20191819课时分层作业18 空间向量的数量积语文.doc


课时分层作业(十八) 空间向量的数量积

(建议用时:40 分钟) [基础达标练]
一、填空题 1.若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2, 则 x=________. [解析] ∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),∴c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),

∴(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,∴x=2.

[答案] 2

2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量A→B,A→D,A→A1两两的夹角均为

60°,且|A→B|=1,|A→D|=2,|A→A1|=3,则|A→C1|等于________.

[解析]









设AB=a,AD=b,AA1=c,则AC1=a+b+c,

A→C12=a2+b2+c2+2a·c+2b·c+2c·a=25,因此|A→C1|=5.

[答案] 5

3.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量A→B与A→C的夹角为

________.

[解析]





AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0),

∴cos〈A→B,A→C〉= 3

3 2×

1 2=2,

∴〈A→B,A→C〉=60°.

[答案] 60° 4.已知|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=60°,则|2a-3b|=________.

【导学号:71392180】

[ 解 析 ] a·b = 2×3×cos 60°= 3 , ∴|2a - 3b| = 4|a|2-12a·b+9|b|2 =

第1页

4×4-12×3+81= 61.
[答案] 61 5.如图 3-1-34,120°的二面角的棱上有 A,B 两点,直线 AC,BD 分别在两 个半平面内,且都垂直于 AB.若 AB=4,AC=6,BD=8,则 CD 的长为________.
图 3-1-34

[解析] ∵AC⊥AB,BD⊥AB, ∴A→C·A→B=0, →→ BD·AB=0.

又∵二面角为 120°,

∴〈C→A,B→D〉=60°,

∴C→D2=|

→ CD

|2



(

C→A+A→B+B→D)2

→ =CA

2+A→B2+

B→D2+

2(

→→ CA·AB+

→→ CA·BD



→→ AB·BD)=164,

∴|C→D|=2 41.

[答案] 2 41 6.如图 3-1-35,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD,AD∥BC∥FE, AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=12AD,则异面直线 BF 与 ED 所 成角的大小是________.

图 3-1-35

[解析] 分别以 AB,AD,AF 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系(图

略),设 AB=1,依题意得 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),

M???12,1,12???.





则BF=(-1,0,1),ED=(0,1,-1),

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∴cos〈B→F,E→D〉=|B→B→FF|··E|→E→DD|=0+20·-21=-12, ∴〈B→F,E→D〉=120°.

所以异面直线 BF 与 ED 所成角的大小为 180°-120°=60°. [答案] 60° 7.如图 3-1-36 所示,已知直线 AB⊥平面 α,BC?α,BC⊥CD,DF⊥平面 α,且∠DCF=30°,D 与 A 在 α 的同侧,若 AB=BC=CD=2,则 A,D 两点间 的距离为________.
图 3-1-36 [解析] ∵A→D=A→B+B→C+C→D,

∠DCF=30°,DF⊥平面 α,

∴∠CDF=60°, ∴|A→D|2=(A→B+B→C+C→D)2

=4+4+4+2×2×2×cos 120°

=8, ∴|A→D|=2 2.
[答案] 2 2 8.若A→B=(-4,6,-1),A→C=(4,3,-2),|a|=1,且 a⊥A→B,a⊥A→C,则 a =________.
【导学号:71392181】

[解析]

?? → a·AB=0,

? 设 a=(x,y,z),由题意有

→ a·AC=0,

??|a|=1,

代入坐标可解得:

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?? x=133, ?y=143, ??z=1123

?? x=-133, ?或 y=-143, ??z=-1123.

[答案] ???133,143,1123???或???-133,-143,-1123??? 二、解答题 9.如图 3-1-37,已知正方体 ABCD-A′B′C′D′,CD′与 DC′相交于 点 O,连接 AO,求证:
图 3-1-37 (1)AO⊥CD′; (2)AC′⊥平面 B′CD′. [证明] 设正方体的棱长为 1,

取 A 点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 则 A(0,0,0),B′(1,0,1),C(1,1,0),C′(1,1,1),D′(0,1,1),O???12,1,12???, 则A→O=???12,1,12???,CD→′=(-1,0,1), AC→′=(1,1,1),B′→C=(0,1,-1),B′→D′=(-1,1,0). (1)∵A→O·CD→′=12×(-1)+1×0+12×1=0, ∴AO⊥CD′. (2)∵AC→′·B′→C=1×0+1×1+1×(-1)=0, AC→′·B′→D′=1×(-1)+1×1+1×0=0.

∴AC′⊥B′C,AC′⊥B′D′.

又∵B′C∩B′D′=B′,B′C?平面 B′CD′,B′D′?平面 B′CD′,

∴AC′⊥平面 B′CD′.

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10.如图 3-1-38,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD⊥底 面 ABCD,E,F,G 分别为 AB,SC,SD 的中点.若 AB=a,SD=b,
图 3-1-38 (1)求|E→F|; (2)求 cos〈A→G,B→C〉.
【导学号:71392182】

[解] 如图,建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(a,0,0),S(0,0,b),B(a,a,0), C(0,a,0),E???a,a2,0???,F???0,a2,b2???,G???0,0,b2???,
E→F=???-a,0,b2???,A→G=???-a,0,b2???,B→C=(-a,0,0).

→ (1)|EF|=

?-a?2+02+b42=

→→ (2)cos〈AG,BC〉=

→→ AG·BC →→

|AG|·|BC|

a2

2a



a2+b42·a=

. 4a2+b2

4a2+b2 2.

[能力提升练] 1.已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为________.

[ 解 析 ] b - a = (1 + t,2t - 1,0) , ∴|b - a| = ?1+t?2+?2t-1?2 =

5???t-15???2+95,

∴当

1

3

t=5时,|b-a|取得最小值

5

5 .

[答案]

35 5

2.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以A→B,A→C为边的平

行四边形的面积为________.

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[解析]





由题意可得,AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

∴cos〈A→B,A→C〉=|AA→→BB|·|AA→→CC|=-124+×3+146=174=12.

∴sin〈A→B,A→C〉= 23,∴以A→B,A→C为边的平行四边形的面积 S=2×12|A→B|·|A→C

|·sin〈A→B,A→C〉=14× 23=7 3.

[答案] 7 3 3.如图 3-1-39 所示,已知 PA⊥平面 ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6, 则 PC 等于________.
图 3-1-39 [解析] 法一:因为P→C=P→A+A→B+B→C,

所以P→C2=P→A2+A→B2+B→C2+2A→B·B→C=36+36+36+2×36cos 60°=144,

→ 所以|PC|=12,即 PC=12.

法二:如图所示,建立空间直角坐标系,

则 P(0,0,6),C(0,6 3,0),

∴PC= ?6 3?2+62=12. [答案] 12 4.如图 3-1-40 所示,已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a, 点 M,N 分别是 AB,CD 的中点.
图 3-1-40 (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求 MN 的长.
【导学号:71392183】 [解] (1)证明:设A→B=p,A→C=q,A→D=r.

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由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且 p,q,r 三向量两两夹角均为 60°.

∴M→N=A→N-A→M=12(A→C+A→D)-12A→B=12(q+r-p), ∴M→N·A→B=12(q+r-p)·p=12(q·p+r·p-p2)=12(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0.

∴MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.

(2)由(1)可知,M→N=12(q+r-p), ∴|M→N|2=M→N2=14(q+r-p)2=14[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)] =14???a2+a2+a2+2???a22-a22-a22??????=14×2a2=a22,

∴|M→N|=

22a,∴MN

的长为

2 2 a.

第7页


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