高中数学二轮复习任意角、弧度制及任意角的三角函数教案含答案(全国通用)


第五章 第 21 课 三角函数、解三角形 任意角、弧度制及任意角的 三角函数 [最新考纲] 内容 A 三角函数的概念 要求 B √ C 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形. ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)分类? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个 集合 S={β|β=α+k· 360° ,k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角,弧度记作 rad. (2)公式:①角度与弧度的换算: π ?180? a.1° =180 rad;b.1 rad=? π ?° . ? ? ②弧长公式:l=r|α|. 1 1 ③扇形面积公式:S=2lr=2r2α. 3.任意角的三角函数 三角函 数 正弦 余弦 正切 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y), 那么 定义 y 叫作 α 的正弦, x 叫作 α 的余弦, 记作 sin α 各 Ⅰ 象 Ⅱ 限 Ⅲ 符 号 Ⅳ - + - + + - 记作 cos α + - - y 记 x叫作 α 的正切, 作 tan α + - + 三角函 数线 有向线段 MP 为 正弦线 有向线段 OM 为 余弦线 有向线段 AT 为正 切线 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)小于 90° 的角是锐角.( ) ) ) (2)锐角是第一象限角,反之亦然.( (3)角 α 的三角函数值与终边上点 P 的位置无关.( (4)若 α 为第一象限角,则 sin α+cos α>1.( [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ ) ?1 ? 2.(教材改编)已知角 α 的终边与单位圆的交点为 M?2,y?,则 sin α= ? ? ________. 3 ±2 3 ?1? [由题意知|r|2=?2?2+y2=1,所以 y=± 2 .由三角函数定义知 sin α=y ? ? 3 =± 2 .] 3.若 cos θ>0,且 sin 2θ<0,则角 θ 的终边在第________象限. 四 [由 cos θ>0,sin 2θ=2sin θ cos θ<0 得 sin θ<0,则角 θ 的终边在 第四象限.] 4.在单位圆中,200° 的圆心角所对的弧长为________. 10 π 10 的弧度数是 200×180= 9 π, 由弧度数的定义 9 π [单位圆的半径 r=1,200° 10 l 10 得 9 π=r,所以 l= 9 π.] 5.已知半径为 120 mm 的圆上,有一条弧长是 144 mm,则该弧所对的圆心 角的弧度数为________rad. 1.2 l 144 [由题意知 α=r=120=1.2 rad.] 角的有关概念及其集合表示 α (1)若角 α 是第二象限角,则2是第________象限角. 【导学号:62172118】 (2)已知角 α 的终边在如图 211 所示阴影部分表示的范围内(不包括边界), 则角 α 用集合可表示为________. 图 211 (1)一或三 π 5 ? ? (2)?2kπ+4,2kπ+6π?(k∈Z) ? ? [(1)∵α 是第二象限角, π ∴2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z, π α π ∴4+kπ<2<2+kπ,k∈Z. α 当 k 为偶数时,2是第一象限角; α 当 k 为奇数时,2是第三象限角. α 综上,2是第一或第三象限角. ?π 5 ? (2)在[0,2π)内,终边落在阴影部分角的集合为?4,6π?, ? ? π 5 ? ? ∴所求角的集合为?2kπ+4,2kπ+6π?(k∈Z).] ? ? [规律方法] 1.与角 α 终边相同的角可以表示为 β=2kπ+α(k∈Z)的形式,α 是任意角;相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等;角度制与弧度制 不能混用. α α 2.由 α 所在象限,判定2所在象限,应先确定2的范围,并对整数 k 的奇、 偶情况进行讨论. [变式训练 1] β=________. -675° 或-315° [由终边相同的角的关系知 β=k· 360° +45° ,k∈Z, ∴取 k=-2,-1,得 β=-675° 或 β=-315° .] 扇形的弧长、面积公式 (1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最 大? 【导学号:62172119】 [解] (1)设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=10, ? ? ?1 2 θ· r =4, ? ?2 r=4, ? ? ?r=1, 解得? (舍去)或? 1 θ= , ?θ=8 ? ? 2 已知角 α=45° , 在区间[-720°, 0°]内与角 α 有相同终边的角 1 ∴扇形的圆心角为2. (2)设圆心角是 θ,半径是 r,则 2r+rθ=40. 1 1 又 S=2θr2=2r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100≤100. 当且仅当 r=10 时,Smax=100,此时 2×10+10θ=40,θ=2,∴当 r=10, θ=2 时,扇形的面积最大. [规律方法] 1.(1)在弧度制下,计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、 简捷;(2)从扇形面积出发,在弧度制下把问题转化为关于 R 的二次函数的最值 问题(如本例)或不等式问题来求解. 1 1 2.利用公式:(1)l=αR;(2)S=2lR;(3)S=2αR2.其中 R 是扇形的半径,l 是 弧长,α(0<α<2π)为圆心角,S 是扇形面积,知道两个量,可求其余量. [变式训练 2] ________cm. 8 3 3 π [设扇形的半径为 r cm,如图. 若扇形的圆心角 α= 1

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