专题6 概率统计、算法、复数与推理证明-数学(理科)-湖北省专用


湖北省专用

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专题六 概率统计、算法、复 数与推理证明

第17讲 定理 第18讲 第19讲 分布列 第20讲 明

排列、组合与二项式
概率与统计 离散型随机变量及其 复数、算法与推理证

专题六 概率统计、算法、 复数与推理证明

第17讲 排列、组合与二项式 定理

第17讲 │ 云览高考
[云览高考]
考点统计 题型(频率) 考例(难度) 2010湖北卷8(B),2011 湖北卷15(C), 2012湖北卷13(B) 2010湖北卷11(A),2011 湖北卷11(A), 2012湖北卷5(B),

考点1 排列 、组合
考点2 二项 式定理

选择(1) 填空(2)
选择(1) 填空(2)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题. 频率为近三年湖北真题情况,2010年,2011年为大纲卷.

第17讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分的命题就是围绕两个点展开.第一个 点是围绕排列,组合展开,设计利用排列组合和两个基本原 理求解的实际计数问题的试题,目的是考查对排列组合基本 方法的掌握程度,考查分类与整合的思想方法,试题都是选 择题或者填空题,难度中等或者偏易;第二点是围绕二项式 定理展开,涉及利用二项式的通项公式计算二项式中特定项 的系数、常数项、系数和等试题,目的是考查对二项式定理 的掌握程度和基本的运算求解能力,试题也都是选择题或者 填空题,难度中等.

第17讲 │ 二轮复习建议

预计2013年对该部分的考查基本方向不变,即考查简单 的计数问题、二项式定理的简单应用,但由于排列,组合试 题的特点,也不排除出现难度稍大的试题的可能. 复习建议:该部分的复习以基本问题为主,要点有两 个:一个是引导学生掌握解决排列,组合问题的基本思想, 即分类与分步的思想,使学生在解题时有正确的思维方向; 一个是掌握好二项展开式的通项公式的应用,这是二项式定 理的考查核心.

第17讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第17讲 │ 主干知识整合

1.两个基本原理 分类加法计数原理各类之间是互斥的、并列的、独立 的,N=m1+m2+?+mn.分步乘法计数原理各步之间是关联 的、独立的,N=m1×m2×?×mn. 2.排列 m (1)排列数公式:A =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= n n! (n,m∈N,m≤n),规定0!=1; ?n-m?! - - (2)排列数的性质:Am=mAm-11+Am-1;Am=nAm-11. n n n n n

第17讲 │ 主干知识整合
3.组合 n?n-1???n-m+1? Am n m (1)组合数公式Cn = ,Cm= m. n Am m! - (2)组合数的性质:Cm=Cn m(m,n∈N,且m≤n);Cm+1=Cm n n n n m +Cn -1(m,n∈N,且m≤n). 4.二项式定理 (a+b)n=C 0 an+C 1 an-1b+?+C r an-rbr+?+C n bn.C k 叫做二 n n n n n 项式系数,Tk+1=C k an-kbk(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N*)称为二项 n 展开式的通项公式. 5.二项式系数的性质 二项式系数具有如下几个性质:(1)对称性、等距性、单调最值 性;(2)C r +C r+1 +C r+2 +?+C r =C r+1 ;C 0 +C 1 +C 2 +?+C r r r r n n+ 1 n n n n +?+C n =2n;C 1 +C 3 +C 5 +?=C 0 +C 2 +C 4 +?=2n-1;C 1 + n n n n n n n n - 2C2 +3C3 +?+nCn=n2n 1. n n n

第17讲│ 要点热点探究

要点热点探究
? 探究点一 有关计数原理问题 例1 (1)[2012· 浙江卷] 若从1,2,3,?,9这9个整数中同时 取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( ) A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 (2)[2012· 课程标准卷]将2名教师,4名学生分成2个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教 师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12种 B.10种 C.9种 D.8种

第17讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求不同取法需知四个数的构成规律 ? (推理)四数和为偶数其中奇数的个数只能是偶数个 ? (结论) 分类选取,根据分类加法计数原理求之; (2)(分析)欲求安排方案需分步进行 ?(推理)先安排教师、 再配之学生即可 ? (结论)根据分步乘法计数原理求之.

