天津市第一中学高三数学上学期第二次月考试题 理


天津一中 2014-2015-1 高三年级二月考数学试卷(理科)
一、选择题: 1.已知 a 是实数, A. 1;B. ?1;C.

a?i 是纯虚数,则 a 等于 1? i

2 ;D. ? 2
2

2.已知 (1 ? ax)(1 ? x) 5 的展开式中 x 的系数为 5 ,则 a ? A. ? 4 B. ? 3 C. ? 2 D. ? 1

? 2 x ? y ? 0, ? 3.若实数 x , y 满足 ? y ? x, 且 z = 2 x + y 的最小值为 3 ,则实数 b 的值为 ? y ? ? x ? b, ?
A. 2 ;B. ? 2 ;C. ?

9 9 ;D. 4 4

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是 A.3 C.10 B.—6 D.—15

5.如图所示,圆 O 的直径 AB = 6 ,C 为圆周上一点, BC = 3 ,过点 C 作圆的切线 l ,过点 A 作 l 的垂线 AD ,垂足为 D ,则∠ DAC = A. 15o B. 30o C. 45o D. 60o 6.已知 a > 1 , f ( x) ? a x A. ?1 ? x ? 0
2

?2 x

,则使 f ( x) ? 1 成立的一个充分不必要条件是 C. ?2 ? x ? 0 D. 0 ? x ? 1

B. ?2 ? x ? 1

7.已知实数 a,b ? 0 , a,b 的等差中项为 A.3 B.4

1 1 1 ,设 m ? a ? ,n ? b ? ,则 m ? n 的最小值为 2 a b C.5 D.6

8.对于函数 f ? x ? ,若 ?a, b, c ? R , f ? a ? , f ?b? , f ? c ? 为某一三角形的三边长,则称 f ? x ?

ex ? t 为“可构造三角形函数”,已知函数 f ? x ? ? x 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取 e ?1
值范围是

A. ? 0, ?? ? 二、选择题:

B. ?0,1?

C. ?1, 2?

D. [ , 2]

1 2

9.已知有若干辆汽车通过某一段公路,从中抽取 200 辆汽车进行测速分析,其时速的频率分 布直方图如图所示,则时速在区间 [60,70) 上的汽车大约有
频率 组距

辆.80
6

004 003 002 001

3 正视图 侧视图

O

40 50 60 70 80 时速(km/h)

3 3 俯视图

10.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是

18

11.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 log2 a2 ? log2 a8 ? 1,则 a5 =
uur uuu r uur uu u r uuu r 12.已知平面上的三个向量 OA, OB, OC ,满足 OA = 1, OB = uuu r uur uuu r 3, OC = 1, OA ?OB

. 2
0,

uur uur 则 CA ×CB 的最大值是

3

13.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2c cos B ? 2a ? b ,若 ?ABC 的面积为

S?

3 c ,则 ab 的最小值为 2

12

14.设函数 f ? x ? ? ? 点个数有

2 ? ? x ? bx ? 2, x ? 0 若 f (?4) ? f (0) ,则函数 y ? f ( x) ? ln(x ? 2) 的零 2 ? x , x ? 0 ? ?

个.4

三、解答题: 15.已知函数 f ( x) ? a ? b ?

r r

r r 1 ,其中 a ? ( 3sin x ? cos x, ?1) , b ? (cos x,1) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期;

(Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若 sin( A ? C ) ? 2 sin A ,求 ?ABC 的面积。 解: (I) ……………2 分

=

……………………4 分

f ( x) 的最大值为 0;最小正周期为 ? .………………………………………………………6 分
(Ⅱ) f (C ) ? sin( 2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,又

,解得 C ?

?
3

…………………8 分

又? sin(A ? C ) ? sin B ? 2 sin A ,由正弦定理 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?
3

a 1 ? ---------------①,…………9 分 b 2
2

,即 a ? b ? ab ? 9 -------------②…………10 分
2

由①②解得: a ? 3 , b ? 2 3 .…………………………………………………12 分 16.盒中装有 7 个零件,其中 2 个是使用过的,另外 5 个未经使用. (Ⅰ)从盒中每次随机抽取 1 个零件,每次观察后都将零件放回盒中,求 3 次抽取中恰有 1 次 抽到使用过的零件的概率; (Ⅱ) 从盒中随机抽取 2 个零件, 使用后 放回盒中, 记此时盒中使用过的零件个数为 X , 求X ... 的分布列和数学期望. (Ⅰ)解:记“从盒中随机抽取 1 个零件,抽到的是使用过的零件”为事件 A , 则 P ( A) ?

