福建省华安县第一中学2019届高三数学上学期第二次(12月)月考试题理


福建省华安县第一中学 2019 届高三数学上学期第二次(12 月)月考 试题 理
(满分 150 分,时间 120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中.只有一 项是符合题目要求的.) 1、已知集合 M ? {x | x ? 2} , N ? x | x 2 ? x ? 0 ,则下列关系中正确的是( (A) M

?

?



? N ? R (B) M ? CR N ? R

(C) N ? CR M ? R (D) M ? N ? M )

2、若复数 z 满足 ( z ? 3)(2 ? i) ? 5 ,则 z 的共轭复数为(

(A) 2 ? i    (B) 2 ? i   (C) 5 ? i    (D) 5 ? i 3、中国古代数学著作《算法统综》中有这样的一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为 难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”.其大意为 : “有 一个人走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地” ,请问此人第 2 天走的路程为( A. 24 里 B. 48 里 ) C. 72 里 D. 96 里 )

4、为了得到函数 y ? sin(2 x ? (A)向左平移 (C)向左平移

?
3

) 的图象,只需把函数 y ? cos(2 x ?
(B)向右平移 (D)向右平移

? ?
4 2

个长度单位 个长度单位

? ?
4 2

4? ) 的图象( 3

个长度单位 个长度单位 )

5、已知 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A. 若 l

? m, l ? n ,且,则 l ? ?

.

B. 若平面 α 内有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α//β C. 若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D. 若 m // n, n ? ? ,则 m ? ? 6、在 △ ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 , BD ? A. ?
5 2

??? ?

? ???? ??? ? 1 ??? BC ,则 AD ? BD ? ( 2
5 4

)

B.

5 2

C. ?

D.

5 4

7、下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是(


-1-

(A) y ? 2 x ?

1 (B) 2x

y ? x ? sin x

(C) y ? lg x ? 1

?

?

(D)

y ? 2?| x|

8、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,则“ S n 的最大值是 S8 ”是“ ? ( ) (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件
| x|

?a7 +a8 +a9 >0 ”的 ?a7 +a10 <0

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

9、函数 f ( x) ? e ? 2 | x | ?1 的图象大致为(

10、已知函数
2019

f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0 , | ? |? ?

2

)的部分图象

如图,则

?
n ?1

f(

n? ) ?( 6
(B)



1

(A) ?1 (C) 0

1 2

? 5?
6
?1

12

(D) 1

11.若函数

f ( x) ? a sin x ? cos x 在 [? π , π ] 为单调函数,则实数 a 的取值范围是(
4 4
B. (??, ?1] C. [1, ??) D.

)

A. (??, ?1] ? [1, ??)

[?1,1]

?e x ? 1, x ? 0 ? 12、已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若 m< n 且 f (m) ? f (n) ,则 n ? m 的最小值为( ) ? x ? 1, x< 0 ?2
A.2ln2-1 B.2-ln2 C. 1+ln2 D. 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置上)

-2-

? y?x ? 13.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?
14.在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面ABC , AC ? BC , AC ? BC ? 1 , PA ? 棱锥的外接球的表面积为 15、已知 sin ? ? 3sin ? ? ?

3 ,则该三

? ?

??

?? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? ______________. 3? 6? ?

π π 16. 定 义 在 (? , ) 上 的 奇 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ?( x) , 且 f (1) ? 0 . 当 x> 0 时 , 2 2

f ( x) ? tan x ? f ?( x) .则不等式 f ( x) ? 0 的解集为__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S 2 ? 8 , a3 (1)求 an ; (2)设数列 {
1 } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn Sn

? a8 ? 2a5 ? 2 .

?

? . 4

18、(本小题满分 12 分)已知向量 m ? ? sin( x ? (1)若 (2)设函数 ,且 x ? (0, ? ) ,求 x 的值;

??

? ?

?

? ? ),1? , n ? (cos x,1) 6 ?

?? ? f ( x) ? m ? n, 且 x ? [0, ? ] ,求 f ( x) 的单调递增区间.

19(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? ,

PD ? AD ?

1 AB ,AD=1, PD ? 底面 ABCD . 2

(Ⅰ)证明: PA ? BD ; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小.