第17讲│ 要点热点探究

[答案] (1)D

(2)A

[解析] (1)要使所取出的 4 个数的和为偶数, 则对其中取出 的数字奇数和偶数的个数有要求, 所以按照取出的数字奇偶数 的个数分类.1,2,3, 9 这 9 个整数中有 5 个奇数, 个偶数. ?, 4 要 想同时取 4 个不同的数其和为偶数,则取法有三类: ①4 个都是偶数:1 种; ②2 个偶数,2 个奇数:C2C2=60 种; 5 4 ③4 个都是奇数:C4=5 种.∴不同的取法共有 66 种. 5 (2)分别从 2 名教师中选 1 名, 名学生中选 2 名安排到甲 4 地参加社会实践活动即可,则乙地就安排剩下的教师与学生, 故不同的安排方法共有 C1C2=12 种.故选 A. 2 4

第17讲│ 要点热点探究

[点评] 两个基本原理是解决计数问题的根据,在计数问 题中一般是先根据不同情况进行分类,然后对于每一类的计 数问题再分步完成,根据分步乘法计数原理求出每类的数 目,最后使用分类加法计数原理得到结果.

第17讲│ 要点热点探究

变式题 (1)在实验室进行的一项物理实验中, 要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一或最后一步,程序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( ) A.34 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种 (2)在小语种提前招生考试中,某学校获得 5 个推荐名额, 其中俄语 2 名,日语 2 名,西班牙语 1 名.并且日语和俄语都 要求必须有男生参加.学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐 对象,则不同的推荐方法共有( ) A.20 种 B.22 种 C.24 种 D.26 种

第17讲│ 要点热点探究

[答案]

(1)C

(2)C

[解析] (1)先实施A,有2种编排方法;再将程序B和C视为 一个整体(有2种顺序)与其他3个程序全排列共有2A 4 种编排方 4 法;故实验顺序的编排方法共有2×2A4=96种.故选C. 4 (2)三个男生每个语种各推荐一人共有A 3 A 2 种推荐方法, 3 2 三个男生只参加日语和俄语推荐共有C 2 A 2 A 2 种推荐方法,总 3 2 2 的推荐方法共有A3A2+C2A2A2=24(种),选C. 3 2 3 2 2

第17讲│ 要点热点探究
? 探究点二 有关排列与组合问题 例2 (1)[2012· 辽宁卷] 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家 人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) A.3×3! B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9! (2)将5名支教志愿者分配到3所学校,每所学校至少分1人, 至多分2人,且其中甲、乙2人不到同一所学校,则不同的分配方 法共有( ) A.78种 B.36种 C.60种 D.72种

第17讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求不同坐法需具体安排 ? (推理)一家 三口为一个集团,三个集团全排列 ? (结论)根据分步乘法计数原 理得之; (2)(分析)欲求分配方法数需确定计算程序 ? (推理)先不管甲 乙,先分组、再分配,求出甲乙分到同一学校数目 ? (结论)间接 法求之.

第17讲│ 要点热点探究

[答案] (1)C

(2)D

[解析] (1)由已知,该问题是排列中捆绑法的应用,即先把三个 家庭看作三个不同元素进行全排列,而后每个家庭内部进行全排 列,即不同坐法种数为A3· 3· 3· 3=(3!)4. 3 A3 A3 A3 (2)先不考虑甲、乙2人是否分到同一所学校,共有不同的分配方 C2C2 3 4 2 法:C1 2 · 3种;其中,甲、乙2人分到同一所学校,有不同的分配 A 5 A2 方法:C 2 C 2 A 3 种,故甲、乙2人不分到同一所学校,不同的分配方法 2 3 3 2 2 C4C2 有C1 2 · 3-C2C2A3=72种.故选D. A3 5 2 3 3 A2

第17讲│ 要点热点探究

[点评] 本例第一题是元素相邻的排列,只要把相邻元素 看作一个整体即可;第二题为分配问题,当元素个数多于分 配位置时要先把元素进行分组,组数与分配位置相同,然后 再进行分配,在分组时如果有元素个数相等的小组,有几个 就要除以几的阶乘.