2 . 7
1

………………2 分

所以 3 次抽取中恰有 1 次抽到使用过的零件的概率 P ? C3 ( )( ) ?
2

2 5 7 7

150 . ……5 分 343

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 2,3, 4 .

………………7 分
1 C1 10 5 C2 ? ; 2 C7 21

P( X ? 2 ? )

C2 1 2 ? ; 2 C7 2 1

P( X ? 3) ?

2 C5 10 P( X ? 4) ? 2 ? . C7 21

………………10 分

所以,随机变量 X 的分布列为:

X

2

3

4

P

1 21

10 21

10 21
………………11 分 ………………13 分

EX ? 2 ?

1 10 10 24 ? 3? ? 4 ? ? . 21 21 21 7

16 . 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 3 , 前 n 项 的 和 是 S n 满 足 : ?n ? N

*

都有:

Sn ?

1 (n ? 2015 ? bn ) 3 ? 1 2

其中数列 ?bn ? 是公差为 1 的等差数列; (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

12 ,求 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn . an ? 4
都 有 :

?
S1 ?

?n ? N *

Sn ?

1 (n ? 2 2

0?b 1n ) 35? 1





n ?1





1 (1 ? 2 0 ? b 11 ) 3 5 ?1 ? 3 2 从 而 b1 ? 1 ? 2015 , 又 因 为 数 列

?bn ?

是 公 差 为

1 , 所 以 ,

bn ? 1 ? 2015? (n ? 1) ? n ? 2015 1 3 3 得 : S n ? ( 2n) ? 1 ? 4n ? 1 , 当 2 an ? S n ? S n?1 ? 4(3n 2 ? 3n ? 1)

n?2





S n?1 ? 4(n ? 1) 3 ? 1



检验: n ? 1 时, a1 ? 3 不满足题设;故通项公式是: an ? ?

?3 (n ? 1)

2 ?4(3n ? 3n ? 1) (n ? 2) 12 12 1 1 1 (Ⅱ)当 n ? 1 时 , c1 ? ? ?12 ,当 n ? 2 时 , cn ? ? ? ? ,所 a1 ? 4 a n ? 4 n(n ? 1) n ? 1 n 以 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?12 ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 ? 1 ? ? ?11 ? , n ?1 符 合 , 故 1 2 2 3 n ?1 n n n 1 Tn ? ?11 ? . n

18.在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, AB ∥ CD , ? ABC

90? ,

AB = PB = PC = BC = 2CD ,平面 PBC ^ 平面 ABCD .
(Ⅰ)求证: AB ^ 平面 PBC ; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 BCP 所成二面角(小于 90° )的大小;

(Ⅲ)在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM ∥平面 PAD ?若存在,求 请说明理由.

PM 的值;若不存在, PB
P

C B

D A

(Ⅰ)证明:因为 ? ABC 所以 AB ? BC .

90? ,
………………………………………1 分 平面 ABCD = BC ,

因为 平面 PBC ^ 平面 ABCD ,平面 PBC

AB ? 平面 ABCD ,
所以 AB ^ 平面 PBC . (Ⅱ)解:取 BC 的中点 O ,连接 PO . 因为 PB = PC , 所以 PO ? BC . 因为 平面 PBC ^ 平面 ABCD ,平面 PBC ………………………………………3 分

平面 ABCD = BC , PO ? 平面 PBC ,

所以 PO ^ 平面 ABCD . ………………………………………4 分 如图,以 O 为原点, OB 所在的直线为 x 轴,在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直 线为 y 轴, OP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz .不妨设 BC = 2 .由 直角梯形 ABCD 中 AB = PB = PC = BC = 2CD 可得 P(0,0, 3) , D(- 1,1, 0) ,

A(1, 2, 0) .
z

所以 DP = (1, - 1, 3) , DA = (2,1,0) . 设平面 PAD 的法向量 m = ( x, y, z ) .

P

ì ? m ?DP 因为 ? í ? ? ? m ?DA

0, 0.
B x

C O

D y A

ì ? ( x, y, z ) ?(1, 1, 3) = 0, 所以 ? í ? ? ? ( x, y, z ) ?(2,1, 0) 0,
即? í

ì ? x - y + 3 z = 0, ? ? ? 2 x + y = 0.

令 x = 1 ,则 y = - 2, z = -

3.

所以 m = (1, - 2, -

3) .

