高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时角度问题课件新人教A版必修5_图文


第一章

解三角形

1.2 应用举例 第2课时 角度问题

学习目标:1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点).2.会 将实际问题转化为解三角形问题(难点).3.能根据题意画出几何图形(易错 点).

[自 主 预 习· 探 新 知]
1.方位角 从指北方向 顺时针 转到目标方向线所成的水平角.如点 B 的方位角为 α(如图 1218 所示).

图 1218 方位角的取值范围:[0°,360°) .

2.视角 从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的 夹角 ,如图1219所示,视 角50° 指的是观察该物体的两端视线张开的角度.

图1219 思考:方位角的范围为什么不是(0,π)?

[提示] 方位角的概念表明,“从正北方向顺时针转到目标方向线所成 的角”,显然方位角的范围应该是[0,2π).

[基础自测] 1.思考辨析 (1)如图1220所示,该角可以说成北偏东110° .( )

图1220

(2)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的
? π? ? 位置关系,其范围均是?0,2? ?.( ? ?

) )

(3)方位角210° 的方向与南偏西30° 的方向一致.(
[答案] (1)× (2)× (3)√

提示:(1)说成南偏东 70° 或东偏南 20° .(2)方位角的范围是[0,2π).

2.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是(

)

【导学号:91432060】 A.α>β C.α+β=90° B.α=β D.α+β=180°

B [由仰角与俯角的水平线平行可知α=β.]

3.在某次高度测量中,在A处测得B点的仰角为60° ,在同一铅垂平面 内测得C点的俯角为70° ,则∠BAC等于( A.10° C.120° B.50° D.130° )

D [如图所示:

∠BAC=130° .]

4.某人从A处出发,沿北偏东60° 行走3 3 公里到B处,再沿正东方向行 走2公里到C处,则A、C两地的距离为________公里. 【导学号:91432061】

7 [如图所示,由题意可知

AB=3 3,BC=2,∠ABC=150° . 由余弦定理得AC2=27+4-2×3 3×2· cos 150° =49,AC=7.所以A、C 两地的距离为7公里.]

[合 作 探 究· 攻 重 难]
角度问题
(1)如图 1221,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站南偏西 40° ,灯塔 B 在观察站南 偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( )

图1221 A.北偏东10° C.南偏东80° B.北偏西10° D.南偏西80°

(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6 m,高为2 3m,那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是(

m,下底长为10 )

【导学号:91432062】 3 A. ,60° 3 C. 3,30° B. 3,60° 3 D. ,30° 3

(1)D (2)B [(1)由条件及图可知,∠A=∠B=40° ,又∠BCD=60° , 所以∠CBD=30° ,所以∠DBA=10° ,因此灯塔A在灯塔B南偏西80° . (2)如图所示,横断面是等腰梯形ABCD,AB=10 AB-CD =6 m,高DE=2 3 m,则AE= =2 m, 2 DE 2 3 ∴tan ∠DAE= = = 3, AE 2 ∴∠DAE=60° .] m,CD

[规律方法] 测量角度问题画示意图的基本步骤

[跟踪训练] 1.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去 动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30° ,风速是20 km/h;水 的流向是正东,流速是20 km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行

的速度的方向为北偏东________,大小为________km/h.

60° 20

3

[如图,∠AOB=60° ,由余弦定理知OC2=

202+202-800cos 120° =1 200,故OC=20 3,∠COY=30° +30° =60° .]

求航向的角度
在海岸A处,发现北偏东45° 方向,距A处( 3 -1)海里的B处有 一艘走私船,在A处北偏西75° 的方向,距离A处2海里的C处的缉私船奉命以 10 3 海里/时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/时的速度从B处

向北偏东30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?

思路探究:①你能根据题意画出示意图吗? ②在△ABC中,能求出BC与∠ABC吗? ③在△BCD中,如何求出∠BCD?

[解] 设缉私船用t小时在D处追上走私船,画出示意图,则有CD= 10 3t,BD=10t,

在△ABC中,∵AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120° , ∴由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC=( 1)×2×cos 120° =6, 3 -1)2+22-2×( 3 -

AC 2 3 2 ∴BC= 6,且sin∠ABC= · sin∠BAC= × = , BC 2 6 2 ∴∠ABC=45° ,∴BC与正北方向成90° 角. ∵∠CBD=90° +30° =120° , 在△BCD中,由正弦定理,得 BD· sin ∠CBD 10tsin 120° 1 sin∠BCD= = = , CD 2 10 3t ∴∠BCD=30° . 即缉私船沿北偏东60° 方向能最快追上走私船.

[规律方法] 1. 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上, 画出表示实际问题的图 形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形, 最后将解得的结果转化为实际问题的解. 2.在解三角形问题中,求某些角的度数时,最好用余弦定理求角.因为 余弦函数在(0,π)上是单调递减的,而正弦函数在(0,π)上不是单调函数,一
? π? 个正弦值可以对应两个角.但角在?0,2?上时,用正、余弦定理皆可. ? ?

[跟踪训练] 2.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60° 方向的B处,两船相距a n

mile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的 3 倍,问甲船应沿 什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少n mile? 【导学号:91432063】

[解] 如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB= θ,乙船行驶距离BC为x n mile, 则AC= 3x, BC· sin 120° 1 由正弦定理得sin θ= = ,而θ<60° , AC 2 ∴θ=30° , ∴∠ACB=30° ,BC=AB=a. ∴甲船应沿北偏东30° 方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行 驶了a n mile.

求解速度问题
[探究问题] 1. 某物流投递员沿一条大路前进, 从 A 到 B, 方位角是 60° , 距离是 4 km, 从 B 到 C,方位角是 120° ,距离是 8 km,从 C 到 D,方位角是 150° ,距离是 3 km,试画出示意图.

