山东省淄博市淄川一中2015-2016学年高二数学下学期入学试题(含解析)


2015-2016 学年山东省淄博市淄川一中高二(下)入学数学试卷

一、选择题(每个小题只有一个正确答案.每小题 5 分,共 60 分) 1.(5 分)(2014 春?潮阳区校级期中)数列 1,0,1,0,1,…的一个通项公式是( )

A.

B.

C.

D.

2.(5 分)(2012 秋?历城区校级期末)下列命题是真命题的为( ) A.若 x<y,则 x2<y2 B.若 x2=1,则 x=1
C.若 x=y,则 = D.若 = ,则 x=y

3.(5 分)(2015?漳州二模)双曲线

的离心率 e 为( )

A. B. C. D.

4.(5 分)(2013 秋?东莞期末)在△ABC 中,已知

,则∠C=( )

A.30° B.150° C.45° D.135° 5.(5 分)(2008?浙江)已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q=( )

A. B.﹣2 C.2 D.

6.(5 分)(2015?重庆一模)“m< ”是“方程 x2+x+m=0 有实数解”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(5 分)(2012?济宁一模)△ABC 中,AB= ,AC=1,∠B=30°,则△ABC 的面积等于( )

A. B. C.

D.

8.(5 分)(2016 春?淄博校级月考)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦 点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为 ,则这个椭圆的方程为( )

A. + =1

B. + =1

C. + =1 或 + =1

儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

D.以上都不对 9.(5 分)(2004?贵州)等差数列中,a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等 于( ) A.160 B.180 C.200 D.220

10.(5 分)(2006 秋?宿迁期末)目标函数 z=2x+y,变量 x,y 满足

,则有( )

A.zmax=12,zmin=3 B.zmax=12,z 无最小值 C.zmin=3,z 无最大值 D.z 既无最大值,也无最小值 11.(5 分)(2011 春?天津期末)若关于 x 的不等式 x2﹣4x≥m 对任意 x∈[0,1]恒成立,则 实数 m 的取值范围是( ) A.m≤﹣3 B.m≥﹣3 C.﹣3≤m≤0 D.m≤﹣3 或 m≥0

12.(2011?荆州模拟)不等式

的解集是( )

A.(﹣∞,2) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(﹣∞,0)∪(2,+∞)

13.(5 分)(2016 春?淄博校级月考)(理)、过点(0,﹣2)的直线与抛物线 y2=8x 交于 A,

B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为 2,则|AB|等于( )

A.

B. C.2

D.

14.(2016 春?淄博校级月考)若抛物线 y2=2px(p>0)上的横坐标为 6 的点到焦点的距离

为 10,则焦点到准线的距离为( )

A.4 B.8 C.16 D.32

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

15.(4 分)(2014 秋?济宁期末)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n,则数列{an}的通项公式

an=



16.(4 分)(2009?苏州模拟)若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是



17. (4 分) (2015 秋?曲沃县校级期末)经过点 P(4,﹣2)的抛物线的标准方程是



18.(4 分)(2014?韶关模拟)已知命题 p:? x∈R,x2+2ax+a≤0.若命题 p 是假命题,则

实数 a 的取值范围是



19.(2014?顺义区一模)命题“? x∈R,x2≥0”的否定是



三、解答题(共 76 分.前四个小题每题 12 分,后两个小题每小题 12 分). 20.(12 分)(2014 秋?三原县校级期中)在△ABC 中,A+C=2B,a+c=8,ac=15,求 b 的值. 21.(12 分)(2016 春?淄博校级月考)已知不等式 x2﹣3x+t<0 的解集为{x|1<x<m,x∈ R},求 t,m 的值.
22.(12 分)(2008 秋?桂林期末)已知椭圆的焦点是 F1(0,﹣1)和 F2(0,1),离心率 e= ,
(I)求此椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P 在此椭圆上,且有|PF1|﹣|PF2|=1,求∠F1PF2 的余弦值. 23.(12 分)(2010?吉林模拟)已知数列满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*) (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

24.(12 分)(2010 秋?兴宁市校级期中)设双曲线

的半焦距为 c,

已知直线 l 过(a,0),(0,b)两点,且原点 O 到直线 l 的距离为 心率.

