精品学习四川省宜宾市一中2017-2018学年高中数学上学期第17周 三角恒等变换教学设计


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本章知识框图

第三章 三角恒等变换
本章教材分析

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,以及运用这些公式进行简

单的恒等变换.变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一.在本册第一章,学生

接触了同角三角函数公式.在本章,学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式,由此出发导

出其他的三角变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.三角恒等变换位于三角

函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法

的过程中,发展推理能力和运算能力,并体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中

的一些应用.

本章内容安排按两条线进行,一条明线是建立公式,学习变换;一条暗线就是发展推理能

力和运算能力,并且发展能力的要求不仅仅体现在学习变换过程之中,也体现在建立公式的

过程之中.因此在本章教学中,教师要特别注意恰时恰点地提出问题,引导学生用对比、联系、

化归的观点去分析、处理问题,使学生能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角函数恒等变换

不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换,强化

运用数学思想方法指导设计变换思路的意识.

突出数学思想方法的教学,在类比、推广、特殊化等一般逻辑思考方法上进行引导,本章

不仅关注使学生得到和(差)角公式,而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法.

例如,在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想以及向量方法的应

用;从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正

切公式,在这个过程中,始终引导学生体会化归思想;在应用公式进行恒等变换的过程中,渗

透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法,特别是充分发挥了“观察”“思考”“探

究”等栏目的作用,对学生解决问题的一般思路进行引导,这对学生养成科学的数学思考习

惯能起到积极的促进作用.另外,还在适当的时候对三角变换中的数学思想方法作了明确的

总结.例如,在旁白中有“倍是描述两个数量之间关系的,2α 是 α 的二倍,4α 是 2α 的二倍, 这里蕴含着换元的思想”等,都是为了加强思想方法而设置的.

两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式是历届高考考查的“重点”和“热

点”,在高考中占有重要的地位,主要考查对这十一个公式的正用、逆用、变形用,考查对公

式的熟练掌握程度和灵活运用能力,其考查难度属低档,这就要求我们不要过分引导学生去

挖掘一些特殊的变化技巧,应把主要精力放在学生掌握数学规律和通性通法上.

教师在教学中,要注意控制好难度.因为近几年的高考中对三角部分的考查难度降低,但

教材中部分习题却有一定难度,因此教师要把握好难度.

本章教学时间约需 8 课时,具体分配如下(仅供参考):

节次

标题

课时

3.1.1

两角差的余弦公式

1 课时

3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2 课时

3.1.3

二倍角的正弦、余弦、正切公式

1 课时

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简单的三角恒等变换 本章复习

2 课时 2 课时

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 整体设计
一、教学分 析 本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程
的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中 存在研究像 tan(45°+α )这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像 sinα 与 tan(45°+α )这样的包含两角和的三角函数与 α 、45°单角的三角函数的关系的 需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生 学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程.
本节首先引导学生对 cos(α -β )的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想, 给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展 示了数学知识的发生、发展的具体过程, 最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数 线进行探索、推 导,让学生动手画图,构造出 α -β 角,利用学过的三角函数知识探索存在一 定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推 导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结 合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不 去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的 过程, 既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.
本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了 解 公 式 的 由 来 ;② 使 学 生 认 识 公 式 的 结 构 特 征 , 加 以 记 忆 ;③ 使 学 生 掌 握 公 式 的 推 导 和 证 明;④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题. 二、教学目标
1.知识与技能: 通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函 数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运 算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质. 2.过程与方法: 通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当 中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生 分析问题、解决问题的能力. 3.情感态度与价值观: 通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与 联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识, 从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法. 三、重点难点 教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探索过程的组织和适当引导. 四、课时安排 1 课时 五、教学设想

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(一)导入新课 思路 1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想
分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研 究像 tan(45°+α )这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像 sinα 与 tan(45°+α )这样的包含两角和的三角函数与 α 、45°单角的三角函数的关系的需要.在 此 基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.

思路 2.(复习导入)我们在初中时就知道 cos45°= 2 ,cos30°= 3 ,由此我们能否得

2

2

到 cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于 cos45°-cos30°呢?教师可让学生验证,经 过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢?cos(α -β )等于什么呢?这 时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公 式的基础.

(二)推进新课、新知探究、提出问题 ①请学生猜想 cos(α -β )=? ②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用 α 、β 的三角函数来表示 cos(α -β )
呢? ③利用向量的知识,又能如何推导发现 cos(α -β )=? ④细心观察 C(α -β )公式的结构,它有哪些特征?其中 α 、β 角的取值范围如何? ⑤如何正用、逆用、灵活运用 C(α -β )公式进行求值计算? 活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学
可能就首先想到 cos(α -β )=cosα -cosβ 的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊
角 来 验 证 它 的 正 确 性 . 如 α =60°,β =30°, 则 cos(α -β )=cos30°= 3 , 而 2

cosα -cosβ =cos60°-cos30°= 1 ? 3 ,这一反例足以说明 cos(α -β )≠cosα -cosβ . 2
让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例 即可.
问题②,既然 cos(α -β )≠cosα -cosβ ,那么 cos(α -β )究竟等于什么呢?由于这里 涉及的是三角函数的问题,是 α -β 这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数 线来探究呢?

图1 如图 1,设角 α 的终边与单位圆的交点为 P1,∠POP1=β ,则∠POx=α -β .过点 P 作 PM 垂 直于 x 轴,垂足为 M,那么 OM 就是角 α -β 的余弦线,即 OM=cos(α -β ),这里就是要用角 α 、
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β 的正弦线、余弦线来表示 OM.过点 P 作 PA 垂直于 OP1,垂足为 A,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴, 垂足为 B,过点 P 作 PC 垂直于 AB,垂足为 C.那么,OA 表示 cosβ ,AP 表示 sinβ ,并且 ∠PAC=∠P1Ox=α . 于 是 ,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cosβ cosα +sinβ sinα , 所 以,cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ .
教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角 α 、β 、α -β 是有条件限制的,即 α 、 β 、α -β 均为锐角,且 α >β ,如果要说明此结果是否对任意角 α 、β 都成立,还要 做不少 推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.
图2 问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图 2,在平面 直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 α 、β ,它们的终边与单位圆 O 的交点分别
为 A、B,则 OA =(cosα ,sinα ), OB =(cosβ ,sinβ ),∠AOB=α -β .
由向量数量积的定义有 OA · OB =| OA || OB |·cos(α -β )=cos(α -β ),
由向量数量积的坐标表示有
OA · OB =(cosα ,sinα )(cosβ ,sinβ )=cosα cosβ +sinα sinβ ,
于是,cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ . 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角 α -β 必须符合条件 0≤α -β ≤π ,以上结论才正确,由于 α 、β 都是任意角,α -β 也是任 意角,因此就是研究当 α -β 是任意角时,以上公式是否正确的问题.当 α -β 是任意角时, 由诱导公式,总可以找到一个角 θ ∈[0,2π ),使 cosθ =cos(α -β ),若 θ ∈[0,π ],则
OA · OB =cosθ =cos(α -β ). 若 θ ∈ [ π ,2π ] , 则 2π -θ ∈ [ 0,π ] , 且
OA · OB =cos(2π -θ )=cosθ =cos(α -β ).
由此可知,对于任意角 α 、β 都有 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sin β (C(α -β ))
此公式给出了任意角 α 、β 的正弦、余弦值与其差角 α -β 的余弦值 之间的关系,称 为差角的余弦公式,简记为 C(α -β ).有了公式 C(α -β )以后,我们只要知道 cosα 、cosβ 、sinα 、 sinβ 的值,就可以求得 cos(α -β )的值了.
问题④,教师引导学生细心观察公式 C(α -β )的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两 角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特 征 进 行 记 忆 , 特 别 是 运 算 符 号 , 左 “-” 右 “+”. 或 让 学 生 进 行 简 单 填 空 , 如:cos(A-B)=__________,cos(θ -φ )= __________等.因此,只要知道了 sinα 、cosα 、sinβ 、cosβ 的值就可以求得 cos(α -β )
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的值了. 问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要
学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运
算技巧.如 cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°= 3 , 2
cosα =cos[(α +β )-β ]=cos(α +β )cosβ +sin(α +β )sinβ . 讨论结果:①—⑤略.

