高考数学解答题专题复习训练—函数与导数


函数与导数
一、08 高考真题精典回顾: 1.(全国一 19) . (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. 解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 当a
2

? 2 ? 3

1? 3?

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增

当a

2

? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
? ? ?

?a ? a 2 ? 3 3

即 f ( x ) 在 ? ??,

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? 3 3 3 ? ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增 ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a ?3 1 ≥? 3 3
2

,且 a

2

? 3 解得: a ≥

7 4

2.(辽宁卷 22) . (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

ln x ? ln x ? ln( x ? 1) . 1? x

(Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为(0,+ ? )?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,试说明理由. 本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,不等式等基础知识,考查综合利用数学知识分析 问题、解决问题的能力.满分 14 分.

解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 ln x 1 1 ln x . ········· 2 分 ? ? ? ?? 2 x(1 ? x) (1 ? x) x x ?1 (1 ? x)2

故当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ,

x ? (1,∞ ? ) 时, f ?( x) ? 0 所以 f ( x ) 在 (0, 1) 单调递增,在 (1,∞ ? ) 单调递减. ·············· 4 分 ? ) 的极大值为 f (1) ? ln 2 ,没有极小值. ·········· 6 分 由此知 f ( x ) 在 (0,∞ (Ⅱ) (ⅰ)当 a ≤ 0 时,
由于 f ( x) ?

(1 ? x) ln(1 ? x) ? x ln x ln(1 ? x) ? x ? ln(1 ? x) ? ln x ? ? ? 0, 1? x 1? x

? ) . ················ 10 分 故关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为 (0,∞

ln 2n 1? ln x ? 1? ? n (ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? ? ln ? 1? ? 知 f (2 ) ? ? ln ?1 ? n ? ,其中 n 为正 n 1? x 1? 2 ? x? ? 2 ?
整数,且有
n n 1? a 1 ? ln ?1 ? n ? ? ? n ? e 2 ? 1 ? n ? ? log 2 (e 2 ? 1) . ············· 12 分 2 ? 2 ? 2

ln 2n n ln 2 n ln 2 2 ln 2 ? ? ? 又 n ≥ 2 时, . n n n ( n ? 1) 1 ? 2 1 ? (1 ? 1) n ?1 2 2 ln 2 a 4 ln 2 ? ?n? ? 1. 且 n ?1 2 n
取整数 n0 满足 n0 ? ? log2 (e ? 1) , n0 ?
n 2

4 ln 2 ? 1 ,且 n0 ≥ 2 , a

则 f (2 0 ) ?
n

n0 ln 2 1 ? a a ? ? ln ?1 ? n0 ? ? ? ? a , n0 1? 2 ? 2 ? 2 2

? ). 即当 a ? 0 时,关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集不是 (0,∞ ? ) ,且 a 的取值 综合(ⅰ) (ⅱ)知,存在 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为 (0,∞
范围为 ? ?∞, 0? . 14 分 3.(江苏卷 17) .某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知

AB=20km,CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂, 并铺设排污管道 AO,BO,OP , 设排污管道的总长为

y km.

(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定 污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短. 【解析】本小题主要考查函数最值的应用.

D O

P

C

A

B

(Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则 OA ?

AQ 10 ? , 故 cos ? cos ?

10 ,又 OP= 10 ? 10 tan ? 10-10ta ? , cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OB ?
所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=
2

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? (Ⅱ)选择函数模型①, y ?
'

?10cos ? cos ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? ? cos 2 ? cos 2 ?

' 令 y ? 0 得 sin ? ?

? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 4 6 2

当 ? ? ? 0,

? ?

??

?? ? ? ' ' ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ? ? , ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的增函数, 6? ?6 4?

所以当 ? =

? 时, ymin ? 10 ?10 3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边 6

10 3 km 处。 3
二、09 高考数列分析与预测: 以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数极值理论,单调性及其应用为目标, 是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向,预测 2009 年高考导数问题命题的五 大热点如下: 热点一、在导数与函数性质的交汇点命题:主要考查导数的简单应用,包括求函数的极值, 求函数的单调区间,证明函数的单调性等。命题的热点:三次函数求导后为二次函数,结合 一元二次方程根的分布,考查代数推理能力、语言转化能力和待定系数法等数学思想。 热点二、在导数与含参数函数的交汇点命题:主要考查含参数函数的极值问题,分类讨论思 想及解不等式的能力,利用分离变量法求参数的取值范围等问题。 热点三、在导数与解析几何交汇点命题:主要考查对导数的几何意义,切线的斜率,导数与 函数单调性,最(极)值等综合运用知识的能力。 热点四、在导数与向量问题交汇点命题:依托向量把函数单调性,奇偶性,解不等式等知识 融合在一起。即考查了向量的有关知识,又考查了函数性质及解不等式等内容。 热点五、在导数与函数模型构建交汇点命题:主要考查考生将实际问题转化为数学问题,运 用导数工具和不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识和实践能力。 备考指南: 复习时,考生要“回归”课本,浓缩所学的知识,夯实基础,熟练掌握解题的通性、通 法,提高解题速度。同时,许多高考试题在教材中都有原型,即由教材中的例题、习题引申 变化而来。因此,考生必须利用好课本,夯实基础知识。 三、高考热点新题: 1.已知函数 f ( x ) ?