第17讲│ 要点热点探究

变式题 (1)某市端午期间安排甲、乙等6支队伍参加端午 赛龙舟比赛,若在安排比赛赛道时不将甲安排在第一及第二 赛道上,且甲和乙不相邻,则不同的安排方法有( ) A.96种 B.192种 C.216种 D.312种 (2)从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生 物四科竞赛,且每科竞赛只有1人参加,若甲不参加生物竞 赛,则不同的选择方案共有________种.

第17讲│ 要点热点探究

[答案] (1)D

(2)96

[解析] (1)若甲在第三、四、五道,则乙的安排方法有三 种,此时方法数是3×3×A 4 =216;若甲在第六道,则乙的安 4 排方法有四种,此时的方法数是4A 4 =96.故总数为216+96= 4 312. (2)选出的4名学生如果不含甲,则方法数为A 4 =24;选出 4 的5名学生如果含甲,选法为C 3 ,甲的参赛方法数是3,其余3 4 个学生全排列,方法数是C3×3×A3=72.根据分类加法计数原 4 3 理,总的方法数是24+72=96.

第17讲│ 要点热点探究
有关二项式定理问题 ?1 ? 2 例3 (1)[2012· 安徽卷] (x +2) ?x2-1? 5的展开式的常数项是 ? ? ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 (2)[2012· 湖北卷] 设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被 13整除,则a=( ) A.0 B.1 C.11 D.12 ? 探究点三

第17讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求展开式中常数项需使用多项式乘 ?1 ? - 法法则 ? (推理)求 ?x2-1? 5展开式中x 2的系数和常数项 ? (结 ? ? 论)根据多项式乘法法则得结果; (2)(分析)欲求a值需知512 012被13除所得余数 ? (推理)变51 =4×13-1后使用二项式定理得之 ? (结论)根据余数确定a 值.

第17讲│ 要点热点探究

[答案]

(1)D
? ? ?

(2)D

?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? x2+2?? 2-1?5=x2? 2-1?5+2? 2-1?5,又2? 2-1?5展 [解析] (1)因为 ? ?x ? ?x ? ?x ? ?x ? ?1 ? 5?1 ?0? ? ? 2? ?-1? 5=-2,x2 ? 2-1? 5展开式中的常数项为 开式中的常数项为2C 5 x ? ? ? ? ?x ? ? ? ? 2 ?? 1 2 4 ? 1 ?1? ?-1? 4=5,故二项式 ?x +2? ? 2-1? 5展开式中的常数项为-2+5 ? x C 5 ·x2? ? ? ? ? ? ? ?x ? =3. 1 (2)512 012+a=a+(13×4-1)2 012=a+(1-13×4)2012=a+1-C 2 012 2 13×4+C2 012(13×4)2+?+C2 012(13×4)2 012, 2 012 显然当a+1=13k,k∈Z,即a=-1+13k,k∈Z时,512 012+a= 13k+13×4[-C 1 012 +C 2 012 (13×4)1+?+C 2 012 (13×4)2 011],能被13整 2 2 2 012 除.因为a∈Z,且0≤a<13, 所以a=12.故选D.

第17讲│ 要点热点探究

[点评] 两个二项式相乘时求其中某项的系数,需要根据 多项式乘法法则进行,此时要注意不要漏掉了其中的项,要 把各种可能的情况都考虑进去;二项式定理解决整除性问题 时,需要构造二项式,基本原则是根据除数对已知式进行变 换.

第17讲│ 要点热点探究

变式题

?2 x?6 20 ? 2- ? 的展开式中常数项为 ,那么正数 (1)已知 x p 27 ? ?

p的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)若(x2+1)5=a0+a1x2+a2x4+…+a5x10,则a0- a1+a2-a3+a4-a5=________.

第17讲│ 要点热点探究

[答案]

(1)C (2)0

[解析] (1)由题意得:C 4 6

1 20 ×22= ,整理得p4=81,又p p4 27

为正数,解得p=3,选C. (2)令x=i(i为虚数单位),a0-a1+a2-a3+a4-a5=(i2+1)5 =0.

第17讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
?规律 解答排列、组合试题的关键是先把问题分为既不重复也 不遗漏的几类,这样不论是用直接法求解还是用间接法求解,都可 以正确地使用这些分类中的某些类. ?技巧 相邻问题的“捆绑法”,不相邻问题的“插空法”;分配 问题中先分组后分配.注意均匀分组与不均匀分组的区别;特殊赋 值法求二项式系数和. ?易错 (a+b)n的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的 概念,前者只是指C k ,它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的 n 组合数,而与a,b的值无关;而后者是指该项除字母外的部分,即 各项的系数不仅与各项的二项式系数有关,而且也与a,b的系数有 关.在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.

