2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末归纳总结课件 新人教A版必修4_图文


第三章
三角恒等变换

第三章
章末归纳总结

1

知 识 结 构

2

专 题 突 破

知识结构

专题突破

专题一 三角函数式的化简
1.三角函数式化简的基本原则: (1)“切”化“弦”. (2)异名化同名 (3)异角化同角.

(4)高次降幂.
(5)分式通分. (6)无理化有理. (7)常数的处理(特别注意“1”的代换).

2.三角函数式化简的基本技巧. (1)sinα,cosα→凑倍角公式. (2)1± cosα→升幂公式. π α α2 (3)1± sinα 化为 1± cos(2± α),再升幂或化为(sin2± cos2) . (4)asinα+bcosα→辅助角公式 asinα+bcosα= a2+b2· sin(α+ b φ),其中 tanφ=a或 asinα+bcosα= a2+b2· cos(α-φ),其中 tanφ a =b.

[特别提醒]

化简的基本思想方法是统一角、 统一三角各个名

称.

1+3tanθ 3+5tanθ 化简: - 2cos2θ+sin2θ-1 cos2θ-4sin2θ-4
1+3tanθ 3+5tanθ [解析] 原式= 2 + 2 cos θ-3sin θ+2sinθcosθ 3cos2θ+5sin2θ+8sinθcosθ

cosθ+3sinθ 3cosθ+5sinθ cosθ cosθ = + ?cosθ+3sinθ??cosθ-sinθ? ?3cosθ+5sinθ??cosθ+sinθ? 1 1 = 2 + 2 cos θ-sinθcosθ cos θ+sinθ· cosθ cosθ+sinθ cosθ-sinθ = 2 2 + cosθ?cos θ-sin θ? cosθ?cos2θ-sin2θ? 2cosθ 2 =cosθ· cos2θ=cos2θ.

专题二 三角函数的求值

三角函数的求值有三种类型:
(1)给角求值:一般所给的角都是非特殊角,要观察所给角 与特殊角之间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求 特殊角的三角函数问题;(2)给值求值:给出某些角的三角函数 式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变 角”,如:α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等.把所求角用 含已知角的式子表示,求解时要注意角范围的讨论;(3)给值求 角:实质上是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角

用含有已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调
性求得角.

11 已知 tanα=4 3, cos(α+β)=-14, α、 β 均为锐角, 求 cosβ 的值.

[探究] 利用 β=(α+β)-α 进行角的代换, 则 cosβ=cos[(α+ β)-α],利用公式展开,结合已知条件求解.
[解析] ∵α、 β 均为锐角,∴0<α+β<π. 11 又 cos(α+β)=-14, ∴sin(α+β)= 11 2 5 3 1-?-14? = 14 .

又 tanα=4 3,
2 2 sin α tan α 48 2 ∴sin α= 2 = = . sin α+cos2α 1+tan2α 49

4 3 1 2 ∴sinα= 7 ,从而 cosα= 1-sin α=7, 故 cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 =(-14)×7+ 14 × 7 =2.

专题三 三角恒等式的证明
1 .三角恒等式的证明问题主要有两种类型:不附加条件 的恒等式证明和条件恒等式证明. (1)不附加条件的恒等式证明. 就是通过三角恒等变换,消除三角等式两端的差异,这是

三角变换的重要思想之一.证明的一般思路是由繁到简,如果
两边都较繁,则采用左右互推的思路,找一个桥梁过渡.

(2)条件恒等式的证明. 这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件,或仔细探

求所给条件与要证明的等式之间的内在联系,常用方法是代入
法和消元法. 2.证明三角恒等式常用的方法.

(1)从复杂的一边入手,逐步化简,证得与另一边相等;在
证明过程中,时刻“盯”住目标,分析其特征,时刻向着目标 “奔”. (2)从两边入手,证得等式两边都等于同一个式子. (3)把要证的等式进行等价变形.

(4)作差法,证明其差为0.

2?3+cos4x? 1 求证:tan x+tan2x= . 1-cos4x
2

[探究] 本题目中角有 x、4x,函数名称有切、有弦.证明可 从左到右,或从右到左,统一角,统一函数名称.

