解三角形与三角函数百题狂做!


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三角函数与解三角形百题狂做(目标:突破高考第一大题! )
一、三角函数 1.(2009 山东)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 2.(2009 全国)已知△ABC 中, cot A ? ? 3.(2009 全国)若将函数 y ? tan( ?x ?

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 4

?
4

12 ,则 cos A ? 5

)(? ? 0) 的图像向右平移 1 4
(C)

? ? 个单位长度后,与函数 y ? tan( ?x ? ) 的图像重 6 6
(D)

1 合,则 ? 的最小值为(A) 6

(B)

1 3

1 2

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4.(2009 安徽)已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? , 则 f ( x ) 的单调递增区间是 5.(2009 江西卷文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 6. (2006 四川)下列函数中,图像的一部分如右图所示的是 (A) y ? sin( x ? ) 6

?

(B) y ? sin(2 x ? ? ) (C) y ? cos(4 x ? ) (D) y ? cos(2 x ? ? ) 3 6 6

?

7.已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ) ??
? ?? ? 对称 C.关于点 ? ,? 对称 0 ? ?? ?
D.关于直线 x ?

A.关于点 ? ,? 对称 B.关于直线 x ? 0

?? ??

? ?

? 对称 ?

8.(2009 天津)已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f (x) 的图像向左平移 | ? | 个单

位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( )A 9.(2009 福建)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是

? 2

B

A.-1

3? ? ? C D 8 4 8 1 1 B. ? C. 2 2

D.1

2 2 10.(2009 辽宁)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

11(2009 全国)如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为 3

(D)

? 10 . 设 2

f ? x? ? s i n? x ? ? ,其中 ? ? 0 ,则 f ? x ? 是偶函数的充要条件是( ) ? ?
(A) f ? 0? ? 1(B) f ? 0? ? 0 (C) f
'

?0? ? 1 (D) f ' ? 0? ? 0
.

12.(2009 江苏)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 ) 在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = 13.(2009 湖南)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则 值等于 , AC 的取值范围为
2

AC cos A

.

14.(2009 上海)函数 f ( x) ? 2cos x ? sin 2 x 的最小值是=_______

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2 2

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15. 09 全国) ?ABC 中, ( 在 内角 A、 C 的对边长分别为 a 、b 、c , B、 已知 a ? c ? 2b , sin A s C 3c s sinA , C 且 c o ? o 求b 16.(2009 北京)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 17.(2009 山东卷文)设函数 f(x)=2 sin x cos (1)求 ? .的值;
2

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 5

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(2)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?

2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2
3 2 , b ? ac ,求 B. 2

18.(2009 全国卷)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, cos( A ? C ) ? cos B ? 19.(2009 江西)在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? (1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c . 20.(2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值(Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .

??? ??? ? ?

?
4

) 的值

21.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 sin A ? (I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?
2

5 ,sin 5

B?

10 10

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
2

22、已知函数 f ( x) ? 3 cos x ? 2 cos x sin x ? sin x . (Ⅰ)求 f (x) 的最大值,并求出此时 x 的值; (Ⅱ)写出 f (x) 的单调递增区间. 23、已知函数 f ( x) ? ?1 ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x , (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求函数 f (x) 的单调减区间; 7? 5? (3)画出函数 g ( x) ? f ( x), x ? [? , ] 的图象,由图象研究并写出 g (x) 的对称轴和对称中心.\ 12 12 24、已知函数 f ( x) ? [2sin( x ?