(三)应用示例 思路 1
例 1 利用差角余弦公式求 cos15°的值. 活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角 15°,它可
以拆分为哪些特殊角的差,如 15°=45°-30°或者 15°=60°-45°,从而就可以直接套用公 式 C(α -β )计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式 的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓 励其换个角度继续探究.
解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°

= 2? 3? 2?1 ? 6? 2.

2 2 22

4

方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°

=1× 2 ? 2? 3 ? 6? 2.

22 22

4

点评:本题是指定方法求 cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集 中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵 活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角 差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.
变式训练 1.不查表求 sin75°,sin15°的值
解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°

= 2? 3? 2?1 ? 6? 2.

2 2 32

4

sin15°= 1? cos2 15? = 1 ? ( 6 ? 2 )2 = 8 ? 2 6 ? 2 ? 6 ? 2 .

4

16

4

点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导 公式,不难得到上面的解答方法.

2.不查表求值:cos110°cos20°+sin110°sin20°. 解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0. 点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心

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观察,再结合公式 C(α -β )的右边的特征,逆用公式便可得到 cos(110°-20°).这就是公式逆 用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.

例 2 已知 sinα = 4 ,α ∈( ? ,π ),cosβ = ? 5 ,β 是第三象限角,求 cos(α -β )的值.

5

2

13

活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现 ,

欲求 cos(α -β )的值,必先知道 sinα 、cosα 、sinβ 、cosβ 的值,然后利用公式 C(α -β )即 可求解.从已知条件看,还少 cosα 与 sinβ 的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学

生注意利用同角的平方和关系式时,角 α 、β 所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符

号.本例可由学生自己独立完成.

解:由 sinα = 4 ,α ∈( ? ,π ),得

5

2

cosα = ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( 4)2 ? ? 3 .

5

5

又由 cosβ = ? 5 ,β 是第三 象限角,得 13

sinβ = ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (? 5 )2 ? ? 12 .

13

13

所以 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

= (? 3) ? (? 5 ) ? 4 ? (?12) ? ? 33. 5 13 5 13 65
点评:本题是直接运用公式 C(α -β )求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要
准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数

值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.

变式训练

已知 sinα = 4 ,α ∈(0,π ),cosβ = ? 5 ,β 是第三象限角,求 cos(α -β )的值.

5

13

解:①当 α ∈[ ? ,π )时,且 sinα = 4 ,得 cosα = ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( 4)2 ? ? 3 ,

2

5

5

5

又由 cosβ = ? 5 ,β 是第三象限角,得 13

sinβ = ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (? 5 )2 = ? 12 . 13 13

所以 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

= (? 3) ? (? 5 ) ? 4 ? (?12) ? ? 33 . 5 13 5 13 65.

②当 α ∈(0, ? )时,且 sinα = 4 ,得

2

5

cosα = 1 ? sin 2 a ? 1 ? ( 4)2 ? 3 , 55

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又由 cosβ = ? 5 ,β 是第三象限角,得 13

sinβ = ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (? 5 )2 ? ? 12 .

13

13

所以 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ
= 3 ? (? 5 ) ? 4 ? (?12) ? ? 63. 5 13 5 13 65
点评:本题与例 2 的显著的不同点就是角 α 的范围不同.由于 α ∈(0,π ),这样 cosα 的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角 α 进行分类讨论,从而 培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.
思路 2 例 1 计算:(1)cos(-15 °);
(2)cos15°cos105°+sin15°sin105°; (3)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y). 活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15°,思考它可以拆 分为哪些特殊角的差,如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°,然后套用公式求值即可.也可 化 cos(-15°)=cos15°再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式 C(α -β )的右边一 致,从而化为特殊角的余弦函数. 解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°

= 2? 3? 2?1 ? 6? 2.

2 2 22

4

(2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.

(3)原式=cos[x-(x+y)]=cos(-y)=cosy.

点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养

学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础.

例 2 已知 cosα = 1 ,cos(α +β )= ? 11 ,且 α 、β ∈(0, ? ),求 cosβ 的值.

7

14

2

活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究 α 、α +β 、β 之间的关系,

也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到 β =(α +β )-α

的关系式,然后利用公式 C(α -β )求值即可.但还应提醒学生注意由 α 、β 的取值范围求出 α +β 的取值范围,这是很关键的一点,从而判断 sin(α +β )的符号进而求出 cosβ .

解:∵α 、β ∈(0, ? ),∴α +β ∈(0,π ). 2

又∵cosα = 1 ,cos(α +β )= ? 11 ,

7

14

∴sinα = 1 ? cos2 a ? 4 3 , 7

sin(α +β )= 1 ? cos2 (a ? ? ) ? 5 3 . 14
又∵β =(α +β )-α ,

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∴cosβ =cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα

= (? 11 ) ? 1 ? 5 3 ? 4 3 ? 1 . 14 7 14 7 2
点评:本题相对于例 1 难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难得到 β = (α +β )-α 的关系式,继而运用公式解决.但值得注意的是 α +β 的取值范围确定,也是很关键的,这是 我们以后解题当中常见的问题.
变式训练 1.求值:cos15°+sin15°.

解:原式= 2( 2 cos15°+ 2 sin15°)= 2 (cos45°cos15°+sin4 5°sin15°)

2

2

= 2 cos(45°-15°)= 2 cos30°= 6 . 2

2.已知 sinα +sinβ = 3 ,cosα +cosβ = 4 ,求 cos(α -β )的值.

5

5

解:∵(sinα +sinβ )2=( 3 )2,(cosα +cosβ )2=( 4 )2,

5

5

以上两式展开两边分别相加得 2+2cos(α -β )=1,

∴cos(α -β )= ? 1 . 2

点评:本题又是公式 C(α -β )的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平

方,从而得到公式 C 中 (α -β ) cosα cosβ 和 sinα sinβ 的值,即可求得 cos(α -β )的值,本题

培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.

3.已知锐角 α 、β 满足 cosα = 4 ,tan(α -β )= ? 1 ,求 cosβ .

5

3

解:∵α 为锐角,且 cosα = 4 ,得 sinα = 3 .

5

5

又∵0<α < ? ,0<β < ? ,

2

2

∴- ? <α -β < ? .

2

2

又∵tan(α -β )= ? 1 <0, 3

∴cos(α -β )= 3 . 10

从而 sin(α -β )=tan(α -β )cos(α -β )= ? 1 . 10
∴cosβ =cos[α -(α -β )]=cosα cos(α -β )+sinα sin(α -β )

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= 4 × 3 ? 3 ? (? 1 ).