第17讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯
抽象概括能力——典型的排列组合问题的解法 示例 [2012· 山东卷] 现有16张不同的卡片,其中红色、黄 色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能 是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为( ) A.232 B.252 C.472 D.484

第17讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题立意是通过组合问题考查对数学问题的抽象 概括能力,解题中需要根据把问题抽象概括为两个类别问题加以 解决.

第17讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)分两类,含有红色卡片、不含红色卡片 →(推理)含有红色卡片时只要从其余的12张卡片中任取2张即 可,不含红色卡片时只要从其余的12张卡片中任取3张且不是同 一种颜色→(结论)根据分类加法计数原理求出总数.

第17讲│ 命题立意追溯
[答案] C

[解析]方法1:若含有红色卡片,则只要从其余12张卡片中 任选2张即可,选法为C 1 C 2 =264种,若不含红色卡片,则只要 4 12 从12选3的选法中去掉取同一种颜色的即可,选法为C 3 -3C 3 = 12 4 208.所以总的选法为264+208=472. 方法2:若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3 张,若都不同色则有C1C1C1=64种,若2色相同,则有C2C1C2C1 4 4 4 3 2 4 4 =144;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有C 1 C 2 C 1 C 1 = 4 3 4 4 192种,若同色则有C 1 C 1 C 2 =72,所以共有64+144+192+72= 4 3 4 472,故选C.

第17讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] 某次会展共展出5件艺术作品,其中不同书法作品2件、 不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件,在展台上将这5件 作品排成一排,要求2件书法作品必须相邻,2件绘画作品不 能相邻,则该会展展出这5件作品不同的方案有________ 种.(用数字作答)

第17讲│ 命题立意追溯

[答案]

24

[解析] 2件书法作品看作一个整体,方法数是A 2 =2,把这 2 个整体与标志性建筑作品排列,有A 2 种排列方法,其中隔开了三 2 个空位,在其中插入2件绘画作品,有方法数A 2 =6.根据乘法原 3 理,共有方法数2×2×6=24.

第17讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:下面的三个例题具有一定的典型性.例1、例2可 以放在探究点二中使用,例3可以放在探究点三中使用.

第17讲│ 教师备用例题

例1 方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3},且 a,b,c互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛 物线共有( ) A.60条 B.62条 C.71条 D.80条

第17讲│ 教师备用例题
[答案] B
[解析]由于要表示抛物线,首先a,b均不能为0. 又b要进行平方,且只需考虑不同情况,故b2在1,4,9中考虑. ①c=0时,若a取1,则b2可取4或9,得到2条不同的抛物线; 若a取2,3,-2,-3中任意一个,b2都有1,4,9三种可能,可得 到4×3=12条抛物线; 以上共计14条不同的抛物线; ②c≠0时,在{-3,-2,1,2,3}中任取3个作为a,b,c的值,有 3 A 5 =60种情况,其中a,c取定,b取互为相反数的两个值时,所得 抛物线相同,这样的情形有4A 2 =24种,其中重复一半,故不同的 3 抛物线共有60-12=48(条), 以上两种情况合计14+48=62(条).

第17讲│ 教师备用例题

例2 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、 外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相 邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法数为 ________(用数字作答).

第17讲│ 教师备用例题
[答案] 432

6 [解析] 6节课共有A6=720种排法,相邻两节文化课间最多间隔1节 艺术课排法分两类: (1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔:可将三节文化课捆绑为 4 一个元素,然后再与另三节艺术课进行全排列,排法有A3A4=144种; 3 (2)三节文化课间都有1节艺术课间隔:有“文艺文艺文艺”与“艺 文艺文艺文” 两种形式,其排法有2A3A3=72种; 3 3 (3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课,而另一节文化课与前 两节文化课之一无间隔,可先对文化课进行全排,然后从3节艺术课选 一节放入排好的3节文化课之间,再将此4节课看作一个元素与余下的2 3 节艺术课进行全排,其排法有:A3C1C1A3=216种. 3 2 3 综上可知,相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法有144+72+ 216=432种.