20.(本小题满分 12 分)如图, ?ABC 中,已知点 D 在边 BC 上,且 AD ? AC ? 0 ,

???? ????

sin ?BAC ?

2 2 , 3

, BD ?

3.

A

(1)求 AD 的长;
B D C

-3-

(2)求 cos C .

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)讨论 f ( x) 的单调性及最值;

t ? s(s, t ? R) . x

x , x (0 ? x1 ? x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 4 (2)当 t ? 2 时,若函数 f ( x) 恰有两个零点 1 2
请考生从第(22) 、 (23)题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按 所做的第一个题目计分, (22) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C : ?

? x ? 3 cos a ? x ( a 为参数) , 在以原点 O 为极点, ? ? y ? sin a

轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 (1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;

2 ? ? cos(? ? ) ? ?1 . 2 4

(2)过点 M (?1, 0) 且与直线 l 平行的直线 l1 交 C 于 A , B 两点,求点 M 到 A , B 两点的距 离之积. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 . (1)求不等式

f ( x) ? ?2 的解集 M ;

(2)对任意 x ? [ a,??) ,都有 f ( x) ? x ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

华安一中高三数学(理)第二次月考试卷 答案及解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1-5、B D D A D 6-10、C C B C D 11-12、A C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 3 14. 5? 15、

?

2 3 3

16.

? (? , ?1) ? (0,1) 2

-4-

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. ) 17.(12 分)解析:(1)设公差为 d,由题 ?

?2a1 ? d ? 8, ?2a1 ? 9d ? 2a1 ? 8d ? 2,
2分 4分

解得 a1 ? 3 , d ? 2 . ------------所以 an ? 2n ? 1 ----------------n (2) 由(1) , an ? 2n ? 1 ,则有 Sn ? (3 ? 2n ? 1) ? n 2 ? 2n . 2 1 1 1 1 1 则 ? ? ( ? ). Sn n(n ? 2) 2 n n ? 2
1 1 ? 1 ? 1 1 1 1 1 所以 Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 1 ? 1 1 3 -----------------------? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4

12 分

18、(本小题满分 12 分) 解:(1)? 且 m ? ? sin( x ?

??

? ?

?

? ? ),1? , n ? (cos x,1) 6 ?
…………2 分

? sin( x ? )- cos x ? 0 6 ? 3 sin x ? 3 cos x ? 0 2 ? tan x ? 3 ? x ? (0, ? ) ?x?

?

…………4 分

?
3

…………6 分

(2)? f ( x) ? m ? n, 所以, f ( x) ? sin( x ?

?? ?

?
6

) ? cos x ? 1 ?

3 1 sin x cos x ? cos 2 x ? 1 2 2
…………9 分

?
由 2 k? ?

? 3 3 1 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 6 4 4 4 4 2
?
6 ? 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
2


, k ? Z ,得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z

5? ? x ?? 3 6 ? 5? ,? ] 。 故所求 f ( x) 的单调递增区间是 [0, ] 和 [ 3 6
又? x ? [0, ? ]

?0? x?

?

…………12 分

(19) (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD ,由余弦定理得 BD ? 从而 BD ? AD ? AB ,故 BD ? AD
2 2 2

3 AD …………1 分
…………3 分 …………4 分
-5-

又 PD ? 底面 ABCD ,可得 BD ? PD

所以 BD ? 平面 PAD . 故 PA ? BD

…………5 分 …………6 分

(Ⅱ )如 图 , 以 D 为 坐 标 原 点 , 射 线 DA 为 x 轴 的 正 半 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系

D ? xyz ,
则 B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0, 0,1? ,

…………7 分

??? ? ??? ? ??? ? AB ? (?1, 3, 0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1, 0, 0) r 易得平面 PAD 的一个法向量为 n ? ? 0,1, 0 ? …………8 分 ??? ? u r m ? PB ? 0 设平面 PBC 的法向量为 m ,则 …………9 分 ??? ? m ? BC ? 0 u r 可取 m ? 0, ?1, ? 3 …………10 分

?

? ?

?