5 10 5

10

= 9 10 . 50

(四)课堂小结 1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正
用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识 点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究?(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构 和功能的认识;三角变换的特点.
2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用 公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号. 多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤, 领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.
(五)作业

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 整体设计
一、教学分析 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步
研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中,教科书都把 对照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如 比较 cos(α -β )与 cos(α +β ),它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同 角的形式从运 算或换元的角度看都有内在联系,即 α +β =α -(-β )的关系,从而由公式 C(α -β )推得公式 C(α +β ),又如比较 sin(α -β )与 cos(α -β ),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求 进行函数名的互化,利用诱导公式(5)(6)即可推得公式 S(α -β )、S(α +β )等.
2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导,揭示了两角和、差的三角函 数与这两角的三角 函数的运算规律,还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因 此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能 力的重要内容,对培养学生的探索精神和 创新能力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.
3.本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学 生深刻领会它们的这种联系,从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了 训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维 习惯进行引导,例如在面对问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什
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么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结 果而不顾过程表述的正确性、简捷性等,这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标
1.知识与技能: 在学习两角差的余弦公式的基础上,通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、 余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解, 培养学生的运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力. 2.过程与方法: 通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明, 使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问 题解决问题的能力. 3.情感态度与价值观: 通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生 的应用意识,提高学生的数学素质. 三、重点难点 教学重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导. 教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明. 四、课时安排 2 课时 五、教学设想
第 1 课时 (一)导入新课
思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式,并把公式默 写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察 cos(α -β ) 与 cos(α +β )、sin(α -β )的内在联系,进行由旧知推出新知的转化过程,从而推导出 C(α +β )、S(α -β )、S(α +β ).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.
思路 2.(问题导入)教师出示问题,先让学生计算以下几个题目,既可以复习回顾上节

所学公式,又为本节新课作准备.若 sinα = 5 ,α ∈(0, ? ),cosβ = 10 ,β ∈(0, ? ),

5

2

10

2

求 cos(α -β ),cos(α +β )的值.学生利用公式 C(α -β )很容易求得 cos(α -β ),但是如果 求 cos(α +β )的值就得想法转化为公式 C(α -β )的形式来求,此时思路受阻,从而引出新课 题,并由 此展开联想探究其他公式.

(二)推进新课、新知探究、提出问题 ①还记得两角差的余弦公式吗?请一位同学到黑板上默写出来. ②在公式 C(α -β )中,角 β 是任意角,请学生思考角 α -β 中 β 换成角-β 是否可以?
此时观察角 α +β 与 α -(-β )之间的联系,如何利用公式 C(α -β )来推导 cos(α +β )=? ③分析观察 C(α +β )的结构有何特征? ④在公式 C(α -β )、C(α +β )的基础上能否推导 sin(α +β )=?sin(α -β )=? ⑤公式 S(α -β )、S(α +β )的结构特征如何? ⑥对比分析公式 C(α -β )、C(α +β )、S(α -β )、S(α +β ),能否推导出 tan(α -β )=? tan(α +β )=? ⑦分析观察公式 T(α -β )、T(α +β )的结构特征如何?

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⑧思考如何灵活运用公式解题?

活动:对问题①,学生默写完后,教师打出课件,然后引导学生观察两角差的余弦公式,

点拨学生思考公式中的 α ,β 既然可以是任意角,是怎样任意的?你会有些什么样的奇妙想

法呢?鼓励学生大胆猜想,引导学生比较 cos(α -β )与 cos(α +β )中角的内在联系,学生

有的会发现 α -β 中的角 β 可以变为角-β ,所以 α -(-β )=α +β 〔也有的会根据加减运

算关系直接把和角 α +β 化成差角 α -(-β )的形式〕. 这时教师适时引导学生转移到公式

C(α -β )上来,这样就很自然地得到 cos(α +β )=cos[α -(-β )]

=cosα cos(-β )+sinα sin(-β )

=cosα cosβ -sinα sinβ .

所以有如下公式:

cos(α +β )=cosα cosβ -s

inα sinβ

我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作 C(α +β ). 对问题②,教师引导学生细心观察公式 C(α +β )的结构特征,可知“两角和的余弦,等于 这两角的余弦积减去这两角的正弦积”,同时让学生对比公式 C(α -β )进行记忆,并填空: cos75°=cos(_________)==__________=___________.

对问题③,上面学生推得了两角和与差的余弦公式,教师引导学生观察思考,怎样才能

得到两角和与差的正弦公式呢?我 们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢?学生可能有

的 想 到 利 用 诱 导 公 式 ⑸⑹ 来 化 余 弦 为 正 弦 ( 也 有 的 想 到 利 用 同 角 的 平 方 和 关 系 式

sin2α +cos2α =1 来互化,此法让学生课下进行),因此有

sin(α +β )=cos[ ? -(α +β )]=cos[( ? -α )-β ]

2

2

=cos( ? -α )cosβ +sin( ? -α )sinβ

2

2

=sinα cosβ +cosα sinβ .

在上述公式中,β 用-β 代之,则

sin(α -β )=sin[α +(-β )]=sinα cos(-β )+cosα sin(-β )

=sinα cosβ -cosα sinβ .

因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为 S(α +β )、S(α -β ).

sin(α +β )=sinα cosβ +co

sα sinβ ,

sin(α -β )=sinα cosβ -co

sα sinβ .

对问题④⑤,教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆,

同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特 点,体验三角公式的这种简洁美、对称

美 . 为 强 化 记 忆 , 教 师 可 让 学 生 填 空 , 如 sin(θ +φ )=___________ ,

sin 2? cos5? ? cos 2? sin 5? =__________.

77

77

对问题⑥,教师引导学生思考,在我们推出了公式 C(α -β )、C(α +β )、S(α +β )、S(α -β )后,自

然想到两角和与差的正切公式,怎么样来推导出 tan(α -β )=?,tan(α +β )=?呢?学生很容

易想到利用同角三角函数关系式,化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论,这

时教师不要直接提醒,让学生自己悟出来.

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当 cos(α +β )≠0 时,tan(α +β )= sin(a ? ? ) ? sin cos ? ? cos? sin ? . cos(a ? ? ) cos? cos ? ? sin? sin ?
如果 cosα cosβ ≠0,即 cosα ≠0 且 cosβ ≠0 时,分子、分母同除以 cosα cosβ 得
tan(α +β )= tan ? ? tan ? ,据角 α 、β 的任意性,在上面的式子中,β 用-β 1 ? tan? tan(?? )
代之,则有
tan(α -β )= tan? ? tan(?? ) ? tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan(?? ) 1 ? tan? tan ?
由此推得两角和、差的正切公式,简记为 T(α -β )、T(α +β ).
tan(α +β )= tan? ? tan ? , 1 ? tan? tan ?

tan(α -β )= tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ?

对问题⑥,让学生自己联想思考,两角和与差的正切公式中 α 、β 、α ±β 的取值是任

意的吗?学生回顾自己的公式探究过程可知,α 、β 、α ±β 都不能等于 ? +kπ (k∈Z), 2
并引导学生分析公式结构特征,加深公式记忆.