第17讲│ 教师备用例题

例3 [2012· 浙江卷] 若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+ a1(1+x)+a2(1+x)2+?+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,?,a5为 实数,则a3=________.

第17讲│ 教师备用例题

[答案] 10
? ? [解析] 法一:由于f(x)=x5= ???1+x?-1?? 5,那么a3=C 2 (- 5 1)2=10,故应填10. 法二:对等式f(x)=x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+?+a5(1 +x)5两边连续对x求导三次得:60x2=6a3+24a4(1+x)+60a5(1+ x)2,再运用赋值法,令x=-1得:60=6a3,即a3=10. 法三:由等式两边对应项系数相等.

?a5=1, ? 4 即?C5a5+a4=0, ?C3a +C1a +a =0 ? 5 5 4 4 3

?a3=10.

第18讲 概率与统计

第18讲 │ 云览高考
[云览高考]
考点统计 考点1 随机抽 样 考点2 样本估 计总体 考点3 概率 题型(频率) 考例(难度)

选择(1)
0 选择(3)

2010湖北卷6(B)

2010湖北卷4(A),2011湖北 卷7(A), 2012湖北卷8(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题. 频率为近三年湖北真题情况,2010年,2011年为大纲卷.

第18讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分通常围绕三个点展开.第一个点是样本 估计总体,设计给出样本数据的分布估计总体的分布的试题, 目的是考查基本的运算求解能力和统计的基本思想,试题一般 是解答题的一个组成部分,难度中等;第二点是围绕变量的相 关性与统计案例,设计判断变量的相关关系、独立性检验的应 用等试题,目的是考查回归分析和独立性检验的基础知识和基 本思想方法,试题难度也不大;第三个点是围绕概率初步展 开,设计古典概型、几何概型求解等问题,目的是考查对概率 初步知识的掌握程度,考查运算求解能力,试题难度较小.

第18讲 │ 二轮复习建议

预计 2013 年对该部分的考查基本方向不会有大的变化,仍 然会以考查样本估计总体的思想、变量相关性、独立性检验、 古典概型与几何概型的计算等问题为主,由于概率统计内容较 多,也不排除在抽样方法、回归分析等方面进行考查的可能性. 复习建议:从课程标准卷近五年的考查情况看,该部分的 重点是样本估计总体思想,在复习时首先要抓住这个重点,其 次要对变量的相关关系、回归分析、独立性检验给予一定的重 视,使学生掌握其基础知识和基本思想方法,虽然课程标准卷 五年没有单独考查随机抽样的问题,也要适当注意.

第18讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第18讲 │ 主干知识整合

第18讲 │ 主干知识整合

1.随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取,适用范 围:总体中的个体较少; (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定 的规则在各部分中抽取,适用范围:总体中的个体数较 多; (3)分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取, 适用范围:总体由差异明显的几部分组成.

第18讲 │ 主干知识整合

2.样本估计总体 频率分布表、频率分布直方图、茎叶图、众数、中位 数、平均数、方差、标准差. 3.变量的相关性与最小二乘法 (1)相关关系的概念,正相关和负相关,相关系数. (2)最小二乘法:对于给定的一组样本数据(x1,y1), n (x2,y2),?,(xn,yn),通过求Q=∑ (yi-a-bxi)2最小时, i= 1 ^ 得到回归直线方程y =bx+a的方法叫做最小二乘法.

第18讲 │ 主干知识整合
4.独立性检验 对于值域分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量X和Y,列出其 样本频数列联表,通过计算卡方统计量判断两个分类变量是否有 关系的方法. 5.概率 (1)两个随机事件之间的关系:①包含关系;②相等关系;③ 和事件;④积事件;⑤互斥事件:事件A和事件B在任何一次试验 中不会同时发生;⑥对立事件:事件A和事件B在任何一次试验中 有且只有一个发生. (2)概率的基本性质:①任何事件A的概率都在[0,1]内,即 0≤P(A)≤1,不可能事件?的概率为0,必然事件Ω的概率为1;② 如果事件A,B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B);③事件A与它的对 立事件 A 的概率满足P(A)+P( A )=1. (3)古典概型和几何概型.