4 4 sin2x cos2x sin x+cos x [证明] 左边=cos2x+ sin2x = sin2xcos2x

1 2 1 2 ?sin2x+cos2x?2-2sin2xcos2x 1-2sin 2x 1-2sin 2x = = 1 =1 1 2 2 sin 2 x sin 4 4 2x 8?1-cos4x? 8-4sin22x 4+4cos22x 4+2?1+cos4x? = = = 1-cos4x 1-cos4x 1-cos4x 2?3+cos4x? = =右边. 1-cos4x 原式得证.

专题四

三角恒等变换

三角恒等变换是三角函数的重要内容,搞清公式间的关系是 学习的关键.对于和、差角的三角函数公式,关键是弄清楚角的 变化,从整体上把握公式,既要学会正向运用,也要学会逆向运 α 用;对于倍、半角公式,可从 α 与2之间的关系出发思考,通过这 种关系的思考而建立函数式之间的联系.对于和积互化公式,应 抓住公式特点进行变形,辅助角公式则是应用较为广泛的公式, 讨论三角函数的最值、周期、单调性等性质时,常使用此公式变 换.

设 f(x)=6cos2x- 3sin2x. (1)求 f(x)的最大值及最小正周期; 4 (2)若锐角 α 满足 f(α)=3-2 3,求 tan5α 的值. [探究] 将 f(x)化成一角一函数的形式,再用 y=Asin(ωx+φ)

的性质作出解答.

1+cos2x [解析] (1)f(x)=6· 2 - 3sin2x 3 1 =3cos2x- 3sin2x+3=2 3( 2 cos2x-2sin2x)+3 π =2 3cos(2x+6)+3, 故 f(x)的最大值为 2 3+3; 2π 最小正周期 T= 2 =π.

(2)由 f(α)=3-2 3,得 π 2 3cos(2α+6)+3=3-2 3, π 故 cos(2α+6)=-1. π π π π 又由 0<α<2,得6<2α+6<π+6, π 5 故 2α+6=π,解得 α=12π. 4 π 从而 tan5α=tan3= 3.

专题五 数学思想(转化与化归思想) 本章的主要内容是三角恒等变换,因此等价转化思想在本 章得以充分体现.在进行三角函数的化简、求值、证明时,常 常需要进行转化、包括式子的结构形式的转化、式子中角的转

化以及不同三角函数之间的转化.

sin2x+2sin2x π 3 17 7 若 cos(4+x)=5,12π<x<4π,求 的值. 1-tanx

π π π π [探究] 注意 x=(4+x)-4,及 2x=2(4+x)-2的两变换,就 有以下的解法.

17 7 5 π [解析] ∵12π<x<4π,∴3π<x+4<2π. π 3 π 4 又∵cos(4+x)=5,∴sin(4+x)=-5, π π π π π π ∴cosx=cos[(4+x)-4]=cos(4+x)cos4+sin(4+x)sin4 2 =- 10 ,

7 2 ∴sinx=- 10 ,tanx=7, 7 2 2 7 22 ?- 10 ?+2?- 10 ? 2sinxcosx+2sin2x 2?- 10 ?· ∴原式= = 1-tanx 1-7 28 =-75.


相关文档

2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末归纳总结课件 新人教B版必修4
2015-2016学年高中数学 第3章 三角恒等变形章末归纳总结课件 北师大版必修4资料
2015-2016学年高中数学 第三章 不等式章末归纳总结课件 新人教A版必修5
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末归纳总结课件
2015-2016学年高中数学 第三章 概率章末归纳总结课件 新人教B版必修3
2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数章末归纳总结课件 新人教A版必修4
2015-2016学年高中数学 第3章 三角恒等变形章末归纳总结课件 北师大版必修4
2015-2016学年高中数学 第一章 基本初等函数(Ⅱ)章末归纳总结课件 新人教B版必修4
2015-2016学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末过关检测卷 新人教A版必修4
2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量章末归纳总结课件 新人教A版必修4
电脑版