对问题⑦⑧,教师与学生一起归类总结,我们把前面六个公式分类比较可得 C 、 (α +β ) S(α +β )、T(α +β )叫和角公式;S(α -β )、C(α -β )、T(α -β )叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公

式的推导过程,从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑 联系图,

深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:

不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变

形式

tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ),tanα -tanβ =tan(α -β )(1+tanα tanβ ),

在化简求值中就经常应用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美.对于两角和与

差的正切公式,当 tanα ,tanβ 或 tan(α ±β )的值不存在时,不能使用 T(α ±β )处理某

些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简 tan( ? -β ),因为 tan ? 的值不

2

2

存在,所以改用诱导公式

tan( ? 2



sin(? )= 2
? cos(

? ?) ? ?)

?

cos? sin ?

来处理等.

2

(三)应用示例 学习 K12 教育 word 版本

思路 1

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例 1 已知 sinα = ? 3 ,α 是第四象限角,求 sin( ? -α ),cos( ? +α ),tan( ? -α )的值.

5

4

4

4

活动:教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要

求.再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进 行等.例如本题

中,要先求出 cosα ,tanα 的值,才能利用公式得解,本题是直接应用公式解题,目的是为

了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立完成.

解:由 sinα = ? 3 ,α 是第四象限角,得 cosα = 1 ? sin 2 a ? 1 ? (? 3)2 ? 4 .

5

55

∴tanα = sin a = ? 3 . cosa 4

于是有 sin( ? -α )=sin ? cosα -cos ? sinα = 2 ? 4 ? 2 ? (? 3) ? 7 2 ,

4

4

4

2 5 2 5 10

cos( ? +α )=cos ? cosα -sin ? sinα = 2 ? 4 ? 2 ? (? 3) ? 7 2 ,

4

4

4

2 5 2 5 10

tan(α

-?

)=

tan a ? tan ? 4

4 1? tan a tan ?

= tan a ?1 =

? 3 ?1 4

1 ? tan a 1 ? (? 3)

? ?7 .

4

4

点评:本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有

序性,逐步培养他们良好的思维习惯.

变式训练

1.不查表求 cos75°,tan105°的值

解:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°

= 2? 3? 2?1 ? 6? 2 ,

2 2 22

4

tan105°=tan(60°+45°)=

tan 60? ? tan 45? 1? tan 60? tan 45?

? 3 ?1 =-(2+ 1? 3

3 ).

2.设 α ∈(0, ? ),若 sinα = 3 ,则 2sin(α + ? )等于

2

5

4

A. 7

B. 1

C. 7

D.4

5

5

2

答案:A

例2

已 知 sinα = 2 ,α ∈( ?

3

2

sin(α -β ),cos(α +β ),tan(α +β ).

,π ),cosβ = ? 3 ,β ∈(π , 3?

4

2

). 求

活动:教师可先让学生自己探究解决,对探究困难的学生教师给以适当的点拨,指导学

生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式 S(α -β )、C(α +β )、T(α +β )应先求出 cosα 、sinβ 、tanα 、tanβ 的值,然后利用公式求值,但要注意解题中三角函数值的符

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号.

解:由 sinα = 2 ,α ∈( ? ,π ),得

3

2

cosα = ? 1? sin2 a =- ? 1 ? ( 2 )2 = ? 5 ,∴tanα = ? 2 5 .

3

3

5

又由 cosβ = ? 1 ,β ∈(π , 3? ).

3

2

sinβ = ? 1? cos2 ? = ? 1 ? (? 3)2 ? ? 7 ,

4

4

∴tanβ = 7 .∴sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ 3

= 2 ×( ? 3 )-( (? 5 ) ? (? 7 ) ? ? 6 ? 35 .

3

4

3

4

12

∴cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ =( ? 5 )×( ? 3 )- 2 ×( ? 7 )

3

43

4

=3 5?2 7. 12

∴tan(α +β )=

tan? ? tan ? ?

?2 5? 7 53

? ?6 5?5 7

=

1 ? tan? tan ? 1 ? (? 2 5 ) ? 7 15 ? 2 35

53

? 32 5 ? 27 7 . 17

点评:本题仍是直接利用公式计算求值的基础题,其目的还是让学生熟练掌握公式的应 用,训练学生的运算能力.
变式训练 引导学生看章头图,利用本节所学公式解答课本章头题,加强学生的应用意识.
解:设电视发射塔高 CD=x 米,∠CAB=α ,则 sinα = 30 , 67
在 Rt△ABD 中,tan(45°+α )= x ? 30 tanα . 30

于是 x= 30 tan(45? ? ? ) ? 30 , tan?

又∵sinα = 30 ,α ∈(0, ? ),∴cosα ≈ 60 ,tanα ≈ 1 .

67

2

67

2

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tan(45°+α

)= 1 ? tan?

1? ?

1 2

=3,

1 ? tan? 1 ? 1

2

∴x= 30 ? 3 -30=150(米). 1

2
答:这座电视发射塔的高度约为 150 米.

例 3 在△ABC 中,sinA= 3 (0°<A<45°),cosB= 5 (45°<B<90°),求 sinC 与 cosC 的值.

5

13

活动:本题是解三角形问题,在必修 5 中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数

诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学

生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论

解决,对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联 系,从而找

出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.

解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).

又∵sinA= 3 且 0°<A<45°,∴cosA= 4 .

5

5

又∵cosB= 5 且 45°<B<90°,∴sinB= 12 .

13

13

∴sinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

= 3 × 5 + 4 × 12 = 63 , 5 13 5 13 65
cosC=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB

= 3 ×12 - 4 × 5 = 16 . 5 13 5 13 65
点评:本题是利用两角和差公式,来解决三角形问题的典型例子,培养了学生的应用意

识,也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于 180°这

一暗含条件.

变式训练

在△ABC 中,已知 sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC 是( )

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.等腰非直角三角形

答案:C

思路 2

例 1 若 sin( 3? +α )= 5 ,cos( ? -β )= 3 ,且 0<α < ? <β < 3? ,求 cos(α +β )的值.

4

13

4

5

44

活动:本题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练学生的运算能力以及逻

辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度,但教师仍可放手让学生探究讨论,教师不

可直接 给出解答.对于探究不出的学生,教师可恰当点拨引导,指导学生解决问题的关键是

寻找所求角与已知角的内在联系,引导学生理清所求的角与已知角的关系,观察选择应该选

用哪个公式进行求解,同时也要特别提醒学生注意:在求有关角的三角函数值时,要特别注

意确定准角的范围,准确判断好三角函数符号,这是解决这类问题的关键.学生完全理清思

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路后,教师应指导学生的规范书写,并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展 本题,

或变化条件,或变换所求的结论等.如教师可变换 α ,β 角的范围,进行一题多变训练,提

高学生灵活应用公式的能力,因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.

解:∵0<α < ? <β < 3? ,∴ 3? < 3? +α <π ,- ? < ? -β <0,

4

4

44

24

又已知 sin( 3? +α )= 5 ,cos( ? -β )= 3 ,

4

13

4

5

∴cos( 3? +α )= ? 12 ,sin( ? -β )= ? 4 .

4

13

4

5

∴cos(α +β )=sin[ ? +(α +β )]=sin[( 3? +α )-( ? -β )]

2

4

4

=sin( 3? +α )cos( ? -β )-cos( 3? +α )sin( ? -β )

4

4

4

4

= 5 × 3 -( ? 12 )×( ? 4 )= ? 33 .

13 5 13

5 65

本题是典型的变角问题,即把所求 角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要

巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.

变式训练

已知 α ,β ∈( 3? ,π ),sin(α +β )= ? 3 ,sin(β - ? )= 12 ,求 cos(α + ? )的值.

