基本初等函数的导数公式及导数的运算法则[共课时]_图文


1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则

共三课时
2019/1/25

公式一: C ? = 0 (C为常数)

x )?x 公式二: (

? ?

?( ? 是 常 数 )
? ? 1

算一算:求下列函数的导数 (1)
4 y=x

;

(2)

-5 y=x

;

4x3
(3 ) y? x ;

-6 -5x

注意公式中,n的任意性.

1 ? 12 x 2

1 (4) y ? 2 ; x

-2x-3

公式三:

?? (sin x ) cos x

公式四:

?? (cos x ) ? sin x

公式五:对数函数的导数

1 ? ( 1 )( l o g x ) ? ( a ? 0 , a ? 1 ) . a x l n a 1 (2) (ln x)? ? . x

公式六:指数函数的导数
x x

? ( 1 )() a ? a l n a ( a ? 0 , a ? 1 ) .

? ?e . ( 2 ) ( e)
x x

? ? ? 1 公 式 2 x ? x( 为 常 数 )

? 公 式 1 C ? 0 ( C 为 常 数 )

公式 3(sin x )? cos x . ' 公式 4 (cos x )? ? sin x .
'

??
x

记 一 记

1 公式 7( 1 oga )? x ln a 1 ' 公式 8( 1 nx )? x
x'

公式 5 ( a ) ? a ln a x' x 公式 6 ( e )? e
x '

练一练: (1)下列各式正确的是( C )

A.(sin ? )' ? cos ? (?为常数) B ( . cos x )' ? sin x C .(sin x )' ? cos x 1 ?6 D .( x )' ? ? x 5
?5

(2)下列各式正确的是( D )

1 A .(log )' ? x ln 10 x B .(log a )' ? x x C .( 3 )' ? 3 x
x a

D .( 3 )' ? 3 ln 3
x x

0 (3) f(x)=80,则f '(x)=______;
x '
x

( 4 ) f (x )?e ,则 f (x ) 等于 _____ e
'

f( 1 ) 等于 ______
( 5 )

e

1 x ' x ln a ( 1 oga ) ?________

? 1.对基本初等函数的导数公式的理解:
? (1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的 形式,学会使用公式解题即可,对公式的推导 不要求掌握. ? (2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别, 这是易错点.

? 6.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n 等于( ) ? A. 1 B.2 ? C. 3 D. 4 ? 解析:y′|x=2=n·2n-1=12,解得n=3. ? 答案:C

例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪,物价p(单位:元)与时间t(单 t 1 ? 5 % ???p ?,其 位:年)有函数关系 pt 0? 中 p 0 为t=0时的物价.假定某商品的 p 0 ? 1 那么在第10个年头,这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少(精确到0.01)?

p ( t)?p ( 1 ? 5 %) 0
t

解:根据基本初等函数导数公式表,有
t ? p ( t )? 1 . 05 ln 1 . 05

10 ? ( 10 ) ? 1 . 05 ln 1 . 05 ? 0 . 08 ( 元 / 年 ) 所以 p

因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.

第二课时

导数的四则运算

法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数 3 (1)y=x +sinx

y '? 3 x? cos x
2

(2)y=x4-x2-x+3.

y '? 4 x? 2 x? 1
3

法则2: ' ' ' ? ? f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? g ( x )
应用2:求下列函数的导数
2+3)(3x-2) (1)y=(2x 2 2 y ' ? ( 2 x? 3 )( 3 x ? 2 )' ? ( 2 x? 3 )' ( 3 x ? 2 )

? 18 x? 8 x ? 9 (2)y=(1+x6)(2+sinx)
2

y ' ? 6 x ( 2 ? sin x ) ? ( 1 ? x ) cos x
5 6

法则3: ? ? ?f( ? f? x ) ( x ) g ( x ) ? f( x ) g ( x ) ? ? ? 2 g ( x ) ? ? g ( x ) ? ? 应用3:求下列函数的导数 (1)y=tanx 2 2