ln x ? a (a ? R) x

(Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) =1 的图象在区间 (0, e ] 上有公共点,求实数 a 的取值 范围。
2

2.已知函数 f ( x) ?

ln( ax ) ? ln( ax ) ? ln( x ? 1) , (a ? 0, a ? R) x ?1

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 a >0 时,若存在 x 使得 f ( x) ? ln(2a) 成立,求 a 的取值范围.

3.某种商品的成本为 5 元/ 件,开始按 8 元/件销售,销售量为 50 件,为了获得最大利润,商 家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。 经试销发现: 销售价每上涨 1 元每天销售量就减 少 10 件;而降价后,日销售量 Q(件)与实际销售价 x(元)满足关系:

39(2x2 ? 29x ? 107) (5 ? x ? 7)
Q=

198 ? 6 x (7 ? x ? 8) x?5

(1)求总利润(利润=销售额-成本)y(元)与销售价 x(件)的函数关系式; (2)试问:当实际销售价为多少元时,总利润最大.

4.已知函数 g ( x) ?

2 x2 ? 1 的图像关于原点成中心对称 ,设函数 f ( x) ? x ? cx ? 1 . x?c g ( x) ln x

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)已知 e ? x 对任意 x ? (1, ??) 恒成立.求实数 m 的取值范围(其中 e 是自然对数的底
x m

数).

5.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x ,其中 b 为常数.
2

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2 (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的有极值点,求 b 的取值范围及 f ( x ) 的极值点;
(Ⅰ)当 b ? (Ⅲ)若 b ? ?1 ,试利用(II)求证:n ? 3 时,恒有

1 1 ? ln ? n ? 1? ? ln n ? 。 2 n n

6.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1), g ( x) ?
2

1 ? a. x ?1
2

(1) 求 g ( x) 在 P( 2, g ( 2)) 处的切线方程 l ; (2) 若 f ( x ) 的一个极值点到直线 l 的距离为 1,求 a 的值; (3) 求方程 f ( x) ? g ( x) 的根的个数.

7.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部 分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上), 公共设施边界为曲线 f ( x) ? 1 ? ax (a ? 0) 的一部分,栏栅与矩形区域的边
2

y

N
P
O

界交于点 M、N,交曲线于点 P,设 P(t , f (t )) http://www.jkzyw.com/ (1)将 ?OMN (O 为坐标原点)的面积 S 表示成 t 的函数 S (t ) ; (2)若在 t ?

M

x

1 处, S (t ) 取得最小值,求此时 a 的值及 S (t ) 的最小值. 2

四、高考热点新题参考答案: 1 解: (1) f ( x)的定义域为 (0,?? ), f ?( x) ?
1?a 令 f ?( x) ? 0得x ? e 1?a

1 ? (ln x ? a) x2

当 x ? (0, e 当 x ? (e

)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是增函数

1?a

,??)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是减函数
1?a

∴ f ( x)在x ? e (2) (i)当 e 是减函数

处取得极大值 , f ( x)极大值 ? f (e1?a ) ? e a?1

1? a

? e 2 时, a ? ?1时 ,由(Ⅰ)知 f ( x)在(0, e1?a ) 上是增函数,在 (e1?a , e 2 ] 上

? f ( x)max ? f (e1?a ) ? ea?1
又当 x ? e 时, f ( x) ? 0,当x ? (0, e ]时f ( x) ? 0.当x ? (e , e ] 时, f ( x) ? (0.e
2 ?a ?a ?a a ?1

) 所以

f ( x)与图象g ( x) ? 1的图象在 (0, e 2 ] 上有公共点,等价于 e a?1 ? 1
解得 a ? 1, 又a ? ?1, 所以a ? 1 (ii)当 e
1? a

? e 2即a ? ?1 时, f ( x)在(0, e 2 ] 上是增函数,
2?a e2

2 2 ∴ f ( x)在(0, e ]上的最大值为 f (e ) ?

所以原问题等价于

2?a ? 1, 解得 a ? e 2 ? 2. 2 e

又? a ? ?1 ,∴无解 2 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??) ; 当 a ? 0 时函数 f ( x ) 的定义域为 (?1,0)

x ?1 ? ln(ax) 1 1 ? ? (Ⅱ) f ?( x) ? x 2 x x ?1 ( x ? 1)

?

