内蒙古自治区人教A版数学(理科)2012届高三单元测试35数系的扩充


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内蒙古自治区新人教 A 版数学高三单元测试 35 【数系的扩充】
本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分)
1. 已知复数 z 满足 z(1 ? 3i) ? 3i ,则 z 的共同复数 z 的虚部是( )

A. ? 3 i 2

B. ? 3 i 4

C. ? 3 4

D. 3 4

2. 复数 1 ? (1? i)2 的虚部是 1? i
()

A. ? 5 i 2

B. ? 5 2

C. ? 3 i 2

3. 若 1 ? 2i =a+bi(a,b?R,i 是虚数单位),则 a-b 等于 1- 2i

A.-7

B.-1

C.- 1 5

D. ? 3 2
()
D.- 7 5

4. 若复数 z ? (m2 ? 3m ? 4) ? (m2 ? 5m ? 6)i 为纯虚数,则实数 m 的值( )

A.5

B .6

C. ?1 D.4

i 5. 复数 1? i 的共轭复数为

()

?1?1i 1?1i

?1?1i 1?1i

A. 2 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 2 2

6.

复数z1

?

m

?

2i,

z2

?

3

?

4i.若

z1 z2

为实数,则实数m的值为

A. 8 3

B. 3 2

C. ? 8 3

D. ? 3 2

a, b

z,1? 2i

7. 定义运算 ? ad ? bc ,则符合条件

? 0 的复数 Z 的共轭复数 Z 对应的点在

c, d

1? i,1? i

()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

8. 在复平面内,复数 2 对应的点与原点的距离是( ) 1? i

D.第四象限

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A. 1

B. 2

C. 2

D. 2 2

9. 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则在复平面内, z2 ? 2 对应的点位于(



z

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

10. 若? ? ? 1 ? 3 i ,则等于?2 ? ? ?1 ? ( ) 22

A.1

B. 0

C. 3 ? 3i

二、填空题 (共 4 小题,每小题 4 分)

D. ?1? 3i

11. 已知复数 z ? (2 ? i)i (i 为虚数单位),则 z =

.

12. 若复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i ,则复数 z 的模为



i

13. 复数 z ? i 在复平面上对应点的坐标为 1? i

14. 若 z ? C 且 z ? 2 ? 2i ? 1,则 z ?1? 2i 的最大值是_______.

三、解答题 (共 4 小题,共 44 分,写出必要的解题步骤)

15. (本小题满分 10 分)已知复数 z ? (m2 ? 3m ? 4) ? (m ? 4)i , 求实数 m 的取值范围:
(1)z 为实数;(2)z 为纯虚数;(3)z 在第三象限. 16. (本题满分 10 分)

已知复数 z1 ?

3

?

i

,|

z2

| =2,

z1

?

z

2 2

是虚部为正数的纯虚数。

(1)求

z1

?

z

2 2

的模;(2)求复数

z

2



17. (本小题满分 12 分)已知复数 z1 ? 1 ? 3i ,z2 ? 3 cos? ? i sin ? ,求复数 z ? z1 ? z2 实
部的最值.

18.

(本小题满分

12

分)

设 z1

?

cos x

?i

, z2

? 1 ? i sin

x(

x

为实数且

x ?[0, ? ],i 2

是虚数

单位),求函数 f ( x) ? z1 ? z2 2 的值域。

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一、选择题 1. C 略 2. B

答案

3. D 略 4. D 略 5. C 略 6. D 略 7. A 略 8. B 略 9. D 略 10. B 略 二、填空题
11. 5
12. 10
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13. ?? 1 , 1 ?? ?2 2?
14. 4 三、解答题 15. (本小题满分 12 分)
(1)当m ? 4 ? 0即m ? 4时,z为实数. (2)当m2-3m ? 4 ? 0且m ? 4 ? 0,即m ? ?1时, z为纯虚数 (3)当z对应的点在第三象限时, m满足

m2 ? 3m ? 4 ? 0 即 m ? 4 ? 0.
故?1? m ? 4.

?1? m ? 4 m?4

16.

解:(1)|

z1

?

z

2 2

|=|

z1

||

z

2 2

|=|

z1

||

z2

|

2

=8;

(2)

z1

?

z

2 2

是虚部为正数的纯虚数



z1

?

z

2 2

=

8i

? ? z

2 2

=

8i = 8i 3?i

3 ? i = 2 ? 2 3i 4

设复数 z2 = a ? bi ( a,b ? R )

a 2 ? b2 ? 2abi ? 2 ? 2 3i

??a 2 ? b2 ? 2 ? ??2ab ? 2 3

解之得

?a ?

?

3



?a ?

?

?

3

?b ? 1 ?b ? ?1

∴ z2 ? ?( 3 ? i)

17. 已知复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 cos? ? i sin ? ,求复数 z ? z1 ? z2 实部的最值.

解:由已知得 z ? z1 ? z2 ? (1 ? 3i)( 3 cos? ? i sin ? ) ? 3 cos? ? i sin ? ? 3 3i cos? ? 3sin ?
……….2 分

? ( 3 cos? ? 3sin? ) ? i(sin? ? 3 3 cos? )

? z的实部为 t ? 3 cos? ? 3sin?

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? 2 3 sin?? ? ? ? ?? ?6 ?

? tmax ? 2 3 , tmin ? ?2 3

18. 解: f (x) ? z1 ? z2 2 ? (cos x ? 1)2 ? (1 ? sin x)2 ? 3 ? 2 cos x ? 2 sin x

? 3 ? 2 2 sin(x ? ? ) 4

当 x ? 0或 ? 时, f (x) 最大值为 1;当 x ? ? , f (x) 最小值为 3 ? 2 2

2

4

所以值域为[3 ? 2 2,1]

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