第18讲│ 要点热点探究
要点热点探究
? 探究点一 随机抽样的理解 例1 [2012· 山东卷] 采用系统抽样方法从960人中抽取32人 做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,?,960,分组后在 第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人 中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间 [451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中, 做问卷B的人数为( ) A.7 B.9 C.10 D.15

第18讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)欲求做问卷B的人数只需知道系统抽样 的分组“距离” ? (推理)按照抽取人数与总人数求之 ? (结 论)计算区间[451,750]含有多少组即可.

第18讲│ 要点热点探究

[答案] C
n-1??? ×30=30n-21,由 [解析] 第n个抽到的编号为9+ 11 7 题意得451≤30n-21≤750,解之得15 ≤n≤25 ,又∵n 15 10 ∈Z,∴满足条件的n共有10个.
? ? ?

第18讲│ 要点热点探究

[点评] 系统抽样是把总体分成间隔距离相等的段,在每 段中各抽取一个个体,在各段中抽取时可以使用简单随机抽 样的方法,不一定就是把第一段抽取的号码加上组距,但使 用第一段抽取的号码加上组距的方法是最简单易行的方法.

第18讲│ 要点热点探究

变式题 某校对全校男女学生共 1 600 人进行健康调查, 选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本.已知女生比男生 少抽了 10 人,则该校的女生人数应是________人.

第18讲│ 要点热点探究

[答案]

760

[解析] 设男生x人,女生y人,则x+y=1 1 600 10× ,解得y=760. 200

600,x-y=

第18讲│ 要点热点探究
? 探究点二 样本估计总体的方法 例2 [2012· 安徽卷] 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5 次,两人成绩的条形统计图如图6-18-1所示,则( )

图6-18-1 A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

第18讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)欲得结论需进行计算 ? (推理)按照条 形统计图给出的数据计算即可 ? (结论)根据计算结果确定选 项.

第18讲│ 要点热点探究
[答案] C

[解析] 由条形图易知甲成绩的平均数为 x 甲= 4+5+6+7+8 2 =6,中位数为6,所以方差为s = 甲 5 ?-2?2+?-1?2+02+12+22 =2,极差为8-4=4; 5 3×5+6+9 乙成绩的平均数为 x 乙= =6,中位数为5, 5 3×?-1?2+02+32 12 所以方差为s2 = = >2, 乙 5 5 极差为9-5=4, 比较得 x 甲= x 乙,甲的极差等于乙的极差,甲、乙中位 数不相等且s2 >s2 . 乙 甲

第18讲│ 要点热点探究

[点评] 统计图给出了数据的分布情况,特别是茎叶图给 出了全部的数据,根据给出的数据即可对数据的数字特征进 行分析、计算.

第18讲│ 要点热点探究

变式题 (1)2012年春运期间铁道部门首次实行网上订购 火车票,并且规定旅客可以提前10天预订,对60名在网上订 票的旅客进行调查后得到下表: 网上提前预订 0 2 4 6 8 车 ~ ~ ~ ~ ~ 票的时间(天) 2 4 6 8 10 旅客人数 3 6 18 18 15 则旅客平均提前预订车票的时间大约为________天.

第18讲│ 要点热点探究
(2)为了解一片大约一万株树木的生长情况,随机测量了 其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出的 样本频率分布直方图如图6-18-2,那么在这片树木中,底 部周长小于110 cm的株数大约是( )

图6-18-2 A.3 000 C.7 000 B.6 000 D.8 000

第18讲│ 要点热点探究

[解析] (1) 6.2 (2) C

1 [解析] (1)使用组中值进行估计, x = (1×3+3×6+ 60 5×18+7×18+9×15)=6.2. (2)底部周长小于110 cm的频率为:(0.01+0.02+ 0.04)×10=0.7,所以底部周长小于110 cm的株数大约是:10 000×0.7=7 000,选C.

第18讲│ 要点热点探究
? 探究点三 古典概型与几何概型的应用 例3 (1)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中 随机选取一个数b,则a>2b的概率为( ) 1 4 A. B. 5 15 1 6 C. D. 3 15

第18讲│ 要点热点探究
(2)[2012· 湖北卷] 如图6-18-3所示,在圆心角为直角的 扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

图6-18-3 2 A.1- π 1 1 B. - 2 π 2 C. π 1 D. π

第18讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求概率只需找出基本事件个数和所 求的随机事件含有的基本事件个数 ? (推理)列举即可 ? (结 论)根据古典概型公式计算. (2)(分析)只要求出阴影部分的面积即可 ? (推理)分割图 形转化为标准图形的面积 ? (结论)根据几何概型的公式计算 后确定选项.