2 x ?3 ? x ?6x ?3 (2)y ? 2 y ' ? 2 2 x ?3 (x ?3)

sin x cos x ? sin x 1 y ' ? ( )' ? ? 2 2 cos x cos x cos x

例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习: 1 (1). y ? 4 ;(2). y ? x x. x

[练 3]

求下列函数的导数:
4 2 2 2

(1)y=x -3x -5x+6; (2)y=x +log3x; (3)y=x · sin x; e +1 (4)y= x . e -1
x

[思路点拨]

结合基本初等函数的导数公式及导数的四则

运算法则直接求导.
[精解详析] (1)y′=(x4-3x2-5x+6)′

=(x4)′-3(x2)′-5x′+6′=4x3-6x-5; (2)y′=(x2+log3x)′ 1 =(x )′+(log3x)′=2x+ . xln 3
2

(3)y′=(x2)′· sin x+x2· (sin x)′ =2x· sin x+x2· cos x; ?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ (4)y′= ?ex-1?2 ex?ex-1?-?ex+1?ex -2ex = = x . ?ex-1?2 ?e -1?2

[一点通] 解决函数的求导问题,应先分
析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法 则,对较为复杂的求导运算,一般综合了和、 差、积、商几种运算,在求导之前应先将函数 化简,然后求导,以减少运算量.

解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。 5284 1 ?(x ? ?? ? c ) ?( ) 5284 ? ( ) 100 ?x x? 100 ? ? 1 ? ( x ? 100 ) ? 1 ? ( x ? 100 ) ? ? 5284 ? 2 ( x ? 100 )

0 ? ( x ? 100 ) ? 1 ? 1 ? 5284 ? ? 5284 ? 2 2 ( x ?100) ( x ? 100 )

5284 ? ( 90 )? ? 52 . 84 (1)因为 c ,所以, 2 ( 90 ? 100 ) 纯净度为90%时,费用的瞬时变化率

为52.84元/吨。
5284 ?( 98 )? ? 1321 (2)因为 c ,所以, 2 ( 98 ? 100 ) 纯净度为98%时,费用的瞬时变化率

为1321元/吨。

练6.(2011· 山东高考)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的

切线与y轴交点的纵坐标是
A.-9 C.9 B.-3 D.15

(

)

解析:y′=3x2,故曲线在点P(1,12)处的切线斜率 是3,故切线方程是y-12=3(x-1),令x=0得y= 9. 答案:C

7.设f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x0=( A.e2 ln 2 C. 2 B. e

)

D.ln 2 1 解析:f′(x)=x· x+ln x=1+ln x,
因为f′(x0)=2,即1+ln x0=2, 所以ln x0=1,x0=e.

答案:B

a 8.已知函数f(x)=x+x+b(x≠0),其中a,b∈R.若曲线y= f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x) 的解析式.
a 解:f′(x)=1- 2,由导数的几何意义得f′(2)=3, x 于是a=-8. 由切点P(2,f(2))在直线y=3x+1上, 8 可得f(2)=2- +b=-2+b=7,解得b=9. 2 8 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x-x+9.

运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则 时,要认真分析函数式的结构特点,较复杂的要先化简, 再求导,尽量避免使用积或商的求导法则.

第三课时

复合函数的导数

复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通

过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为
函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).

复合函数 y ? f (g(x)) 的导数和函数 y ? f (u),u ? g(x)的导数间的关系为 yx ' ? yu '?ux '

? ? 思考 如何求函数 y ? ln x ? 2 的导数 ?

? ? ? ? 若设 u ? x ? 2 x ? ? 2 , 则 y ? ln u . 从而 y ? ln x ? 2 可以

? ? 看成是由 y ? ln u 和 u ? x ? 2 x ? ? 2 经过 " 复合 " 得到

的 , 即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数 .

? 如果把 y 与 u 的关系记作 y ?f? u ,u 和 x 的关系记 ? ? u ? g x ,那么这个 " 复合 " 过程可表示为 ??f? ? ? ?? ? ? y ?f? u g x ln x ? 2 .
2

我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函 经过
2 ?由 " 复合 " 得到的 ,例如 ,函数 y?? 2 x?3 y?u 和 u?2 x?3

" 复合 " 而成 ,等等 .