?
3

) ? sin x]cos x ? 3 sin 2 x, x ? R 5? ] ,使不等式 f ( x0 ) ? m 成立,求实数 m 的取值范围. 12

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;(2)若存在 x0 ? [0, 25、设函数 f (x)=2cosx (cosx+ 3 sinx)-1,x∈R

(1)求 f (x)的最小正周期 T;(2)求 f (x)的单调递增区间. 26、已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? 27、已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. 28、已知函数 f ( x) ? sin

, ] 上的值域 12 2

? ?

x x x cos ? cos 2 ? 2. 2 2 2

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(Ⅰ)将函数 f ( x ) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0, ? ?[0, 2? )) 的形式,并指出 f ( x ) 周期; (Ⅱ)求函数 f ( x )在[? ,

17? ] 上的最大值和最小值 12

29.在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点,

已知 A、B 的横坐标分别为 30、已知函数 f ( x) ? 2sin (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

2 2 5 (1)求 tan( ? ? ) 的值; (2)求 ? ? 2? 的值。 ? , 10 5

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; 4 4 4

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?
2

31、已知函数 f ( x) ? 2cos

?x ? 2sin ?xcos ?x ?1( x ? R,? >0) 的最小正周期是 .

? 2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合. 32、已知向量 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) , b ? (1, sin x ? cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b .

?

?

? ?

8 ?π ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值;Ⅱ)若 f (? ) ? ,求 cos 2 ? ? 2? ? 的值. 5 ?4 ?
33、已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ?1( x ? R) (1)求函数 f ( x ) 的周期、对称轴方程; (2)求函数 f ( x ) 单调增区间 34 已知函数 f ( x) ? 4sin ( x ?
2
?

?
4

) ? 4 3 sin 2 x ? (1 ? 2 3) , x 满足
?

?
4

?x?

?
2

,求 f ( x ) 的最大值和最小值
? ?

35、已知 a =(1+ cos 2 x ,1) b =(1, m ? 3 sin 2 x ) x , m ∈R) , ( ,且 f (x) ? a · b . (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)若 f (x) 的最大值是 4,求 m 的值,并说明此时 f (x) 的图象可 由 y ? 2 sin( x ?

?
6

) 的图象经过怎样的变换而得到.

36.已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ( 0 ? ? ? π ,? ? 0 )为偶函数,且函数 y ? f ( x) 图象 的两相邻对称轴间的距离为

π . (Ⅰ)求 2

π ?π? (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位后, f ? ? 的值; 6 ?8?

得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 的单调递减区间. 37、已知函数 f ( x) ? 2 sin (
2

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ? R. (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)若对任意

的 x∈ [

? ?

, ] ,不等式 f(x)>m-3 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2
2 2

38.(2009 重庆卷文)设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos

? x(? ? 0) 的最小正周期为

2? . (Ⅰ)求 ? 3

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的最小正周期. (Ⅱ) 若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 的单调增区间. 39、为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? 个单位长度得到, y ? g ( x) 求 2

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?



A.向左平移

5π 5π 5π 5π 个长度单位 B 向右平移 个长度单位 C 向左平移 个长度单位 D 向右平移 个长度单位 12 12 6 6

二、解三角形 1.在△ABC 中,若 BC= 2 ,AC=2,B=45°,则角 A 等于( (A)60° (B)30° ) (D)30°或 150°

(C)60°或 120°

2. 在△ABC 中, 三个内角 A, C 的对边分别是 a, c, a=2, B, b, 若 b=3, cosC=- (C)4 (D)5 3.在△ABC 中,已知 cos B ?

1 , c 等于( 则 4
)(A)

)

(A)2(B)3

3 2 , sin C ? ,AC=2,那么边 AB 等于( 5 3

5 5 12 20 (B) (C) (D) 4 3 5 9

4.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 B=30°,c=150,b=50 3 ,那么这个 三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形(C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 5. 在△ABC 中, 三个内角 A, C 的对边分别是 a, c, B, b, 如果 A∶B∶C=1∶2∶3, 那么 a∶b∶c 等于( 2∶3 (B)1∶ 3 ∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶ 2 ∶ 3 6.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,B=45°,C=75°,则 b=________. 7.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,b=2 3 ,c=4,则 A=________. 8. 在△ABC 中, 三个内角 A, C 的对边分别是 a, c, 2cosBcosC=1-cosA, B, b, 若 则△ABC 形状是________ 三角形. 9.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=3,b=4,B=60°,则 c=________. 10.在△ABC 中,若 tanA=2,B=45°,BC= 5 ,则 AC=________. 11.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,b=4,C=60°,试解△ABC. 12、在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC= 13、在 △ ABC 中, AB ? 3 , A ? 45? , C ? 75? ,则 BC ? ( A. 3 ? 3 B. 2 C. 2 D. 3 ? 3 )

