ ,大正方形 的面积是 1,小正方形的面积是 ,你能求出 sin2θ -cos2θ 的值吗?

问题 1:二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α = (2)cos 2α =cos2α -

(α 为任意角);

=

-1=1-

(α 为任意角);

(3)tan 2α =

(α ≠

+kπ , 且

α≠+

,k∈Z).

问题 2:半角的正弦、余弦、正切公式

sin =

;cos =

;

tan =

=

=

.

问题 3:如何根据倍角公式导出半角公式?

单 角 和 倍 角 是 相 对 的 ,α 是 的 倍 角 , 在 问 题 1 中 如 果 使 用 这 个 关 系 , 则 得 到

cos2 = ,sin2 = ,把这个式子开方得 cos =±

,sin =±

,再根据同角三角

函 数 关 系 可 得 tan =±

,符号由 所在象限决定.对正切的半角公式又有

tan = =

= = ,这组公式称为半角公式.

问题 4:二倍角公式与和(差)角公式有什么内在联系?

1.sin cos 的值为( ).

A.

B.

C.

D.

2.

等于( ).

A.- cos 1 B. cos 1 C.cos 1-sin 1

3.

=

.

4.请回答《创设情境》中的问题.

D.sin 1-cos 1

直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值 将下列三角函数式进行化简或求值: (1)8sin cos cos cos ; (2) - ; (3)(sin +cos )(sin -cos );
二倍角或半角公式在三角函数中的综合运用 已知 sin α +cos α = ,α ∈(0, ),sin(β - )= ,β ∈( , ). (1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α +2β )的值.

已知角的某种三角函数值求值或角

已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为 tan α ,tan β ,且 α ,β ∈(- , ),则 tan

的值是

.

将下列三角函数式进行化简或求值:

(1)

;

(2)

(0<θ <π ).

已知函数 f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间[ , ]上的最小值和最大值.

已知 tan(α -β )= ,tan β =- ,且 α ,β ∈(0,π ),求 2α -β 的值.

1.已知 sin 2α = ,则 cos2(α + )=( ).

A.

B.

C.

D.

2.若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A= ,则 sin A+cos A 的值为( ).

A.

B.- C.

D.-

3.化简 cos2(θ +15°)+cos2(θ -15°)- cos 2θ =

.

4.函数 f(x)= cos 2x+sin x,求 f(x)在区间[- , ]上的最小值.

(2012 年·四川卷)已知函数 f(x)=cos2 -sin cos - . (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (2)若 f(α )= ,求 sin 2α 的值.

考题变式(我来改编):

答案

第 5 课时 二倍角的正弦、余弦和正切

知识体系梳理

问题 1:(1)2sin α cos α (2)sin2α 2cos2α 2sin2α (3)

问题 2:±

±

±

问题 4:sin(α +β ) cos(α +β ) sin(α -β ) cos(α -β ) tan 2α

tan(α +β ) tan(α -β )

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1.A sin cos = (2sin cos )= sin(2× )= sin = .

2.B ∵0<1< ,∴cos 1>0,∴

=

=

= cos 1.

3. 原式= (

)= tan(2×22.5°)= tan 45°= .

4.解:在 Rt△BCG 中,设|CG|=x,

由于△BCG≌△ABF,所以|BF|=x.

由题意知,|BC|=1,|GF|= ,

而|CG|2+|BG|2=|BC|2,∴x2+( +x)2=1,

∴x= ,∴sin θ =x= , ∴sin2θ -cos2θ =2sin2θ -1=2×( )2-1=- .

重点难点探究

探究一:【解析】(1)原式=4sin cos cos =2sin cos =sin = .

(2)原式= =tan 2α . (3)原式=sin2 -cos2 =-cos = .

【小结】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换,要善于抓住已知条件与目标

之间的结构联系,找到解题的突破口与方向.由二倍角或半角公式可直接求值,注意公式的正

确使用.

探究二:【解析】(1)由题意得(sin α +cos α )2= ,即 1+sin 2α = ,∴sin 2α = .

又 2α ∈(0, ),∴cos 2α =

= ,∴tan 2α = = .