4

5

4 13

4

解:∵α ,β ∈( 3? ,π ),sin(α +β )= ? 3 ,sin(β - ? )= 12 ,

4

5

4 13

∴ 3? <α +β <2π , ? <β - ? < 3? .

2

2 44

∴cos(α +β )= 4 ,cos(β - ? )= ? 5 .

5

4 13

∴cos(α + ? )=cos[(α +β )-(β - ? )]

4

4

=cos(α +β )cos(β - ? )+sin(α +β )sin(β - ? )

4

4

= 4 ×( ? 5 )+( ? 3 )× 12 = ? 56 . 5 13 5 13 65

例 2 化简 sin(a ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? a) . sin a sin ? sin ? sin? sin? sin a

活动:本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式,教师可以先

让学生自己独立地探究,然后进行讲评.









= sin a cos ? ? cos a sin ? ? sin ? cos? ? cos ? sin? ? sin? cos a ? cos? sin a

sin a sin ?

sin ? sin?

sin? sin a

=

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sin a cos ? sin? ? cos? sin ? sin? ? sin a sin ? cos? ? sin a cos ? sin? ? sin? sin ? cos a ? cos? sin ? sin a

sin a sin ? sin?

sin a sin ? sin?

sin? sin ? sin a

=

0

sin? sin ? sin a

=0. 点评:本题是一个很好的运用公式进行化简的例子,通过学生独立解答,培养学生熟练 运用公式的运算能力. 变式训练

化简 sin(? ? ? ) ? 2sin? cos ? 2sin? sin ? ? cos(? ? ? )

解:原式= sin ? cos ? cos? sin ? ? 2sin? cos ? 2sin? sin ? ? cos? cos ? ? sin? sin ?

= cos? sin ? ? sin? cos ? ? sin(? ? ? ) ? tan(? ? ? ). sin? sin ? ? cos? cos ? cos(? ? ? )

(四)作业

已知 0<β < ? , ? <α < 3? ,cos( ? -α )= 3 ,sin( 3? +β )= 5 ,求 sin(α +β )的值.

44 4

4

5

4

13

解:∵ ? <α < 3? ,∴ ? ? < ? -α <0.∴sin( ? -α )= ? 1 ? ( 3)2 = ? 4 .

44

24

4

5

5

又∵0<β < ? ,∴ 3? < 3? +β <π ,cos( 3? +β )= ? 1 ? ( 5 )2 = ? 12 .

4 44

4

13 13

∴sin(α +β )=-cos( ? +α +β )=-cos[( 3? +β )-( ? -α )]

2

4

4

=-cos( 3? +β )cos( ? -α )-sin( 3? +β )sin( ? -α )

4

4

4

4

=-( ? 12 )× 3 ? 5 ×( ? 4 )= 56 . 13 5 13 5 65

(五)课堂小结 1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,在公式
推导中你悟出了什么样的数学思想?对于这六个公式应如何对比记忆?其中正切公式的应 用有什么条件限制?怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
2.教师画龙点睛:我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推 导,明白从已知推得未知,理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用 公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一个题目能给出多种解法,从中 比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学

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思想方法之目的.

第 2 课时 (一)导入新课
思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式,并回忆公式的来龙去脉,然后 让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征,说 出它们的区别和联系,以及公式的正用、逆用及变形用,以利于对公式的深刻理解.这节课 我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.
思路 2.(问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式 进行解答. 1.化简下列 各式
(1)cos(α +β )cosβ +sin(α +β )sinβ ;
(2) sin 2 x ? sin x ? cos x ? sin x ? cos ; sin x ? cos x tan 2 x ?1

(3) sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? tan2 ? .

sin 2 ? cos2 ?

tan2 ?

2.证明下列各式

(1) sin(? ? ? ) ? tan? ? tan ? ; cos(? ? ? ) 1 ? tan? tan ?

(2)tan(α +β )tan(α -β )(1-tan2tan2β )=tan2α -tan2β ;

(3) sin(2? ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) ? sin ? .

sin ?

sin ?

答案:1.(1)cosα ;(2)0;(3)1.

2.证明略.

教师根据学生的解答情况进行一一点拨,并对上节课所学的六个公式进行回顾复习,由

此展开新课.

(二)推进新课、新知探究、提出问题

①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.

②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系中思考.

活动:待学生稍做回顾后,教师打出幻灯,出示和与差角公式,让学生进一步在直观上

发现它们内在的区别与联系,理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用,更要体会由特殊

到一般的数学思想方法.教师引导学生观察,当 α 、β 中有一个角为 90°时,公式就变成

诱导公式,所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时,还要注

意角的相对性,如 α =(α +β )-β , ? ? ? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 等.让学生在整个的数学体

2

22

系中学会数学知识,学会数学方法,更重要的是学 会发现问题的方法,以及善于发现规律

及其内在联系的良好习惯,提高数学素养.

sin(α ±β )=sinα cosβ ±cosα sinβ 〔S(α ±β )〕;

cos(α ±β )=cosα cosβ

α sinβ 〔C(α ±β )〕;

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tan(α

±β

)= tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

〔T(α ±β )〕.

讨论结果:略.

(三)应用示例 思路 1
例 1 利用和差角公式计算下列各式的值. (1)sin72°cos42°-cos72°sin42°; (2 )cos20°cos70°-sin20°sin70°;

(3) 1 ? tan15 ? 1 ? tan15 ?

活动:本例实际上是公式的逆用,主要用来熟悉公式,可由学生自己完成.对部分学生, 教 师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现(1)同公式 S(α -β )的右边,(2)同公式 C(α +β )右边形式一致,学生自然想到公式的逆用,从而化成特殊角 的三角函数,并求得结果.再看(3)式与 T(α +β )右边形式相近,但需要进行一定的变形.又

因为 tan45°=1,原式化为 tan 45? ? tan15? 1 ? tan 45? tan15?

,再逆用公式 T(α +β )即可解得.

解:(1)由公式 S(α -β )得
原式=sin(72°-42°)=sin30°= 1 . 2
(2)由公式 C(α +β )得 原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. (3)由公式 T(α +β )得

原式= tan 45? ? tan15? =tan(45°+15°)=tan60°= 1 ? tan 45? tan15?

3.

点评:本例体现了对公式的全面理解,要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正 用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性 要求也高,而且对公式要有更全面深刻的理解.
变式训练 1.化简求值:
(1)cos44°sin14°-sin44°cos14°; (2)sin14°cos16°+sin76°cos74°; (3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).
解:(1)原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°= ? 1 . 2
(2)原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°= 1 . 2
(3)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin90°=1.

2.计算

1 1

? ?

tan tan

75 ? 75 ?

.

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解:原式= tan 45 ? ? tan 75 ? 1 ? tan 45 ? tan 75 ?

=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°= ?

3. 3

例 2 已知函数 f(x)=sin(x+θ )+cos (x-θ )的定义域为 R,设 θ ∈[0,2π ],若 f(x)为偶函

数,求 θ 的值.

活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函

数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让

学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.

解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),

即 sin(-x+θ )+cos(-x-θ )=sin(x+θ )+cos(x-θ ),

即-sinxcosθ +cosxsinθ +cosxcosθ -sinxsinθ

=sinxcosθ +cosxsinθ +cosxcosθ +sinxsinθ .

∴sinxcosθ +sinxsinθ =0.

∴sinx(sinθ +cosθ )=0 对任意 x 都成立.

∴ 2 sin(θ + ? )=0,即sin(θ + ? )=0.