)(A)1∶

14、设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b. 15、已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) . (1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值; (2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围. 16、在 △ ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.若 a ? 2, 的面积 S . 17.在△ABC 中,已知 AB=3,BC=4,AC= 13 .(1)求角 B 的大小;(2)若 D 是 BC 的中点,求中线 AD 的 长.

C?

π B 2 5 ,cos ? ,求 △ ABC 4 2 5

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18.如图,△OAB 的顶点为 O(0,0),A(5,2)和 B(-9,8),求角 A 的大小. 19.在△ABC 中,已知 BC=a,AC=b,且 a,b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的 两根,2cos(A+B)=1. (1)求角 C 的度数;(2)求 AB 的长;(3)求△ABC 的面积. 20.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b2+c2-a2 =bc,则角 A 等于( ) (A)

π 6

(B)

π 3

(C)

2π 3

(D)

5π 6
A? B C ? cos 其中正确的 2 2

21.在△ABC 中,给出下列关系式:①sin(A+B)=sinC②cos(A+B)=cosC ③ sin 个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

22.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a=3,sinA= ( )(A)4 (B)

2 3 ,sin(A+C)= ,则 b 等于 3 4

8 27 (C)6 (D) 3 8

23.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=3,b=4,sinC=

2 ,则此三角形的面积 3

是( )(A)8 (B)6 (C)4 (D)3 24. 在△ABC 中, 三个内角 A, C 的对边分别是 a, c, B, b, 若(a+b+c)(b+c-a)=3bc, sinA=2sinBcosC, 且 则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形(B)正三角形(C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 25.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a= 2 ,b=2,B=45°, A=________. 26.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a=2,b=3,c= 19 ,则角 C=________. 27.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 b=3,c=4,cosA=

3 ,则此三角形的面积 5

为________. 28.已知△ABC 的顶点 A(1,0),B(0,2),C(4,4),则 cosA=________. 29.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 满足 2B=A+C,且 AB=1,BC=4,那么边 BC 上的中线 AD 的长为 ________. 30.在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? ( )A. 90
0

B. 60

0

C. 135 D. 150

0

0

31.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a=3,b=4,C=60°.(1)求 c;(2)求 sinB. 32.在 ??? C 中,若 a : b : c ? 1 : 2 : 6 ,则最大角的余弦值等于_________________.
? ? 33.在 ??? C 中, a ? 5 , ? ? 105 , C ? 15 ,则此三角形的最大边的长为_______________.
? 34.在 ??? C 中,已知 b ? 3 , c ? 3 3 , ? ? 30 ,则 a ? __________________.

? ? 35.在 ??? C 中, a ? b ? 12 , ? ? 60 , ? ? 45 ,则 a ? __________, b ? _________.

36.在△ABC 中, “a>b”是“sinA>sinB”的__________条件.
? ? 36. ??? C 中, D 在边 ?C 上,且 ?D ? 2 , DC ? 1 , ?? ? 60 , ??DC ? 150 ,求 ?C 的长及 ??? C

的面积.
? 37. (2005 上海)在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,则 ?ABC 的面积 S=_______
王新敞
奎屯 新疆

38. (2005 北京文)在△ABC 中,AC= 3 ,∠A=45° ,∠C=75° ,则 BC 的长为 39 (2005 上海文)在 ?ABC 中,若 A ? 120 ? ,AB=5,BC=7,则 AC=________
王新敞
奎屯 新疆



, 40. (2006 江西文)在锐角 △ ABC 中,角 A B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 sin A ?