,求此双曲线的离

25.(2016 春?淄博校级月考)(文)已知 F1、F2 为双曲线

=1(a>0,b>0)的左

右焦点,若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,求双曲线的离心率. 26.(14 分)(2016?扬州校级一模)已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=an?3n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

27.(2012 秋?思明区校级期末)在数列{an}中,

,又



求数列{bn}的前 n 项的和.

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

2015-2016 学年山东省淄博市淄川一中高二(下)入学数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题(每个小题只有一个正确答案.每小题 5 分,共 60 分) 1.(5 分)(2014 春?潮阳区校级期中)数列 1,0,1,0,1,…的一个通项公式是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】由数列的项的变化规律可以看出,1,0 交错出现,由此规律去对四个选项进行验 证即可得出正确答案 【解答】解:A 选项不正确,数列首项不是 1; B 选项正确,验证知恰好能表示这个数列; C 选项不正确,其对应的首项是﹣1; D 选项不正确,其对应的首项为 0,不合题意. 故选 B 【点评】本题考查数列的概念及数列表示法,求解的关键是从数列的前几项中发现数列各项 变化的规律,利用此规律去验证四个选项.

2.(5 分)(2012 秋?历城区校级期末)下列命题是真命题的为( ) A.若 x<y,则 x2<y2 B.若 x2=1,则 x=1
C.若 x=y,则 = D.若 = ,则 x=y
【分析】通过举反例能够判断 A 的真假;由 x2=1,则 x=±1,知 B 是假命题;若 x=y<0,知
C 是假命题;由若 = ,则 x=y,故 D 是真命题.
【解答】解:∵当 x=﹣5,y=1 时,x2>y2, ∴若 x<y,则 x2<y2 不成立,故 A 是假命题; 若 x2=1,则 x=±1,故 B 是假命题; 若 x=y<0,则 = 不成立,故 C 是假命题; 若 = ,则 x=y,故 D 是真命题.
故选 D. 【点评】本题考查命题的真假判断,解题时要认真审题,仔细解答,注意不等式、方程的性 质的合理运用.

3.(5 分)(2015?漳州二模)双曲线 A. B. C. D.

的离心率 e 为( )

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

【分析】双曲线的离心率等于半焦距 c 与半实轴 a 的比值,即 e= ,因此可以先根据双曲

线标准方程,求出半实轴 a 和半虚轴 b 的值,再用平方关系计算出半焦距 c=

后算出双曲线的离心率 e 的值. 【解答】解:∵双曲线方程为

∴双曲线的半实轴 a=2,半虚轴 b=1

∴双曲线的半焦距 c=

=

,最

可得双曲线的离心率为 e=
故选 A 【点评】本题用一个简单的双曲线为例,考查了双曲线的基本概念和离心率的求法,属于基 础题.

4.(5 分)(2013 秋?东莞期末)在△ABC 中,已知

,则∠C=( )

A.30° B.150° C.45° D.135° 【分析】利用余弦定理表示出 cosC,将已知等式变形后代入求出 cosC 的值,即可确定出 C 的度数. 【解答】解:∵a2+b2=c2+ ba,即 a2+b2﹣c2= ab,

∴由余弦定理得:cosC=

=,

∴∠C=45°. 故选:C. 【点评】此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关 键.

5.(5 分)(2008?浙江)已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q=( )
A. B.﹣2 C.2 D.
【分析】根据等比数列所给的两项,写出两者的关系,第五项等于第二项与公比的三次方的 乘积,代入数字,求出公比的三次方,开方即可得到结果. 【解答】解:∵{an}是等比数列,a2=2,a5= ,
设出等比数列的公比是 q, ∴a5=a2?q3,



= =,

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

∴q= ,
故选:D. 【点评】本题考查等比数列的基本量之间的关系,若已知等比数列的两项,则等比数列的所 有量都可以求出,只要简单数字运算时不出错,问题可解.