? ? ? 一般地 ,对于两个函数 y?f? u 和 u ? g x ,如果通过 u ,

? y 可以表示成 x 的函数 ,那么称这个函数为 y?f? u 和

? 复合函数 ( ? ? ? ? ? u ? g x 的 composi fun cti te ), on 记作 y?f? g x .

? ?? ? ?? ?? 复合函数 y ? f g x 的导数和函数 y ? f u , u ? g x 的
导数间的关系为 y ? y ? u .
' x ' ' u x

y 表示 y对 x的导数
? ? 由此可得 ,y ? ln 3 x ? 2 对 x 的导数等于 y ? ln u 对 u 的
导数与 u ? 3 x ? 2 对 x 的导数的乘积 , 即 1 3 ? ?? ?? ?3 y? y ?u ? ln u 3 x ? 2 ? . u 3 x ? 2
' x ' u ' x ' '

' x

即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的 .

例 4 求下列函数的导数
? 0 .05 x? 1 ? ? ? ? ? ? 1 y ? 2x?3 ; 2 y ?e ; ? ?3?y ?sin ?? x???? 其中 ?,? 均为常数 . 2
2

3 ?? ? ?可以看作函数 解 1 函数 y ? 2 x ? 3 y ? u 和

u ? 2 x ? 3 的复合函数 . 由复合函数求导法则有
' y ? y ?u ? 4 u ? 8 x ? 12 . ? ?? u? 2 x ? 3
' x ' u ' x

??
2'

? 0 . 05 x ? 1 u ?? 2 函数 y ? e 可以看作函数 y ? e 和 u ?

? 0 . 05 x ? 1 的复合函数 . 由复合函数求导法则有

y ? y ?u ? ? ? e? ? 0 . 05 x ? 1
' x ' u ' x

??
' u

'

u ? 0 . 05 x ? 1 ? ? 0 . 05 e ? ? 0 . 05 e .

?? ? ? 3 函数 y ? sin ? x ? ? 可以看作函数 y ? sin u 和 u ? ? x ? ? 的复合函数 .
由复合函数求导法则有
' ' ' ' ' yx ?y ? u ? ?? ? ? sin u ?? x ? ? u x

? ? ? cos u ? cos x ? .

? ?? ?

求下列函数的导数

x x 1 .y?x? sin cos 2 2

2 .y? sin ( 2 x? ) 3
2

?

3.y=

1 1? x

?

1 1? x

如下函数由多少个函数复合而成:

1 . y ? sin 2 x 2 2.y ? ? 2 x ?1 2 3 . y ? (sin 2 x ? 1 )

-4t +16t . (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. 3 2 ? ? s ( t ) ? t ? 12 t ? 32 t , 令 s ( t ) ? 0 , (2) ? 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
1 练习:已知曲线 y ? x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平

1 例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= t 4 3 2

4

行且距离等于 10 ,求直线m的方程.

1 练习:已知曲线 y ? x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平

行且距离等于 10 ,求直线m的方程.

1 1 ? 3 ? 4 ? ? ? 解: y ?3 , y ? (3 ) ? ( x ) ? ? 3 x ; x x ?| ? 曲线在 P ( 1 , 1 ) 处的切线的斜率为 k ? y ? ? 3 , x ? 1 从而切线方程为 y ? 1 ? ? 3 ( x ? 1 ), 即 3 x ? y ? 4 ? 0 .
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ? ( ? 4 ) | ? 10 ? | b ? 4 | ? 10 , ? b ? 6 或 b ? ? 14 ; 2 3 ? 1

故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.

小结:
复合函数y=f(x)要先分解成基本 初等函数y=g(u), u=h(v), v=i(x) 等, 再求导:y’x=y’uu’vv’ x 根据函数式结构或变形灵活选择 基本初等函数求导公式或复合函数求 导方法


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