………………………………………7 分

取平面 BCP 的一个法向量 n ? ? 0,1,0 ? . 所以 cos m, n ?

m?n 2 . ?? m n 2
? . 4

所以 平面 ADP 和平面 BCP 所成的二面角(小于 90° )的大小为

………………………………………9 分 (Ⅲ)解:在棱 PB 上存在点 M 使得 CM ∥平面 PAD ,此时

PM 1 = . 理由如 PB 2

下: ………………………………………10 分 取 AB 的中点 N ,连接 CM , CN , MN . 则 MN ∥ PA , AN = 因为 所以 因为 所以 所以

1 AB . 2
M

P

AB = 2CD , AN = CD . AB ∥ CD , 四边形 ANCD 是平行四边形. CN ∥ AD .

C

D A

B

N

因为 MN

CN = N , PA

AD = A ,
………………………………………13 分 ………………………………………14 分

所以 平面 MNC ∥平面 PAD . 因为 CM ? 平面 MNC , 所以 CM ∥平面 PAD .

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

a ? ln x(a ? R) x ?1

(1)当 a ? 2 时,比较 f ( x) 与 1 的大小;

9 时,如果函数 g ( x) ? f ( x) ? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2 1 1 1 1 (3)求证:对于一切正整数 n ,都有 ln( n ? 1) ? ? ? ? ? ? 3 5 7 2n ? 1 2 ? ln x ,其定义域为 (0,??) …………………1 分 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ?1
(2)当 a ? 因为 f ?( x) ?

?2 1 x2 ?1 ? ? ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数…………3 分 ( x ? 1) 2 x x( x ? 1) 2

故当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1 ;

当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 1…………………4 分 (2)当 a ?

9 9 时, f ( x) ? ? ln x ,其定义域为 (0,??) 2 2( x ? 1)

f ?( x) ?

1 ?9 1 (2 x ? 1)(x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? , x2 ? 2 …………6 分 ? ? 2 2 2 x 2( x ? 1) 2 x( x ? 1)

1 1 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 2 2 1 1 所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上递增,在 ( ,2) 上递减,在 (2,??) 上递增 2 2 1 3 且 f ( x) 的极大值为 f ( ) ? 3 ? ln 2 ,极小值为 f ( 2) ? ? ln 2 …………………7 分 2 2
因为当 0 ? x ? 又当 x ? 0 时, f ( x) ? ?? ;当 x ? ?? 时, f ( x) ? ?? 因为函数 g ( x) ? f ( x) ? k 仅有一个零点,所以函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ? k 仅 有一个交点。所以 k ? 3 ? ln 2 或 k ?
?

3 ? ln 2 …………………9 分 2

(3)方法一:根据(1)的结论知当 x ? 1 时, f ( x) ? 1

2 x ?1 ? ln x ? 1,即 ln x ? …………………12 分 x ?1 x ?1 k ?1 k ?1 1 ? 令x ? ,则有 ln k k 2k ? 1 2 2 3 1 4 1 n ?1 1 ? 从而得 ln ? , ln ? , ln ? , ? , ln …………………13 分 1 3 2 5 3 7 n 2n ? 1 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 ? ? ? ??? 故得 ln ? ln ? ln ? ? ? ln 1 2 3 n 3 5 7 2n ? 1 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 ) ? ? ? ??? 即 ln( ? ? ? ? ? 1 2 3 n 3 5 7 2n ? 1 1 1 1 1 所以 ln( n ? 1) ? ? ? ? ? ? …………………14 分 3 5 7 2n ? 1
即当 x ? 1 时, 20 . 已 知 数 列 An : a1 , a2 ,

, an . 如 果 数 列 Bn : b1, b2 ,

, bn 满 足 b1 ? an ,

bk ? ak ?1 ? ak ? bk ?1 ,
其中 k ? 2,3,

, n ,则称 Bn 为 An 的“衍生数列”.

(Ⅰ)若数列 A4 : a1 , a2 , a3 , a4 的“衍生数列”是 B4 : 5, ?2,7, 2 ,求 A4 ; (Ⅱ)若 n 为偶数,且 An 的“衍生数列”是 Bn ,证明: Bn 的“衍生数列”是 An ;

(Ⅲ)若 n 为奇数,且 An 的“衍生数列”是 Bn ,Bn 的“衍生数列”是 Cn ,….依次将数列 An ,

Bn , Cn ,…的第 i (i ? 1, 2,
证明: ?i 是等差数列. (Ⅰ)解: A4 : 2,1, 4,5 . (Ⅱ)证法一:

, n) 项取出,构成数列 ?i : ai , bi , ci ,

.