( x ? 1) ? x ln(ax) ? ( x ? 1) 2 ? x( x ? 1) ? ln(ax) ? x( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2
1 , a 1 a

令 f ?( x) ? 0 时,得 ln ax ? 0 即 x ?

①当 a ? 0 时, x ? (0, ) 时 f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , 故当 a ? 0 时,函数的递增区间为 (0, ) ,递减区间为 ( , ??) ②当 ?1 ? a ? 0 时, ?1 ? ax ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 , 故当 ?1 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? (?1, 0) 上单调递增. ③当 a ? ?1 时,若 x ? ( ?1, ) , f ?( x) ? 0 ;若 x ? ( , 0) , f ?( x) ? 0 , 故当 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( , 0) ;单调递减区间为 ( ?1, ) . (Ⅲ)因为当 a ? 0 时,函数的递增区间为 (0, ) ;单调递减区间为 ( , ??) 若存在 x 使得 f ( x) ? ln(2a) 成立,只须 f ( ) ? ln(2 a ) ,

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

? a?0 a ?1 a ?1 ? ) ? ln 2a ? ? 2a ? ? 1 ? 0 ? a ?1 即 ln( a a ? ? a ?1 ? ? 2
3 解: (1)据题意的

39(2 x 2 ? 29 x ? 107)( x ? 5)...(5 ? x ? 7) 198 ? 6 x y ?{ ( x ? 5)....................(7 ? x ? 8) x ?5 ?50 ? 10( x ? 8)? ( x ? 5)...........( x ? 8)

39 ? (2 x3 ? 39 x 2 ? 252 x ? 535)...(5 ? x ? 7) ? { 6(33 ? x)..................................(7 ? x ? 8) ?10 x 2 ? 180 x ? 650.......................( x ? 8)
(2)由(1)得:当 5 ? x ? 7 时, y ? 39 ? (2 x3 ? 39 x2 ? 252 x ? 535)

y' ? 234( x2 ?13x ? 42) ? 234( x ? 6)( x ? 7)
当 5 ? x ? 6 时, y' ? 0 , y ? f ( x) 为增函数
' 当 6 ? x ? 7 时, y ? 0, y ? f ( x) 为减函数

? 当 x ? 6 时, f ( x)max ? f (16) ? 195
当 7 ? x ? 8 时, y ? 6(33 ? x) ? ?150,156? 当 x ? 8 时, y ? ?10( x ? 9) ? 160
2

当 x ? 9 时, ymax ? 160 综上知:当 x ? 6 时,总利润最大,最大值为 195 4 解: (1) 由已知可得 C=0, ∴ g ( x) ?

x2 ?1 x , f ( x) ? x , x ln

f ?( x) ?

ln x ? 1 , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e .列表如下: ln 2 x

x
f ?( x )
f ( x)

(0,1) 单调减

(1, e)
单调减

(e, ??)
+ 单调增

所以 f ( x ) 的单调增区间为 (e, ??) ,单调减区间为 (0,1) 和 (1, e) (2)在 e ? x 两边取对数,得 x ? m ln x .而 x ? 1 .所以 m ?
x m

x ln x

由(1)知当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? f (e) ? e .所以 m ? e . 5 解: (1)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,

1 1 2( x ? ) 2 ? b ? b 2x ? 2x ? b 2 2 ( x ? 0) f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x x 1 ? 当 b ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上单调递增. 2
2

(2) ①由(Ⅰ)得,当 b ? ②当 b ?

1 时, f / ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 无极值点. 2

1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? ? , x2 ? ? 2 2 2 2 2 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? i) b ? 0 时,x1 ? ? ? 0 ? (0,??),舍去, 而x2 ? ? ? 1 ? (0,??) , 2 2 2 2 此时 f ?( x ) , f ( x ) 随 x 在定义域上的变化情况如下表: ( x2, ? ?) (0, x2 ) x2 x

f ?( x ) f ( x)

?


0
极小值

?


由此表可知: b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 , x ? ii) 当0 ? b ?

1 1 ? 2b , ? 2 2

1 时,0< x1 ? x 2 <1 2

此时, f ?( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

? 0, x1 ?
?


x1
0
极大值

( x1,x2 )
?


x2
0
极小值

( x2, ? ?)

?


由此表可知: 0?b?

1 1 1 ? 2b 时 , f ( x ) 有 一 个 极 大 值 x1 ? ? 和一个极小值点 2 2 2

x2 ?

1 1 ? 2b ; ? 2 2

1 1 ? 2b ; ? 2 2 1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 当 0 ? b ? 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? ? 和一个极小值点 x ? ? 2 2 2 2 2 ( 3 )由( 2 )可知当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? ln x ,此时 f ( x ) 有惟一极小值点
综上所述:当 b ? 0 时, f ( x ) 有惟一最小值点 , x ?

x?