提示:如图所示:

2.在探究1中,若投递员想在半小时之内,沿小路直接从A点到C点, 则此人的速度至少是多少?
提示:在上图中,在△ABC中,∠ABC=60° +(180° -120° )=120° ,由 余弦定理得AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos 120° =4 7,则此人的最小速度为 4 7 v= =8 7(km/h). 1 2

3.在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进,10分 钟后某人以16 7 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员,问在C点此人能 否与投递员相遇?
4+8 1 提示:投递员到达C点的时间为t1= = (小时)=30(分钟),追投递 24 2 员的人所用时间由探究2可知 4 7 1 t2= = (小时)=15分钟;由于30>15+10,所以此人在C点能与投 16 7 4 递员相遇.

如图1222,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45° 方向,距A有 9海里的B处,并以20海里每小时的速度沿南偏西15° 方向行驶,若甲船沿南 偏东θ度的方向,并以28海里每小时的速度行驶,恰能在C处追上乙船.问 用多少小时追上乙船,并求sin θ的值.(结果保留根号,无需求近似值) 【导学号:91432064】

图1222

思路探究:根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系,将实际问题 转化为数学问题,运用正、余弦定理解决.

[解] 设用t小时,甲船追上乙船,且在C处相遇, 则在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9, ∠ABC=180° -15° -45° =120° , 由余弦定理得, (28t) =81+(20t)
2 2

? 1? ? - -2×9×20t×? ? 2?, ? ?

即128t2-60t-27=0, 3 9 解得t= 或t=- (舍去), 4 32 ∴AC=21(海里),BC=15(海里).

根据正弦定理, BC· sin∠ABC 5 3 得sin∠BAC= = , AC 14 则cos∠BAC= 75 11 1- 2= . 14 14

又∠ABC=120° ,∠BAC为锐角,∴θ=45° -∠BAC, sin θ=sin(45° -∠BAC) 11 2-5 6 =sin 45° cos∠BAC-cos 45° sin ∠BAC= 28

母题探究:(变条件,变结论)在本例中,若乙船向正南方向行驶,速度 未知,而甲船沿南偏东15° 的方向行驶恰能与乙船相遇,其他条件不变,试 求乙船的速度.

[解] 设乙船的速度为x海里每小时,用t小时甲船追上乙 船,且在C处相遇(如图所示),则在△ABC中,AC=28t,BC =xt,∠CAB=30° ,∠ABC=135° . AC BC 由正弦定理得 = , sin∠ABC sin∠CAB 28t xt 即 = . sin 135° sin 30° 1 28×sin 30° 28×2 所以x= = =14 2(海里每小时). sin 135° 2 2 故乙船的速度为14 2海里每小时.

[规律方法] 解决实际问题应注意的问题 (1)首先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,分析已知与所 求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键最主要的一步. (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,要正确使用正、余 弦定理解决问题.

[当 堂 达 标· 固 双 基]
1.在某测量中,设 A 在 B 的南偏东 34° 27′,则 B 在 A 的( ) 【导学号:91432065】 A.北偏西 34° 27′ C.北偏西 55° 33′ B.北偏东 55° 33′ D.南偏西 34° 27′

A [由方向角的概念,B在A的北偏西34° 27′.]

2.如图1223所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯 塔A在观察站C的北偏东40° ,灯塔B在观察站C的南偏东60° ,则灯塔A在灯塔 B的( )

图1223 A.北偏东5° B.北偏西10° C.南偏东5° D.南偏西10°

B [由题意可知∠ACB=180° -40° -60° =80° .∵AC=BC,∴∠CAB= ∠CBA=50° ,从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10° .]

3.如图1224所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从 D,C两点测得A点仰角分别为α,β(α<β),则点A离地面的高度AB等于( )

图1224 asin αsin β A. sin?β-α? asin αsin β B. cos?β-α? acos αcos β C. sin?β-α? acos αsin β D. cos?β-α?

A [结合图形可知∠DAC=β-α. DC AC 在△ACD中,由正弦定理得 = , sin∠DAC sin α asin α asin α ∴AC= = . sin∠DAC sin?β-α? 在Rt△ABC中, asin αsin β AB=ACsin β= .] sin?β-α?

4.如图 1225 所示,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15° ,向山顶前进 100 m 到达 B 处,又测得 C 对 于山坡的斜度为 45° ,若 CD=50 m,山坡对于地平面的坡度为 θ,则 cos θ 等于( ) 【导学号:91432066】

图 1225
3 A. 2 B. 3 C. 3-1 D. 2-1

AB AC C [在△ABC中,由正弦定理 = , sin 30° sin 135° ∴AC=100 2. AC CD AC· sin 15° 在△ADC中, = ,∴cos θ=sin(θ+90° )= = sin 15° CD sin?θ+90° ? 3-1.]

5.如图1226,某海轮以60海里/小时的速度航行,在A点测得海面上油 井P在南偏东60° ,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30° ,海 轮改为北偏东60° 的航向再行驶80分钟到达C点,求P,C间的距离.

图1226

[解] 因为AB=40,∠BAP=120° ,∠ABP=30° , 所以∠APB=30° ,所以AP=40, 所以BP2=AB2+AP2-2AP· AB· cos 120° =40 +40
2 2

? 1? ? 2 - -2×40×40×? = 40 ×3, ? 2? ? ?

所以BP=40 3. 又∠PBC=90° ,BC=80, 所以PC2=BP2+BC2=(40 3)2+802=11 200, 所以PC=40 7海里.

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