6.(5 分)(2015?重庆一模)“m< ”是“方程 x2+x+m=0 有实数解”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】结合一元二次方程的判别式以及充分必要条件的定义,先证明充分性,再证明必要 性. 【解答】解:先证明充分性:
∵m< ,∴△=1﹣4m>0,
∴方程 x2+x+m=0 有实数解, ∴是充分条件; 再证明必要性: ∵方程 x2+x+m=0 有实数解, ∴△=1﹣4m≥0,
∴m≤ ,
∴不是必要条件, 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查了一元二次方程根的判别式,是一道基础题.

7.(5 分)(2012?济宁一模)△ABC 中,AB= ,AC=1,∠B=30°,则△ABC 的面积等于( )

A. B. C.

D.

【分析】由 AB,AC 及 cosB 的值,利用余弦定理即可列出关于 BC 的方程,求出方程的解即 可得到 BC 的长,然后利用三角形的面积公式,由 AB,BC 以及 sinB 的值即可求出△ABC 的 面积.
【解答】解:由 AB= ,AC=1,cosB=cos30°= ,

根据余弦定理得:AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB,即 1=3+BC2﹣3BC, 即(BC﹣1)(BC﹣2)=0,解得:BC=1 或 BC=2,
当 BC=1 时,△ABC 的面积 S= AB?BCsinB= × ×1× = ;

当 BC=2 时,△ABC 的面积 S= AB?BCsinB= × ×2× =,

所以△ABC 的面积等于 或 . 故选 D 【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值,是一道中档题.
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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

8.(5 分)(2016 春?淄博校级月考)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦 点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为 ,则这个椭圆的方程为( )

A. + =1

B. + =1

C. + =1 或 + =1 D.以上都不对 【分析】根据椭圆的基本概念与正三角形的性质,可得 b=

.再由椭圆焦点到椭圆上点

的最短距离为 a﹣c= ,联解得出 a、b、c 的值,即可得到所求椭圆的方程.
【解答】解:设短轴的一个端点为 P,左右焦点分别为 F1、F2, ∵△PF1F2 为正三角形,

∴|OP|= |F1F2|,可得 b= ,即 又∵椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为 ,

.…①

∴a﹣c= ,…②

联解①②,可得 a=2 ,c= ,b=

=3.

因此 a2=12 且 b2=9,可得椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 故选:C

【点评】本题已知椭圆满足的条件,求椭圆的标准方程.着重考查了正三角形的性质、椭圆 的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.
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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

9.(5 分)(2004?贵州)等差数列中,a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等 于( ) A.160 B.180 C.200 D.220 【分析】先根据 a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78 可得到 a1+a20=18,再由等差数列的前 20 项和 的式子可得到答案. 【解答】解:∵a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78 ∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20) ∴a1+a20=18



=180

故选 B 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式的应用.考查等差数列的性质.

10.(5 分)(2006 秋?宿迁期末)目标函数 z=2x+y,变量 x,y 满足

,则有( )

A.zmax=12,zmin=3 B.zmax=12,z 无最小值 C.zmin=3,z 无最大值 D.z 既无最大值,也无最小值 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上 的截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最值情况即可. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域,



得 A(5,2),



得 B(1,1).

当直线 z=2x+y 过点 A(5,2)时,z 最大是 12, 当直线 z=2x+y 过点 B(1,1)时,z 最小是 3, 但可行域不包括 A 点,故取不到最大值. 故选 C.

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

【点评】借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线 性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.
11.(5 分)(2011 春?天津期末)若关于 x 的不等式 x2﹣4x≥m 对任意 x∈[0,1]恒成立,则 实数 m 的取值范围是( ) A.m≤﹣3 B.m≥﹣3 C.﹣3≤m≤0 D.m≤﹣3 或 m≥0 【分析】构造函数 f(x)=x2﹣4x,x∈[0,1],将不等式恒成立问题转化为求函数 f(x) 的最小值问题,求出二次函数的对称轴,判断出其单调性,求出 f(x)的最小值,令最小 值大于等于 m,即得到 m 的取值范围. 【解答】解:∵x2﹣4x≥m 对任意 x∈[0,1]恒成立 令 f(x)=x2﹣4x,x∈[0,1],要使关于 x 的不等式 x2﹣4x≥m 对任意 x∈[0,1]恒成立, 只要 f(x)min≥m 即可, ∵f(x)的对称轴为 x=2 ∴f(x)在[0,1]上单调递减 ∴当 x=1 时取到最小值为﹣3 ∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣3] 故选 A. 【点评】解决不等式恒成立问题常通过分离参数,转化为求函数的最值问题;求二次函数的 最值问题,常利用公式求出对称轴,据区间与对称轴的关系判断出其单调性,求出最值.

