浙江省湖州市菱湖中学2018_2019学年高二数学12月月考试题


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菱湖中学 2018 学年第一学期 12 月月考
高二数学试题卷

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
1.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,?3) ,点 B(4,?2,1) ,则| AB |? ( )

A. 15

B. 29

C. 34

D. 45

2.与直线 y ? 1 x ?1垂直,且过点 (2, 0) 的直线方程是(



2

A. y ? ?2x ? 4

B. y ? 1 x ?1 2

C. y ? ?2x ? 4

D. y ? 1 x ? 4 2

3.双曲线 C : y2 ? x2 ? 1的渐近线方程为(



4

A. y ? ? 1 x 2

B. y ? ?2x

C. y ? ?x

D. y ? ? 5 x 2

4.已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l2 : 6x ? 8y ?1 ? 0 ,则 l1 与 l2 之间的距离是( )

A. 1 2

B. 3 5

C.1

D. 3

10

5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 位于该双曲线上,线段 PF1 的中

点坐标为(0,2),则双曲线的方程是( )

A.x42-y2=1

B.x2-y42=1

x2 y2 C. 2 - 3 =1

x2 y2 D. 3 - 2 =1

6.圆 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 关于直线 y ? x ?1对称的圆的方程为( )

A. x2 ? ( y ? 3)2 ? 1 B. (x ? 3)2 ? y2 ? 1 C. x2 ? ( y ? 3)2 ? 1 D (x ? 3)2 ? y2 ? 1

7.不等式 2x2-5x-3≥0 成立的一个必要不充分条件是( )

A. 或 B.

C.

D. 或

8.已知直线 2kx-y+1=0 与椭圆恒有公共点,则实数 m 的取值范围( )

A.

B.

C.

D.

1

9.一动圆 P 过定点,且与已知圆 N:相切,则动圆圆心 P 的轨迹方程是

A.

B.

C.

D.

10.在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为矩形, AB ? 2BC , E 是

CD 上一点,若 AE ? 平面 PBD,则 CE 的值为(

)

ED

A.

B.

C.3

D.4

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分)

11. 抛物线 y2=x 的焦点坐标是

,准线方程是



12. 如图,正方形 OABC 的边长为1 cm ,它是水平放置的一

个平面图形的直观图,则原图形的周长是

cm ,原图形

的面积是_______ cm2 . 13. 已知正方体棱长为 2 ,与该正方体所.有.的.棱.都相切的球的表面积

(第 12 题图)

是_________,该正方体的外接球的体积是____________.

14. 一个棱锥的三视图如图,最长侧棱(单位:cm)是

cm,体积是

cm3 .

15.设 l , m , n 表示三条不同的直线,? , ? , ? 表示

三个不同的平面,给出下列四个命题:

①若 l ? ? , m ? l, m ? ? ,则? ? ? ;

②若 m ? ? ,n 是 l 在 ? 内的射影,m ? n ,则 m ? l ; ③若 m 是平面? 的一条斜线,点 A?? ,l 为过点 A 的 一条动直线,则可能有 l ? m 且 l ? ? ; ④若? ? ?,? ? ? ,则 ? // ? .

(第 14 题图)

其中正确的序号是



16.

x2 y2 过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点

F(-c,0)(c>0)作圆

x2+y2=a42的切线,切点为

E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若→OF+→OP=2O→E,则双曲线的离心率为

.

2

17.如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂 直,动点 M 在线段 PQ 上,E,F 分别为 AB,BC 的中点.设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 α ,则 cosα 的最大值为_________.
三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本小题 14 分)(1)求直线 y=x 被圆 x2+(y-2)2=4 截得的弦长;
(2)已知圆 C : x2 ? y2 ? 4x ? 3 ? 0 ,求过点 M (3, 2) 的圆的切线方程。
19.(本小题 15 分)如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, BB1 ? BC ? 1, E 为 D1C1 的中点,连接 ED, EC, EB 和 DB . (1)求证:平面 EDB ?平面 EBC ; (2)求二面角 E ? DB ? C 的正切值。
20.(本小题 15 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直
3

线 OA 与 l 的距离等于 55?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
21.(本小题 15 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一点,AM=2MD, N 为 PC 的中点. (1)证明:MN∥平面 PAB; (2)求直线 BM 与平面 MNC 所成角的正弦值.
22.(本小题 15 分)已知椭圆 E 过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上, 离心率 e=,∠F1AF2 的平分线所在直线为 l. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 Q,求点 Q 的坐标及直线 l 的方程; (Ⅲ)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明 理由.
4

答案:

1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C

11., 12.8, 13.8, 14.,4

15.①②③ 16.

17.

18.(1);(2)x=3 或 3x-4y-1=0

19.(1)略(2) 20.(1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x.
(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t,

由?????yy=2=-4x2x+t, 得 y2+2y-2t=0.

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以 Δ =4+8t≥0,解得 t≥-12.

另一方面,由直线

OA



l

的距离

d=

55,可得|t5|=

1 ,解得 5

t=±1.

因为-1????-12,+∞???,1∈???-12,+∞???, 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.

21.(1)证明:法一、如图,取 PB 中点 G,连接 AG,NG, ∵N 为 PC 的中点,∴NG∥BC,且 NG=,又 AM=,BC=4,且 AD∥BC, ∴AM∥BC,且 AM=BC,则 NG∥AM,且 NG=AM,∴四边形 AMNG 为平行四边形,则 NM∥AG, ∵AG? 平面 PAB,NM?平面 PAB,∴MN∥平面 PAB; 法二、 在△PAC 中,过 N 作 NE⊥AC,垂足为 E,连接 ME, 在△ABC 中,由已知 AB=AC=3,BC=4,得 cos∠ACB=, ∵AD∥BC,∴cos,则 sin∠EAM=, 在△EAM 中,∵AM=,AE=, 由余弦定理得:EM==, ∴cos∠AEM=,而在△ABC 中,cos∠BAC=, ∴cos∠AEM=cos∠BAC,即∠AEM=∠BAC,∴AB∥EM,则 EM∥平面 PAB. 由 PA⊥底面 ABCD,得 PA⊥AC,又 NE⊥AC,∴NE∥PA,则 NE∥平面 PAB. ∵NE∩EM=E,∴平面 NEM∥平面 PAB,则 MN∥平面 PAB;
5

(2)解:直线 BM 与平面 MNC 所成角的正弦值为.

22.解:(Ⅰ)设椭圆方程为 (a>b>0)

∵椭圆 E 经过点 A(2,3),离心率 e=,

∴解 a2=16,b2=12.

∴椭圆方程 E 为:.

(Ⅱ)F1(-2,0),F2(2,0),

∵A(2,3),∴AF1 方程为:3x-4y+6=0,AF2 方程为:x=2

设角平分线上任意一点为 P(x,y),;

得 2x-y-1=0 或 x+2y-8=0

∵斜率为正,∴直线方程为 2x-y-1=0;l 与 x 轴的交点为 Q,点 Q 的坐标(,0).

(Ⅲ)假设存在 B(x1,y1)C(x2,y2)两点关于直线 l 对称,∴kBC=-,

∴直线 BC 方程为 y=-x+m 代入椭圆方程.,

得 x2-mx+m2-12=0,∴BC 中点为()







线

2x-y-1=0







m=4.

∴BC 中点为(2,3)与 A 重合,不成立,所以不存在满足题设条件的相异的两点.

6


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