4

4

∴θ + ? =kπ (k∈Z).∴θ =kπ - ? (k∈Z).

4

4

又 θ ∈[0,2π ),∴θ = 3? 或 θ = 7? .

4

4

点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果

将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为 解答题利用特殊值是不严密的,以此

训练学生逻辑思维能力.

变式训练

已知: ? <β <α < 3? ,cos(α -β )= 12 ,sin(α +β )= ? 4 ,求 cos2β 的值.

2

4

13

5

解:∵ ? <β <α < 3? ,

2

4

∴0<α -β < ? ,π <α +β < 3? .

4

2

又∵cos(α -β )= 12 ,sin(α +β )= ? 4 ,

13

5

∴sin(α -β )= 5 ,cos(α +β )= ? 3 .

13

5

∴cos2β =cos[(α +β )-(α -β )]

=cos(α +β )cos(α -β )+sin(α +β )sin(α -β )

= ? 3 × 12 +( ? 4 )× 5 = ? 56 . 5 13 5 13 65

例 3 求证:cosα + 3 sinα =2sin( ? +α ). 6
活动:本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函
数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利

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用公式 S(α +β )展开,化简整理即可得到左边此为证法,这是很自然的,教师要给予鼓励.同 时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式 S(α +β )的右边的形式,然后逆用公式化 简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要的是把两个三角函 数化为一个三角函数.

证明:方法一:右边=2(sin ? cosα +cos ? sinα )=2( 1 cosα + 3 sinα )

6

6

2

2

=cosα + 3 sinα =左边.

方法二:左边=2( 1 cosα + 3 sinα )=2(sin ? cosα +cos ? sinα )

2

2

6

6

=2sin( ? +α )=右边. 6
点评:本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,
此法也给了我们一种重要的转化方法,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边

的系数 1 与 3 分别变为了 1 与 3 ,即辅助角 ? 的正、余弦.关于形如 asinx+bcosx(a,

22

6

b 不同时为零)的式子,引入辅助角变形为 Asin(x+φ )的形式,其基本想法是“从右向左”

用和角的正弦公式,把它化成 Asin(x+φ )的形式.一般情况下,如果 a= AC osφ ,b=Asinφ ,
那么 asinx+bcosx=A(sinxcosφ +cosxsinφ )=Asin(x+φ ).由 sin2φ +cos2φ =1,可得
A2=a2+b2,A=± a2 ? b2 , 不 妨 取 A= a2 ? b2 , 于 是 得 到

cosφ =

a

,sinφ =

a2 ? b2

b

, 从 而 得 到 tanφ = a , 因 此

a2 ? b2

b

asinx+bcosx= a2 ? b2 sin(x+φ ),通过引入辅助角 φ ,可以将 asinx+bcosx 这种形式的
三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决 asinx+bcosx 的许多问 题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变换思 想很重要,即把两个三角函数化为一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角 函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高,是三角部分 中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领 悟其实质并熟练的掌握它.
变式训练 化简下列各式:
(1) 3 sinx+cosx;

(2) 2 cosx-6sinx.

解:(1)原式=2( 3 sinx+ 1 cosx)=2(cos ? sinx+sin ? cosx)

2

2

6

6

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=2sin(x+ ? ). 6

(2)原式=2 2 ( 1 cosx- 3 sinx)=2 2 (sin ? cosx-cos ? sinx)

2

2

6

6

=2 2 sin( ? -x). 6

例 4 (1)已知 α +β =45°,求(1+tanα )(1+tanβ )的值;

(2)已知 sin(α +β )= 1 ,sin(α -β )= 1 ,求 tan? .

2

3 tan ?

活动:对于(1),教师可与学生一起观察条件,分析题意可知,α +β 是特 殊角,可以 利用两角和的正切公式得 tanα ,tanβ 的关系式,从而发现所求式子的解题思路.在(2)中,

我们欲求 tan? . 若利用已知条件直接求 tanα ,tanβ 的值是有一定的困难,但细心观察公 tan ?

式 S(α +β )、S(α -β )发现,它们都含有 sinα cosβ 和 cosα sinβ ,而 tan? . 化切为弦正是 tan ?

sin ? cos ? ,由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决,教师不要及早地给 cos? sin ?

以提示或解答. 解:(1)∵α +β =45°,∴tan(α +β )=tan45°=1.

又∵tan(α +β )= tan? ? tan ? , 1 ? tan? tan ?

∴tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ),

即 tanα +tanβ =1-tanα tanβ .

∴原式=1+tanα +tanβ +tanα tanβ =1+(1-tanα tanβ )+tanα tanβ =2.

(2)∵sin(α +β )= 1 ,sin(α -β )= 1 ,

2

3

∴sinα cosβ +cosα sinβ =

1

,

2



sinα cosβ -cosα cosβ = 1 . 3


①+②得 sinα cosβ = 5 , 12

①-②得 cosα sinβ = 1 , 12

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5 ∴ tan? ? sin? cos? ? 12 ? 5
tan ? cos? sin ? 1 12
点评:本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现 α +β 为特殊角时,就可以逆用两角 和的正切公式变形 tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ),对于我们解题很有用处,而(2) 中 化切为弦的求法更是巧妙,应让学生熟练掌握其解法.
变式训练 1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值
解 : 原 式 = [ (1+tan1°)(1+tan44°) ] [ (1+tan2°)(1+tan43°) ] … [(1+tan22°)(1+tan23°)](1+tan45°)=2×2×2×…×2=223. 2.计算:
解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.

(四)作业

已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为 tanα 、tanβ ,求 tan(α +β )的值.

解:由韦达定理得:tanα +tanβ = ? b ,tanα tanβ = c ,

a

a

∴tan(α +β )= tan? ? tan ? ?

?b c

?

b

.

1 ? tan? ? 1 ? c c ? a

a

(五)课堂小结 1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么?我们学习了哪些重要的解题方法?通过本
节的学习,我们在运用和角与差角公式时,应注意什么?如何灵活运用公式解答有关的三角 函数式的化简、求值、恒 等证明等问题.
2.教师画龙点睛:通过本节课的学习,要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切 公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆
用、变形用等.推导并理解公式 asinx+bcosx= a2 ? b2 sin(x+φ ),运用它来解决三角函数
求值域、最值、周期、单调区间等问题.

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3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 整体设计
一、教学分析 “二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上,进一
步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、 正切公式的特殊化,又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过 对二倍角的推导知道,二倍角的内涵是:揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通 过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生 运算和逻辑推理能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题 的能力都有着十分重要的意义.
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中 α 、β 关系的特殊情形 α =β 时 的简化,让学生在探究中既感到自然、易于接受,还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式 的联系,同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引 导学生自己去做,因为,《数学课程标准》提出:“要让学生在参与特定的数学活动,在具体 情境中初步认识对象的特征,获得一些体验”.
在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习,更不要再补充一些较为 复杂的积化和差或和差化积的恒等变换,否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改 精神. 二、教学目标
1.知识与技能: 通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的 内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力, 从而提高解决问题的能力. 2.过程与方法:
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通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明.体 会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌 握联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题 的能力.
3.情感态度与价值观: 通过本节学习,引导学生领悟寻找数学规律的方法,培养学生的创新意识,以及善于发 现和勇于探索的科学精神. 三、重点难点 教学重点:二倍角公式推导及其应用. 教学难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 四、课 时安排 1 课时 五、教学设想

(一)导入新课

思路 1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式,并回忆这组公

式的来龙去脉,然后让学生默写这六个公式.教师引导学生:和角公式与差角公式是可以互

相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公

式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题,请同学们思考一下,应解决哪些问题呢?由

此展开新课.