12.(2011?荆州模拟)不等式

的解集是( )

A.(﹣∞,2) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(﹣∞,0)∪(2,+∞)

【分析】移项通分化为分式不等式,解答即可.

【解答】解:由

得:



即 x(2﹣x)<0, 所以 x<0 或 x>2 故选 D. 【点评】本题考查分式不等式的解法,是基础题.

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

13.(5 分)(2016 春?淄博校级月考)(理)、过点(0,﹣2)的直线与抛物线 y2=8x 交于 A, B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为 2,则|AB|等于( )

A.

B. C.2 D.

【分析】设 A(x1,y1),B(x2,y2).直线方程与抛物线方程联立可得 k2x2﹣(4k+8)x+4=0, 利用△>0,可得 k>﹣1.利用中点坐标公式、根与系数的关系可得 k 及其弦长

|AB|=



【解答】解:∵直线过点(0,﹣2),显然直线斜率存在,

设直线方程是:y=kx﹣2,设 A(x1,y1),B(x2,y2).

联立

,化为 k2x2﹣(4k+8)x+4=0,

△=(4k+8)2﹣16k2>0,化为 k>﹣1.

∴x1+x2=

=2×2,化为 k2﹣k﹣2=0,

解得 k=﹣1 或 k=2. ∴k=2. ∴x1+x2=4,x1x2=1.

∴|AB|=

=

=2 .

故选:C. 【点评】本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、 中点坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

14.(2016 春?淄博校级月考)若抛物线 y2=2px(p>0)上的横坐标为 6 的点到焦点的距离 为 10,则焦点到准线的距离为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为 10,进而利用抛物线方程求得其准线 方程,利用点到直线的距离求得 p,即为焦点到准线的距离. 【解答】解:∵横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10, ∴该点到准线的距离为 10,

抛物线的准线方程为 x=﹣ ,

∴6+ =10,求得 p=8 故选 B. 【点评】本题主要考查了抛物线的定义和性质.考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用, 属于基础题.

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 15.(4 分)(2014 秋?济宁期末)若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n,则数列{an}的通项公式 an= 2n .

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

【分析】由已知条件利用公式

,能求出 an.

【解答】解:∵数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n,

∴a1=S1=1+1=2, an=Sn﹣Sn﹣1=(n2+n)﹣[(n﹣1)2+(n﹣1)]=2n,

当 n=1 时,上式成立,

∴an=2n.

故答案为:2n.

【点评】本题考查数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意公式

的合理运用.

16.(4 分)(2009?苏州模拟)若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是 6 . 【分析】根据基本不等式和指数运算可直接得到答案. 【解答】解:∵a+b=2

∴3a+3b≥2

=2

=6

当且仅当 a=b=1 时等号成立 故答案为:6 【点评】本题主要考查基本不等式的应用,应用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”, 为要满足的条件.

17.(4 分)(2015 秋?曲沃县校级期末)经过点 P(4,﹣2)的抛物线的标准方程是 y2=x 或 x2=﹣8y . 【分析】先设处抛物线的标准方程,把点 P 坐标代入,即可求得 p,则抛物线方程可得. 【解答】解:设抛物线方程为 y2=2px 或 x2=2py(p>0), ∵抛物线过点(4,﹣2) ∴2p×4=4 或 2p×(﹣2)=16 ∴2p=1 或﹣8 ∴抛物线的标准方程为 y2=x 或 x2=﹣8y 故答案为:y2=x 或 x2=﹣8y. 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.注意讨论焦点在 x 轴和 y 轴两种情况.