(2)∵β ∈( , ),β - ∈(0, ),sin(β - )= ,

∴cos(β - )= ,

∴sin 2(β - )=2sin(β - )cos(β - )= ,

又 sin 2(β - )=-cos 2β ,∴cos 2β =- ,

又 2β ∈( ,π ),∴sin 2β = .

∵cos2α =

= ,α ∈(0, ),

∴cos α = ,sin α = .

∴cos(α +2β )=cos α cos 2β -sin α sin 2β = ×(- )- × =- .

【小结】在运用二倍角或半角公式进行化简或求值时,要注意角的范围,以免出现多解、

漏解.

探究三:【解析】由韦达定理得,tan α +tan β =-4a,tan α ·tan β =3a+1,

∴tan(α +β )=

=

=,

又∵tan(α +β )=

=,

整理,得 2tan2 +3tan -2=0,

又 α ,β ∈(- , ),∴α +β ∈(-π ,π ),

∴ ∈(- , ),

∴tan =-2 或 tan = .

[问题]tan = 吗?

[结论]tan ≠ ,∵a>1,tan α +tan β =-4a<0,tan α ·tan β =3a+1>0,

∴tan α <0,tan β <0,又由 α ,β ∈(- , ),得 α ,β ∈(- ,0),α +β ∈(-π ,0),则

∈(- ,0).

于是,正确解答如下:

由韦达定理得,a>1,tan α +tan β =-4a<0,tan α ·tan β =3a+1>0,

∴tan α <0,tan β <0. 又∵α ,β ∈(- , ),得 α ,β ∈(- ,0),

∴α +β ∈(-π ,0), ∈(- ,0).

又∵tan(α +β )=

=

= ,tan(α +β )=

=,

整理,得 2tan2 +3tan -2=0,

解得 tan =-2 或 tan = (舍去).

【答案】-2

【小结】一些不能直接求值的三角函数,可通过变形或整体代换,再利用二倍角或半角公

式等进行变形、简化,达到求值的目的.

思维拓展应用

应用一:(1)原式=

=

=

= cos 2x.

(2)因为 0<θ <π ,所以 0< < ,

所以原式=

=

=-cos θ .

应用二:(1)∵f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1=sin 2x-cos 2x= sin(2x- ),

∴函数 f(x)的最小正周期为 =π .

(2)∵f(x)= sin(2x- ) 在区间 [ , ] 上为增函数 ,在区间 [ , ] 上为减函数,又

f( )=0,f( )= ,f( )= sin( - )=- sin =-1,

∴函数 f(x)在区间[ , ]上的最大值为 ,最小值为-1.

应用三:因为 tan 2(α -β )=

=,

所以 tan(2α -β )=tan[2(α -β )+β ]=

=1,

又 tan α =tan[(α -β )+β ]=

=,

因为 α ∈(0,π ),所以 0<α < ,又 <β <π ,所以-π <2α -β <0,所以 2α -β =- .

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1.A cos2(α + )=

= = ,故选 A.

2.A ∵sin 2A=2sin Acos A= ,0<A<π ,∴sin A>0,cos A>0,∴sin A+cos

A=

=

= =.

3.1 cos2(θ +15°)+cos2(θ -15°)- cos 2θ =

+

- cos

2θ =1+ [cos(2θ +30°)+cos(2θ -30°)]- cos 2θ =1+ [cos 2θ cos 30°-sin 2θ sin

30°+cos 2θ cos 30°+sin 2θ sin 30°]- cos 2θ =1+ ×2cos 2θ cos 30°- cos 2θ =1. 4.解:f(x)= cos 2x+sin x= (1-2sin2x)+sin x

=-sin2x+sin x+ =-(sin x- )2+ .

令 t=sin x,则由- ≤x≤ 得,- ≤t≤ ,根据二次函数 y=-(t- )2+ 的性质得当 t=- 时,y 取

最小值- .

全新视角拓展

(1)由已知可得,

f(x)=cos2 -sin cos -

= (1+cos x)- sin x-

= cos(x+ ).

所以 f(x)的最小正周期为 2π ,值域为[- , ].

(2)由(1)知,f(α )= cos(α + )= ,

所以 cos (α + )= .

所以 sin 2α =-cos( +2α )=-cos 2(α + ) =1-2cos2(α + )=1- = .

思维导图构建

±

±

±


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