??? ? n?m ?? ? 1 cos m, n ? ? ?? ? …………11 分 n?m 2
故平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的大小为 60? …………12 分 20.(本小题满分 12 分) 解:(1)因为 AD ? AC ? 0 , 由 sin ?BAC ?

?

?

???? ????

所以, AD ? AC ,即 ?DAC ?

?
2

…1 分

2 2 ? 2 2 ? 2 2 得 sin( ? ?BAD ) ? , cos ?BAD ? , 3 2 3 3

…3 分

AD ? 3 2 , BD ? 3
? 在 ?BAD 中,由余弦定理知道 AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos ?BAD ? BD 2
2 ? (3 2) +AD 2 ? 2 ? 3 2 ? AD ? cos ?BAD ? ( 3) 2

? AD ? 3 或 AD ? 5

……5 分 …………6 分

? AD ? AB ? AD ? 3
(2)? cos ?BAD ?

1 2 2? sin ?BAD ? 1 ? cos 2 ?BAD ? …………8 分 3 3 AB BD ? sin ?ADB sin ?BAD
…………10 分

在 ?BAD 中,由正弦定理得,

1 AB ? sin ?BAD 3 2 ? 6 ? sin ?ADB ? 3 ? ? BD 3 3

-6-

? ?ADB ?

?

? 6 ? ?C ? sin( ? C ) ? 2 2 3
x-t (x>0),…………1 分 x2

? cos ?C ? 6 3

…………12 分

21. (本小题满分 12 分) 解:(1)f′(x)=

当 t≤0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无最值;…3 分 当 t>0 时,由 f′(x)<0,得 x<t,由 f′(x)>0,得 x>t, f(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x= t 处 取 得 极 小 值 也 是 最 小 值 , 最 小 值 为 f(t)= ln t+ 1- s, 无 最 大 值. (2)证明:∵f(x)恰有两个零点 x1,x2(0<x1<x2), 2 2 ∴f(x1)=ln x1+ 1-s=0,f(x2)=ln x2+ 2-s=0, x x 2 2 即 s= 1+ln x1= 2+ln x2, x x ∴ ………6 分

( 2 x2 ? x1 ) x ? ln 2 , x1 x2 x1

…………8 分

2(t ? 1) 2(t ? 1) x2 设 t= 1>1,则 ln t ? l, x1 ? , tx1 x t ln t
故 x1 ? x2 ? x1 (t ? 1) ? 2

2(t 2 ? 1) , t ln t

t2-1 -2ln t t ∴x1+x2-4= .

(

)

…………10 分

ln t t2-1 (t ? 1) 2 令函数 h(t)= -2ln t,∵h′(t)= ? 0 ,∴h(t)在(1,+∞)上单调递增, t t2 ∵t>1,∴h(t)>h(1)=0, x2 又 t= 1>1,ln t>0,故 x1+x2>4 成立. x …………12 分

请考生从第(22) 、 (23)题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做的第一个题目计分, 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)曲线 C 化为普通方程为:

x2 ? y 2 ? 1 ,………………………2 分 3

-7-



2 ? ? cos(? ? ) ? ?1 ,得 ? cos ? ? ? sin ? ? ?2 ,……………………4 分 2 4

所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 .……………………………………5 分

? 2 t, ? x ? ?1 ? ? 2 (2)直线 l1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,……………………7 分 ? y ? 2 t. ? ? 2
代入

x2 ? y 2 ? 1 化简得: 2t 2 ? 2t ? 2 ? 0 ,…………………9 分 3

设 A, B 两点所对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1t2 ? ?1 , ∴ | MA | ? | MB |?| t1t2 |? 1 . ………10 分

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ) 当 当 当 时, 时, 时, ,即 ,即 ,即 的解集为 , ,所以 ,所以 ,所以 ;……………1 分 ;……………2 分 ;……………3 分 .……………4 分

综上,不等式

(Ⅱ)设

……………5 分

因为对任意 ① 当 所以 ② 当 所以 综上,实数 时, 所以 时,

,都有

成立,所以 ,……………6 分



所以

,符合

.……………7 分 ,……………8 分

,符合

.……………9 分 .……………10 分

的取值范围是

-8-


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