18.(4 分)(2014?韶关模拟)已知命题 p:? x∈R,x2+2ax+a≤0.若命题 p 是假命题,则 实数 a 的取值范围是 (0,1) . 【分析】将? 变为? ,结论否定写出命题 p 的否定;利用 p 与¬p 真假相反得到¬p 为真命 题;令判别式小于 0 求出 a 即可. 【解答】解:命题 p:? x∈R,x2+2ax+a≤0 的否定为命题 p:? x∈R,x2+2ax+a>0 ∵命题 p 为假命题 ∴命题¬p 为真命题 即 x2+2ax+a>0 恒成立 ∴△=4a2﹣4a<0

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

解得 0<a<1 故答案为:(0,1) 【点评】本题考查含量词的命题的否定形式、考查命题 p 与命题¬p 真假相反、考查二次不 等式恒成立的充要条件从开口方向及对称轴上考虑.
19.(2014?顺义区一模)命题“? x∈R,x2≥0”的否定是 ? x∈R,x2<0 . 【分析】根据一个命题的否定定义解决. 【解答】解:由命题的否定义知:要否定结论同时改变量词 故答案是? x∈R,x2<0 【点评】本题考查一个命题的否定的定义.
三、解答题(共 76 分.前四个小题每题 12 分,后两个小题每小题 12 分). 20.(12 分)(2014 秋?三原县校级期中)在△ABC 中,A+C=2B,a+c=8,ac=15,求 b 的值. 【分析】由 A+C=2B,利用内角和定理求出 B 的度数,根据 a+c=8,ac=15,求出 a 与 c 的值, 利用余弦定理即可求出 b 的值. 【解答】解:∵在△ABC 中,A+C=2B,A+B+C=180°, ∴B=60°, ∵a+c=8,ac=15, ∴a=5,c=3 或 a=3,c=5, 由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=25+9﹣15=19,
则 b= .
【点评】此题考查了余弦定理,以及内角和定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
21.(12 分)(2016 春?淄博校级月考)已知不等式 x2﹣3x+t<0 的解集为{x|1<x<m,x∈ R},求 t,m 的值. 【分析】根据方程根的定义,把 x=1 代入方程求出 t 的值,再解方程即可求出 m 的值. 【解答】解:由条件知,x=1 和 x=m 是方程 x2﹣3x+t=0 的两个根, 把 x=1 代入方程,得 t=2 方程变为 x2﹣3x+2=0 解得:x=1 或 x=2; ∴m=2. 【点评】本题考查了方程根的定义与解方程的应用问题,是基础题目.

22.(12 分)(2008 秋?桂林期末)已知椭圆的焦点是 F1(0,﹣1)和 F2(0,1),离心率 e= , (I)求此椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P 在此椭圆上,且有|PF1|﹣|PF2|=1,求∠F1PF2 的余弦值.

【分析】(I)根据题意可得:c=1,

,解得 a=2,b= ,进而写出椭圆的方程.

(Ⅱ)由椭圆的定义得:|PF1|+|PF2|=2a=4,结合题意可得:|PF1|= ,|PF2|= ,再根据余 弦定理求出答案即可.

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

【解答】解:(I)由已知可设椭圆的方程为:

由条件知 c=1,



解得 a=2,…(4 分)

所以 b2=a2﹣c2=3.…(5 分)

+ =1(a>b>0),…(2 分)

所以椭圆的标准方程方程为

…(6 分)

(Ⅱ)因为点 P 在椭圆

上,

所以|PF1|+|PF2|=2a=4;…(8 分)

又因为|PF1|﹣|PF2|=1,解得|PF1|= ,|PF2|= ,…(10 分)

在△ABC 中,

=



所以∠F1PF2 的余弦值为 . …(12 分) 【点评】本题主要考查椭圆的定义与椭圆的性质,以及余弦定理.
23.(12 分)(2010?吉林模拟)已知数列满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*) (1)求证:数列{an+1}是等比数列; (2)求{an}的通项公式.