思路 2.(问题导入)出示问题,让学生计算,若 sinα = 3 ,α ∈( ? ,π ),求 sin2α ,

5

2

cos2α

的值.学生会很容易看出:

sin2α =sin(α +α )=sinα cosα +cosα sinα =2sinα cosα 的,以此展开新课,并由此展开

联想推出其他公式.

(二)推进新课、新知探究、提出问题

①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗?(请学生默 写出来,并由一名学生到黑板默

写)

②你写的这三个公式中角 α 、β 会有特殊关系 α =β 吗?此时公式变成什么形式?

③在得到的 C2α 公式中,还有其他表示形式吗? ④细心观察二倍角公式结构,有什么特征呢?

⑤能看出公式中角的含义吗?思考过公式成立的条件吗?

⑥让学生填空:老师随机给出等号一边括号内的角,学生回答等号另一边括号内的角,

稍 后 两 人 为 一 组 , 做 填 数 游 戏 : sin(

)=2sin(

)cos(

),

cos( )=cos2( )-sin2( ).

⑦思考过公式的逆用吗?想一想 C2α 还有哪些变形? ⑧请思考以下问题:sin2α =2sinα 吗?cos2α =2cosα 吗?tan2α =2tanα ?

活动:问题①,学生默写完后,教师打出课件,然后引导学生观察正弦、余弦的和角公

式,提醒学生注意公式中的 α ,β ,既然可以是任意角,怎么任意的?你会有些什么样的奇

妙想法呢?并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到 α ,β 会有相等这个特殊情况,教师就此

进入下一个问题,如果学 生没想到这种特殊情况,教师适当点拨进入问题②,然后找一名

学生到黑板进行简化,其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书

写,最后学生都不难得出以下式子,鼓励学生尝试一下,对得出的结论给出解释.这个过程

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教师要舍得花时间,充分地让学生去思考、去探究,并初步地感受二倍角的意义.同时开拓

学生的思维空间,为学生将来遇到的 3α 或 3β 等角的探究附设类比联想的源泉.

sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ

α =2sinα cosα (S2α ); α =cos2α -sin2α (C2α );

tan(α



)= tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

?

tan 2?

? 2 tan? 1 ? tan 2 ?

(T2? )

这时教师适时地向学生指出,我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦,余弦,正切公 式,并指导学生阅读教科书,确切明了二倍角的含义,以后的“倍角”专指“二倍角”、教 师适时提出问题③,点拨学生结合 sin2α +cos2α =1 思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为 以下右表中的公式.

这时教师点出,这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示).倍角公式给出了 α 的三角

函数与 2α 的三角函数之间的关系.

问题④,教师指导学生,这组公式用途很广,并与学生一起观察公式的特征与记忆,首

先公式左边角是右边角的 2 倍;左边是 2α 的三角函数的一次式,右边是 α 的三角函数的

二次式,即左到右→升幂缩角,右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式,余弦是多项式,

正切是分式.

问题⑤,因为还没有应用,对公式中的含义学生可能还理解不到位,教师要引导学生观

察思考并初步感性认识到:(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词

时,“三”字等不可省去;(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函

数;(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况;(Ⅳ)公式(S2α ),(C2α )中的角 α

没有限制,都是 α ∈R.但公式(T2α )需在 α ≠ 1 kπ + ? 和 α ≠kπ + ? (k∈Z)时才成立,这

24

2

一条件限制要引起学生的注意.但是当 α =kπ + ? ,k∈Z 时,虽然 tanα 不存在,此时不能用 2

此公式,但 tan2α 是存在的,故可改用诱导公式.

问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性,即二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二

倍的形式,其他如 4α 是 2α 的二倍, a 是 a 的二倍,3α 是 3a 的二倍, a 是 a 的二倍,

24

2

36

? -α 是 ? - a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.

2

42

例如:sin a =2sin a cos a ,cos a =cos2 a -sin2 a 等等.

2

44 3 6 6

问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用,这点教师更要提醒学生

引起足够的注意.如:sin3α cos3α = 1 sin6α ,4sin a cos a =2(2sin a cos a )=2sin a ,

2

44

44

2

2 tan 40 ? 1 ? tan 2 40 ?

=tan80°,cos22α

-sin22α

=cos4α

,tan2α

=2tanα

(1-tan2α

)等等.

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问题⑧,一般情况下:sin2α ≠2sinα ,cos2α ≠2cosα ,tan2α ≠2tanα . 若 sin2α =2sinα ,则 2sinα cosα =2sinα ,即 sinα =0 或 cosα =1,此时 α =kπ (k∈Z).

若 c os2α =2cosα ,则 2cos2α -2cosα -1=0,即 cosα = 1 ? 3 (cosα = 1 ? 3 舍去).

2

2

若 tan2α =2tanα ,则 2 tan a =2tanα ,∴tanα =0,即 α =kπ (k∈Z). 1 ? tan2 a
解答:①—⑧(略)

(三)应用示例 思路 1
例 1 已知 sin2α = 5 , ? <α < ? ,求 sin4α ,cos4α ,tan4α 的值. 13 4 2
活动:教师引导学生分析题目中角的关系,观察所给条件与结论的结构,注意二倍角公 式的选用,领悟“倍角”是相 对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义,它是描述 两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了 2α 的正弦值.由于 4α 是 2α 的二倍角,因 此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题,目的是为了让学生初步熟悉二倍 角的应用,理解二倍角的相对性,教师大胆放手,可让学生自己独立探究完成.
解:由 ? <α < ? ,得 ? <2α <π . 4 22
又∵sin2α = 5 , 13

∴cos2α = ? 1? sin2 2a = ? 1 ? ( 5 )2 ? ? 12 .

13

13

于是 sin4α =sin[2×(2α )]=2sin2α cos2α =2× 5 ×( ? 12 )= ? 120 ; 13 13 169
cos4α =cos[2×(2α )]=1-2sin22α =1-2×( 5 )2= 119 ; 13 129
tan4α = sin 4a =(- 120 )× 169 = ? 120 . cos4a 169 119 119
点评:学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法,但要提醒学生注意,在解题时 注意优化问题的解答过程,使问题的解答简捷、巧妙、规范,并达到熟练掌握的程度.本节 公式的基本应用是高考的热点.
变式训练 1.不查表,求值:si

解:原式= (sin 15 ? ? cos15 ? )2 ? sin 2 15 ? ? 2 sin15 ? ? cos2 15 ? ? 6 2
点评:本题在两角和与差的学习中已经解决过,现用二倍角公式给出另外的解法,让学 生体会它们之间的联系,体会数学变化的魅力.

2.(2007 年高考海南卷,9)



cos 2a sin(a ? ?

)

?

?

