高中数学人教B版必修三课件:3.3.2 随机数的含义与应用_图文


高中数学· 必修3· 人教B版 3.3.2 随机数的含义与应用 预习导学 [学习目标] 1.了解随机数的含义. 2.掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法. 3.会利用随机数模拟某一问题的试验来解决具体的有关概率的 问题. 预习导学 [预习导引] 1.随机数 随机数就是在 一定范围内随机产生的数 个范围内的 每一个数的机会一样 2.计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法 . ,并且得到这 建立一个概率模型,它与某些我们 感兴趣的量 有关,然 后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来 确定这些量 .按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法 或蒙特卡罗方法. 课堂讲义 要点一 用随机模拟法估计长度型几何概型的概率 例1 取一根长度为5 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用均 匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m的概率. 解 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A. 法一 步骤是: S1 利用计算器或计算机产生 n 个 0~5 之间的均匀随机数,x =rand()*5. S2 统计出[2,3]内均匀随机数的个数 m. m S3 则概率 P(A)的近似值为 n . 课堂讲义 法二 步骤是: (1)做一个带有指针的转盘,把圆周五等分,标上刻度[0,5](这里 5 和 0 重合). (2)固定指针转动转盘,或固定转盘旋转指针,记下指针在[2,3] 内(表示剪断绳子位置在[2,3]范围内)的次数 m 及试验总次数 n. m (3)则概率 P(A)的近似值为 n . 课堂讲义 规律方法 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事 件总体对应的区域转化为随机数的范围.法二:用转盘产生随 机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时,费力,试验次数 不可能很大;法一:用计算机产生随机数,可以产生大量的随 机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次 重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认 识. 课堂讲义 跟踪演练1 在区间[0,3]内任取一个实数,求该实数大于2的概 率. 解 S1 利用计算器或计算机产生 n 个 0~3 之间的均匀随机 数,x=rand()*3. S2 统计出[2,3]内均匀随机数的个数 m. m S3 则概率 P(A)的近似值为 n . 课堂讲义 要点二 用模拟法估计面积型的几何概率 例 2 如图所示,向边长为 4 的大正方 形内投入飞镖,求飞镖落在中央边长为 2 的小正方形内的概率.并用计算机模 拟这个试验估计飞镖落在小正方形内 的概率,写出算法步骤. 课堂讲义 解 设“飞镖落在中央小正方形内”为事件 A,由几何概型的 S小正方形 1 计算公式得 P(A)= =4. S大正方形 用计算机模拟这个试验,步骤如下: S1 用计数器n记录做了多少次投飞镖的试验,用计数器m记录 其中有多少次飞镖落入中央小正方形内.首先置n=0,m=0. S2 用变换rand()*4-2产生-2~2之间的随机数x表示所投飞镖 的横坐标;用变换rand()*4-2产生-2~2之间的随机数y表示所 投飞镖的纵坐标. 课堂讲义 S3 判断(x,y)是否落在中央小正方形内,也就是看是否满足 |x|≤1,|y|≤1.如果是,则计数器 m 的值加 1,即 m=m+1.如果 不是,m 的值保持不变. S4 表示随机试验次数的计数器 n 值加 1,即 n=n+1.如果还 需要继续试验,则返回步骤 S2 继续执行,否则,程序结束. m 程序结束后,事件 A 发生的频率 n 作为 A 的概率的近似值. 规律方法 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式 分别求得概率,然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值. 课堂讲义 跟踪演练 2 利用随机模拟的方法近似计算边长为 2 的正方形 内切圆的面积,如图,并估计 π 的近似值. 解 S1利用计算机产生两组[-1,1]上 的均匀随机数,a=rand()*2-1,b= rand()*2-1. S2 统计试验总次数 N 和点落在圆内 的次数 N1( 满足 a2 + b2≤1 的点 (a , b) 数). 课堂讲义 S3 S4 N1 计算频率 N ,即为点落在圆内的概率. 设圆的面积为 S,由几何概率公式,得 S P=4. 4N1 S N1 ∴4≈ N ,即 S≈ N 即为圆面积的近似值. 又∵S 圆=πr2=π, 4N1 ∴π=S≈ N ,即为圆周率 π 的近似值. 课堂讲义 要点三 会面问题 例3 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30 之间把报纸送到你家,你父亲离开家去上班的时间在早上7: 00~8:00之间,如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸” 称为事件A,则事件A的概率是多少? 解 方法一(随机模拟的方法)做两个只带有分针的圆盘,标上 时间,分别旋转两个圆盘,记下父亲在离家前能得到报纸的次 数, 父亲在离家前能得到报纸的次数 则 P(A)= . 试验的总次数 课堂讲义 方法二 用计算机产生随机数模拟试验.X是0~1之间的均匀随 机数,Y也是0~1之间的均匀随机数.如果Y+7>X+6.5,即Y>X -0.5,那么父亲在离开家前能得到报纸.在计算机上做M次试 验,查一下Y>X-0.5的Y的个数,如果为N,则所求概率为N/M. 课堂讲义 规律方法 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事 件总体对应的区域转化为随机数的范围.方法一用转盘产生随 机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不 可能很大;方法二用计算机产生随机数,可以产生大量的随机 数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重 复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识. 课堂讲义 跟踪演练3 从甲地到乙地有一班车在9:30到10:00到达,若 某人从甲地坐该班车到乙地转乘9:45到10:15出发的汽车到丙 地去,问他能赶上

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