3 ?1 2

1? 3 1? 3 )时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在(0, )为减函数 2 2 1 4 1? 3 ? 当 n ? 3 时, 0 ?1 ? 1? ? ? , n 3 2 1 1 1 ? 恒有 f(1) ? f (1 ? ),即恒有 0 ? 2 ? ln(1 ? ) n n n 1 ?当 n ? 3 时恒有ln(n ? 1) ? ln n ? 2 成立 n 1 x ?1 则 h' ( x ) ? 1 ? ? 令函数 h( x) ? ( x ? 1) ? ln x (x ? 0) x x ? x ? 1 时,h' ( x) ? 0 ,又h( x)在x ? 1处连续? x ? [1,??)时h( x)为增函数
且 x ? (0,

1 1 1 ? h(1 ? ) ? h(1) 即 ? ln(1 ? ) ? 0 n n n 1 1 ? ln(n ? 1) ? ln n ? ln(1 ? ) ? n n 1 1 综上述可知 n ? 3 时恒有 ? ln(n ? 1) ? ln n ? 2 n n ?n ? 3 时 1 ? 1?
6 解: (1)

1 n

g ' ( x) ?

?2 x ( x 2 ? 1)2

? g ' ( 2) ? ?2 2 且 g ( 2) ? 1 ? a

故 g ( x) 在点 P( 2, g ( 2)) 处的切线方程为: 2 2x ? y ? 5 ? a ? 0

2x ?0得x ? 0, x ?1 故 f ( x ) 仅有一个极小值点 M (0,0) ,根据题意得:
(2)由 f ( x) ?
' 2

d?

5? a ?1 3

? a ? ? 2 或 a ? ?8

(3)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln( x ?1) ?
2

1 ?a x ?1
2

h ' ( x) ?

? 1 2x 2x 1 ? ? 2 ? 2x ? 2 ? 2 2 2? x ? 1 ( x ? 1) ? x ? 1 ( x ? 1) ?
2

当 x ??0,1) ? (1, ??) 时, h' ( x) ? 0 当 x ? (??, ?1) ? (?1,0) 时, h' ( x) ? 0 因此, h( x) 在 (??, ?1), (?1, 0) 时, h( x) 单调递减, 在 (0,1), (1, ??) 时, h( x) 单调递增. 又 h( x) 为偶函数,当 x ? (?1,1) 时, h( x) 极小值为 h(0) ? 1 ? a 当 x ? ?1 时, h( x) ? ?? , 当 x ? ?1 时, h( x) ? ?? 当 x ??? 时, h( x) ? ?? , 当 x ??? 时, h( x) ? ?? 故 f ( x) ? g ( x) 的根的情况为: 当 1 ? a ? 0 时,即 a ? 1 时,原方程有 2 个根; 当 1 ? a ? 0 时,即 a ? 1 时,原方程有 3 个根; 当 1 ? a ? 0 时,即 a ? 1 时,原方程有 4 个根 7 解: (1) y? ? ?2ax ,切线的斜率为 ?2 at ,? 切线 l 的方程为 y ? (1 ? at 2 ) ? ?2at ( x ? t )
? ?

1 ? at 2 1 ? at 2 ? 2at 2 1 ? at 2 ?t ? ? 令 y ? 0, 得 x ? 2at 2at 2at 1 ? at 2 ?M ( , 0) ,令 t ? 0 ,得 y ? 1 ? at 2 ? 2at 2 ? 1 ? at 2 ,? N (0,1 ? at 2 ) 2at
??MON 的面积 S (t ) ?
(2) S ?(t ) ?

1 1 ? at 2 (1 ? at 2 )2 ? (1 ? at 2 ) ? 2 2at 4at

3a 2t 4 ? 2at 2 ? 1 (at 2 ? 1)(3at 2 ? 1) ? 4at 2 4at 2 1 3a

a ? 0, t ? 0 ,由 S ?(t ) ? 0 ,得 3at 2 ? 1 ? 0, 得t ?

当 3at ? 1 ? 0, 即t ?
2

1 时, S ?(t ) ? 0 3a 1 时, S ?(t ) ? 0 3a

当 3at ? 1 ? 0, 即0 ? t ?
2

?当t ?

1 时, S (t )有最小值 3a
1 1 1 4 ? ,? a ? 处, S (t )取得最小值 ,故有 2 3 3a 2

已知在 t ?

故当 a ?

4 1 , t ? 时, S (t )min 3 2

4 1 (1 ? ? ) 2 1 3 4 ?2 ? S( ) ? 4 1 2 3 4? ? 3 2


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