………………3 分

证明:由已知, b1 ? a1 ? (a1 ? an ) , b2 ? a1 ? a2 ? b1 ? a2 ? (a1 ? an ) . 因此,猜想 bi ? ai ? (?1)i (a1 ? an ) . ① 当 i ? 1 时, b1 ? a1 ? (a1 ? an ) ,猜想成立; ② 假设 i ? k (k ? N* ) 时, bk ? ak ? (?1)k (a1 ? an ) . 当 i ? k ? 1 时, bk ?1 ? ak ? ak ?1 ? bk ………………4 分

? ak ? ak ?1 ? [ak ? (?1)k (a1 ? an )] ? ak ? ak ?1 ? ak ? (?1)k (a1 ? an ) ? ak ?1 ? (?1)k ?1 (a1 ? an )
故当 i ? k ? 1 时猜想也成立. 由 ①、② 可知,对于任意正整数 i ,有 bi ? ai ? (?1)i (a1 ? an ) . ………………7 分 设数列 Bn 的“衍生数列”为 Cn ,则由以上结论可知

ci ? bi ? (?1)i (b1 ? bn ) ? ai ? (?1)i (a1 ? an ) ? (?1)i (b1 ? bn ) ,其中 i ? 1, 2,3,
由于 n 为偶数,所以 bn ? an ? (?1)n (a1 ? an ) ? a1 , 所以 ci ? ai ? (?1)i (a1 ? an ) ? (?1)i (an ? a1 ) ? ai ,其中 i ? 1, 2,3, 因此,数列 Cn 即是数列 An . 证法二: 因为 b1 ? an ,

,n.

,n.

………………9 分

b1 ? b2 ? a1 ? a2 , b2 ? b3 ? a2 ? a3 ,

……

bn?1 ? bn ? an?1 ? an ,
由于 n 为偶数,将上述 n 个等式中的第 2, 4,6,

n , n 这 个式子都乘以 ?1 ,相加得 2

b1 ? (b1 ? b2 ) ? (b2 ? b3 ) ?
即 ?bn ? ?a1 , bn ? a1 .

? (bn?1 ? bn ) ? an ? (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ?

? (an?1 ? an )

………………7 分

由于 a1 ? bn , ai ? bi ?1 ? bi ? ai ?1 (i ? 2,3,

, n) ,
………………9 分

根据“衍生数列”的定义知,数列 An 是 Bn 的“衍生数列”. (Ⅲ)证法一:

证明:设数列 X n , Yn , Z n 中后者是前者的“衍生数列”.欲证 ?i 成等差数列,只需证明
xi , yi , zi 成等差数列,即只要证明 2 yi ? xi ? zi (i ? 1, 2,3,

, n) 即可.

……10 分

由(Ⅱ)中结论可知 yi ? xi ? (?1)i ( x1 ? xn ) ,

zi ? yi ? (?1)i ( y1 ? yn ) ? xi ? (?1)i ( x1 ? xn ) ? (?1)i ( y1 ? yn ) ? xi ? (?1)i ( x1 ? xn ) ? (?1)i [ xn ? xn ? (?1)n ( x1 ? xn )] ? xi ? (?1)i ( x1 ? xn ) ? (?1)i ( x1 ? xn ) ? xi ? 2(?1)i ( x1 ? xn ) ,
所以, xi ? zi ? 2xi ? 2(?1)i ( x1 ? xn ) ? 2 yi ,即 xi , yi , zi 成等差数列, 所以 ?i 是等差数列. 证法二: 因为 bi ? ai ?1 ? ai ? bi ?1 (i ? 2,3, 4, ………………13 分

, n) , , n) .
………………10 分

所以 bi ? ai ? ?(bi ?1 ? ai ?1 ) (i ? 2,3, 4,

所以欲证 ?i 成等差数列,只需证明 ?1 成等差数列即可. 对于数列 An 及其“衍生数列” Bn , 因为 b1 ? an ,

b1 ? b2 ? a1 ? a2 , b2 ? b3 ? a2 ? a3 ,
……

bn?1 ? bn ? an?1 ? an ,
由于 n 为奇数,将上述 n 个等式中的第 2, 4, 6, 相加得

, n ?1 这

n ?1 个式子都乘以 ?1 , 2

b1 ? (b1 ? b2 ) ? (b2 ? b3 ) ?
即 bn ? an ? a1 ? an ? 2an ? a1 .

? (bn?1 ? bn ) ? an ? (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ?

? (an?1 ? an )

设数列 Bn 的“衍生数列”为 Cn , 因为 b1 ? an , c1 ? bn ? 2an ? a1 , 所以 2b1 ? a1 ? c1 , 即 a1 , b1 , c1 成等差数列. 同理可证, b1 , c1 , d1; c1 , d1 , e1 , 即 ?1 是等差数列. 所以 ?i 成等差数列. ………………13 分 也成等差数列.


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