2 ,则 cosα 2

+sinα

的值为

4

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A. ? 7

B. ? 1

C. 1

2

2

2

答案:C

3.(2007 年高考重庆卷,6) 下列各式中,值为 3 的是( ) 2

A.2sin15°-cos15° D.sin215°+cos215°
答案:B

B.cos215°-sin215°

D. 7 2
C.2sin215°-1

例 2 证明 1 ? sin 2? ? cos2? =tanθ . 1 ? sin 2? ? cos2?
活动:先让学生思考一会,鼓励学生充分发挥聪明才智,战胜它,并力争 一题多解.教 师可点拨学生想一想,到现在为止,所学的证明三角恒等式的方法大致有几种:从复杂一端 化向简单一端;两边化简,中间碰头;化切为弦;还可以利用分析综合法解决,有时几种方 法会同时使用等.对找不到思考方向的学生,教师点出:可否再添加一种,化倍角为单角? 这可否成为证明三角恒等式的一种方法?再适时引导,前面学习同角三角函数的基本关系时 曾用到“1”的代换,对“1”的妙用大家深有体会,这里可否在“1”上做做文章?
待学生探究解决方法后,可找几个学生到黑板书写解答过程,以便对照点评及给学生以 启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬;对暂时找不到思路的 学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙,妙在它在三角恒等式中一旦出现,在证明过程 中就会起到至关重要的作用,在今后的证题中,万万不要忽视它. 证明:方法一:
左= sin 2? ? (1? cos2? ) ? 2sin? cos? ? (1?1? 2cos2 ? ) sin 2? (1? cos2? ) 2sin? cos? ? (1? 2cos2 ? ?1)
= sin? cos? ? 1 ? cos2 ? sin? cos? ? cos2 ?
= sin? cos? ? sin 2 ? sin? cos? ? cos2 ?
sin? (cos? ? sin? ) =tanθ =右. cos? (sin ? ? cos? )
所以,原式成立. 方法二:
左= sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2? ? 2sin 2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? sin 2? ? 2 cos2 ?
= 2sin? (sin ? ? cos? ) =tanθ =右. 2 cos? (sin ? ? cos? )

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方法三:
左= (1? sin 2? ) ? cos2? ? (sin2 ? ? cos2 ? ? 2sin? ? cos? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) (1? sin 2? ) ? cos2? (sin2 ? ? cos2 ? ? 2sin? ? cos? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? )

= (sin? ? cos? )2 ? (cos? ? sin? )(cos? ? sin? ) (sin? ? cos? )2 ? (cos? ? sin? )(cos? ? sin? )

= (sin ? ? cos? )(sin ? ? cos? ? sin? ? cos? ) (sin ? ? cos? )(sin ? ? cos? ? cos? ? sin? )

= (sin ? ? cos? ) ? 2sin? =tanθ =右. (sin ? ? cos? ) ? 2 cos?
点评:以上几种方法大致遵循以下规律:首先从复杂端化向简单端;第二,化倍角为单 角,这是我们今天刚刚学习的;第三,证题中注意对数字的处理,尤其“1”的代换的妙用, 请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了,不论用哪一种方 法,都要思路清晰,书写规范才是.
思路 2 例 1 求 sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
活动:本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题,有一定难度,但也是训练学生思维 能力的一道好题.本题需要公式的逆用,逆用公式的先决条件是认识公式的本质,要善于把 表象的东西拿开,正确捕捉公式的本质属性,以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分 进行讨论探究,不要轻易告诉学生解法,可适时点拨学生需要做怎样的变化,又需怎样应用 二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现,如果用诱导公式把 10°, 30°,50°,70°正弦的积化为 20°,40°,60°,80°余弦的积,其中 60°是特殊角,很容易 发现 40°是 20°的 2 倍,80°是 40°的 2 倍,故可考虑逆用二倍角公式.
解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°
= 23 ? sin 20 ? cos 20 ? cos 40 ? cos80 ? 23 ? 2 sin 20 ?

= sin160 ? 16 sin 20 ?

?

sin 20 ? 16 sin 20

?

?1 16.

点评:二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一,又是解答许多数学问题的重要模型 和工具,具有灵活多变,技巧性强的特点 ,要注意在训练中细心体会其变化规律.

例 2 在△ABC 中,cosA= 4 ,tanB=2,求 tan(2A+2B)的值. 5
活动:这是本节课本上最后一个例题,结合三角形,具有一定的综合性,同时也是和与 差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条 件,如 A+B+C=π ,0<A<π ,0<B<π ,0<C<π ,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究, 教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系. 由于对 2A+2B 与 A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生 不同的解 法,不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别.不论学生的解答正

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确与否,教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同 的解法,并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求 tan(2A+2B)的值 改为求 tan2C 的值.
解:方法一:在△ABC 中,由 cosA= 4 ,0<A<π ,得 5

sinA= 1 ? cos2 A ? 1 ? ( 4)2 ? 3 . 55

所以 tanA= sin A = 3 × 5 = 3 , cos A 5 4 4

3

tan2A= 2 tan A 1 ? tan2 A

2? ?4
1? (3)2

?

24 7

4

又 tanB=2,

所以 tan2B= 2 tan B ? 2 ? 2 ? ? 4 . 1 ? tan2 B 1 ? 22 3

于是 tan(2A+2B)= tan 2A ? tan 2B ?

24 ? 4 73

? 44 .

1 ? tan 2A tan 2B 1 ? 24 ? (? 4) 177

73

方法二:在△ABC 中,由 cosA= 4 ,0<A<π ,得 5

sinA= 1 ? cos2 A ? 1 ? ( 4)2 ? 3 . 55

所以 tanA= sin A ? 3 × 5 = 3 .又 tanB=2, cos A 5 4 4

所以 tan(A+B)= tan A ? tan B ?

3?2 4

? ?11

1? tan A tan B 1? 3 ? 2 2

4

于是 tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]

11

= 2 tan(A ? B) 1 ? tan2 ( A ? B)

2? (? )

?

2

1 ? (? 11)2

? 44 . 117

2

点评:以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是

为了鼓励学生 用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.

变式训练

化简: 1 ? cos4a ? sin 4a . 1 ? cos4a ? sin 4a

解:原式= 2 cos2 2a ? 2 sin 2a cos 2a 2sin 2 2a ? 2sin 2a cos 2a

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= 2 cos 2a(cos 2a ? sin 2a) 2sin 2a(sin 2a ? cos 2a)
=cot2α .

(四)知能训练 (2007 年高考四川卷,17)
(1)求 tan2α 的值; (2)求 β .

已知 cosα = 1 ,cos(α -β )= 13 ,且 0<β <α < ? ,

7

14

2

解:(1)由 cosα = 1 ,0<α < ? ,得 sinα = 1? cos2 a = 1 ? ( 1 )2 ? 4 3 .

7

2

7

7

∴tanα = sin a = 4 3 ? 7 =4 3 .于是 tan2α = 2 tan a ? 2 ? 4 3 ? ? 8 3 .

cosa 7 1

1 ? tan 2 a 1 ? tan 2 a 47

(2)由 0<α <β < ? ,得 0<α -β < ? .

2

2

又∵cos(α -β )= 13 ,∴sin(α -β )= 1 ? cos2 (a ? ? ) ? 1 ? (13 )2 ? 3 3 .

14

14 14

由 β =α -(α -β ),得

cosβ =cos



α -(α -β )



=cosα cos(α -β )+sinα sin(α -β )= 1 × 13 + 4 3 ? 3 3 = 1 . 7 14 7 14 2
∴β = ? . 3
点评:本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值 求角以及计算能力.

(五)课题小结 1.先由学生回顾本节课都学到了什么?有哪些收获?对前面学过的两角和公式有什么
新的认识?对三角函数式子的变化有什么新的认识?怎样用二倍角公式进行简单三角函数 式的化简、求值与恒等式证明.
2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导,明白从一般到特殊的思想, 并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一个 题目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤, 领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.

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