【分析】(1)给等式 an+1=2an+1 两边都加上 1,右边提取 2 后,变形得到

等于 2,所

以数列{an+1}是等比数列,得证; (2)设数列{an+1}的公比为 2,根据首项为 a1+1 等于 2,写出数列{an+1}的通项公式,变形 后即可得到{an}的通项公式. 【解答】解:(1)由 an+1=2an+1 得 an+1+1=2(an+1), 又 an+1≠0,



=2,

即{an+1}为等比数列; (2)由(1)知 an+1=(a1+1)qn﹣1, 即 an=(a1+1)qn﹣1﹣1=2?2n﹣1﹣1=2n﹣1. 【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质并会确定一个数列为等比数列,灵活运用等比数 列的通项公式化简求值,是一道综合题.

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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

24.(12 分)(2010 秋?兴宁市校级期中)设双曲线

的半焦距为 c,

已知直线 l 过(a,0),(0,b)两点,且原点 O 到直线 l 的距离为 心率.

,求此双曲线的离

【分析】先求出直线 l 的方程,利用原点到直线 l 的距离为 率的平方 e2,进而求出离心率.

,及又 c2=a2+b2,求出离心

【解答】解:由题设条件知直线 l 的方程为

即:ay+bx﹣ab=0

∵原点 O 到直线 l 的距离为 ∴

(4 分)

又 c2=a2+b2∴

从而 16a2(c2﹣a2)=3c4(6 分)

∵a>0∴3e4﹣16e2+16=0 解得:e2=4 或

(8 分)

∵0<a<b∴

(10 分)

∴e2=4 又 e>1 所以此双曲线的离心率为 2(12 分) 【点评】本题考查双曲线性质.主要考查求双曲线的离心率常用的方法,注意椭圆中三参数 的关系是:a2=b2+c2 双曲线中三参数的关系:c2=b2+a2.的不同之处.

25.(2016 春?淄博校级月考)(文)已知 F1、F2 为双曲线

=1(a>0,b>0)的左

右焦点,若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,求双曲线的离心率. 【分析】根据双曲线的定义,结合直角三角形的边长关系建立方程进行求解即可.

【解答】解:由题意知,|AF1|﹣|AF2|=2a, 又|AF1|=3|AF2|, ∴|AF1|=3a,|AF2|=a,

即(3a)2+a2=2c2, 即 5a2=2c2
∴ 【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算,根据双曲线的定义和直角三角形的性质是解决 本题的关键.
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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

26.(14 分)(2016?扬州校级一模)已知数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=an?3n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【分析】(1)由数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12,利用等差数列的通项公式先求 出 d=2,由此能求出数列{an}的通项公式. (2)由 an=2n,知 bn=an?3n=2n?3n,所以 Sn=2×3+4×32+6×33+…+2(n﹣1)×3n﹣1+2n×3n, 再由错位相减法能够求出数列{bn}的前 n 项和 Sn. 【解答】解:(1)∵数列{an}是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12, ∴2+2+d+2+2d=12, 解得 d=2, ∴an=2+(n﹣1)×2=2n. (2)∵an=2n, ∴bn=an?3n=2n?3n, ∴Sn=2×3+4×32+6×33+…+2(n﹣1)×3n﹣1+2n×3n,① 3Sn=2×32+4×33+6×34+…+2(n﹣1)×3n+2n×3n+1,② ①﹣②得﹣2Sn=6+2×32+2×33+2×34+…+2×3n﹣2n×3n+1

=2×

﹣2n×3n+1

=3n+1﹣2n×3n+1﹣3 =(1﹣2n)×3n+1﹣3

∴Sn=

+.

【点评】本题考查数列的通项公式的求法和数列前 n 项和的求法,综合性强,难度大,易出 错.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地运用错位相减法进行求和.

27.(2012 秋?思明区校级期末)在数列{an}中,

,又

求数列{bn}的前 n 项的和. 【分析】先根据等差数列的求和公式求出 an,然后再根据裂项求和即可求解

【解答】解:∵1+2+…+n=



∴ ∴数列{bn}的前 n 项和

=

=


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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用及数列的裂项求和方法的应用,解题中 要注意裂项后的系数
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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定


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