2 2 , 3

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(1)求 tan

2

B?C A ? sin 2 的值; (2)若 a ? 2 , S△ABC ? 2 ,求 b 的值. 2 2

41. (2006全国Ⅱ卷文)在 ?ABC中,?B ? 45?, AC ? 10, cos C ? (1) BC ? ?

2 5 ,求 5

(2)若点 D是AB的中点,求中线CD的长度

42.(2007 北京文) 在 △ ABC 中,若 tan A ?

1 ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? _______. 3
π , 3

43. (2007 湖南) △ ABC 中, A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , a ? 1 , 在 角 若 b= 7 ,c ? 3 ,C ? 则B? .

44.(2007 湖南文) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若 a ? 1, c ? A= . 45.(2007 重庆文)在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC= 46.(2007 福建文)(本小题满分 12 分)在△ABC 中,tanA= (I)求角 C 的大小; (II)若 AB 边的长为 17 ,求 BC 边的长 47 在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 48 在△ ABC 中,若

3, C ?

?
3

,则

。 ,tanB=

1 4

3 . 5

a b c ,则△ ABC 是 ? ? cos A cos B cos C
(C)钝角三角形. (D)等腰直角三角形.

(A)直角三角形. (B)等边三角形.

1 3 , cos C ? , AC ? 3 6 ,求△ABC 的面积. 3 3 50、 (2006 天津)在 ?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 1 , cos C ? . (1)求 AB 的值; (2)求 sin ?2 A ? C ? 的值. 4
49. (2005 湖北)在△ABC 中,已知 tan B ? 51.(2007 全国Ⅰ文)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小;(Ⅱ)若 a=3 3 ,c=5,求 b. (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.
a a 在 △ ABC 中, ,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边. ? 2, 52. 2007 上海文) ( )

C?

π B 2 5 , , cos ? 4 2 5

求 △ ABC 的面积 S 53.(2007 浙江文)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C .

1 sin C ,求角 C 的度数. 6 1 54. (2005 湖北文)在△ABC 中,已知 tan B ? 3 , cos C ? , AC ? 3 6 ,求△ABC 的面积. 3
(I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 55. (2005 全国)△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列, cos B ? (Ⅰ)求 cotA+cotC 的值; (Ⅱ)设 BA ? BC ?

3 . 4

3 , 求a ? c 的值. 2 2 56.已知在△ABC 中, A ? B , ta A 与 tan B 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根. Ⅰ 求 tan( A ? B) 的值; Ⅱ 且 n ( ) ( )
若 AB ? 5 ,求 BC 的长. 57、在 ?ABC 中, cos A ?

5 10 , cos B ? .(Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)设 AB ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 5 10

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58、△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且有 sin2C+ 3 cos(A+B)=0,.当 a ? 4, c ? 13 , 求△ABC 的面积。 59、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且

cos B b ?? . cos C 2a ? c sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(I)求角 B 的大小; (II)若 b ? 13,a ? c ? 4 ,求△ABC 的面积. 60 (2009 江西卷) ABC 中,A, B, C 所对的边分别 a, b, c , tan C ? △ (1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c .

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61.(2009 湖北卷文) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A

(Ⅰ)确定角 C 的大小(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

62. ( 2009 四 川 ) 在 ? ABC 中 , A, B 为 锐 角 , 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c , 且

cos A? 2

3 10 (I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a, b, c 的值。 , sB n i? 5 10

63.(全国一) .设 △ ABC 的内角 A,B, C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? 3,
b sin A ? 4 . (Ⅰ)求边长 a ; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l .

64.(全国二) .在 △ ABC 中, cos A ? ?

5 3 , cos B ? . 13 5 ? . 3

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.
65.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ?

(Ⅰ )若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; )若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面 (Ⅱ 积. )若 sin B ? 2sin A ,求 △ ABC 的面积. (Ⅱ 66. (本小题满分 10 分) 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值. (17)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b ? c ? a ? 3bc ,求:
2 2 2

3 c. 5

(Ⅰ)A 的大小;(Ⅱ) 2sin B cos C ? sin( B ? C ) 的值.


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