第18讲│ 要点热点探究

[答案] (1)B
[解析]

(2)A

(1)分别从两个集合中各取一个数,共有15种取 4 法,其中满足a>2b的有4种取法,故所求事件的概率为P= . 15 (2)如图所示,

第18讲│ 要点热点探究
不妨设扇形的半径为2a,记两块白色区域的面积分别是 S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4,则S1+S2+S3+S4 1 =S扇形OAB= π(2a)2=πa2①, 4 而S1+S3与S2+S3的和恰好是一个半径为a的圆的面积,即 S1+S3+S2+S3=πa2②.由①-②得S3=S4; 1 2 又由图可知S3=S扇形EOD+S扇形COD-S正方形OEDC= πa -a2,所 2 以S阴影=πa2-2a2. S阴影 故由几何概型概率公式可得,所求概率P= = S扇形OAB πa2-2a2 2 =1- .故选A. πa2 π

第18讲│ 要点热点探究
[点评] 古典概型的关键是计算基本事件的个数和所求的随 机事件含有的基本事件的个数,在计算时注意不要重复也不要 遗漏;几何概型的关键是计算线段的长度、平面图形的面积、 立体图形的体积等,在计算时要进行适当的技术处理,如本例 第二题中要计算的是阴影部分的面积,解析采用面积变换的方 法求解,实际上可以直接计算,不妨设OA=2,可以验证以 OA,OB为直径的两个半圆的交点平分半圆,其中一块空白区域 的面积等于以OA为直径的圆面积的二分之一减去四分之一圆上 ?π 1? π 的两个弓形的面积,即 -2 ?4-2? =1,所以空白区域的面积为 2 ? ? 2 2,根据对立事件的概率公式可得所求的概率是1- . π

第18讲│ 要点热点探究
? 探究点四 有关统计案例的问题 例4 (1)[2012· 湖南卷] 设某大学的女生体重y(单位:kg)与 身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi, yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为 ^ =0.85x y -85.71,则下列结论中不正确的是( ) ... A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg

第18讲│ 要点热点探究

(2)在性别与吃零食这两个分类变量的计算中,下列说法 正确的是________.(填序号) ①若K2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吃零 食与性别有关系,那么在100个吃零食的人中必有99人是女 性; ②从独立性检验可知有99%的把握认为吃零食与性别有 关系时,我们说某人吃零食,那么此人是女性的可能性为 99%; ③若从统计量中求出有99%的把握认为吃零食与性别有 关系,是指有1%的可能性使得出的判断出现错误.

第18讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲作出判断,考虑回归分析的基础 知识和基本思想方法 ? (推理)根据回归直线的斜率判断正负 相关性,根据回归直线方程求法判断是否过样本点的中心, 根据回归分析的基本思想判断选项C,D ? (结论)逐项判断后 确定选项; (2)(分析)欲作出判断,考虑独立性检验的基本思想方法 ? (推理)独立性检验作出的是统计结论,这个结论具有概率 性质,据此进行分析判断 ? (结论)判断后给出答案.

第18讲│ 要点热点探究

[答案] (1)D

(2)③

[解析] (1)本题考查线性回归方程的特征与性质,意在考 查考生对线性回归方程的了解,解题思路:A,B,C均正 确,是回归方程的性质,D项是错误的,线性回归方程只能 预测学生的体重.选项D应改为“若该大学某女生身高为170 cm,则估计其体重大约为58.79 kg”. (2)由独立性检验的基本思想可得,只有③正确.

第18讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼

?规律 1.对于几何概型,当基本事件只受一个连续的变量控 制时,这类几何概型是线型的;当基本事件受两个连续的变量 控制时,这类几何概型是面型的,一般是把两个变量分别作为 一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一 个区域,即可借助于平面区域解决;当基本事件是受三个连续 的变量控制时,这类几何概型是体型的,可以通过构造空间几 何体加以解决.

第18讲│ 规律技巧提炼

2.方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的 特征数,标准差大说明波动大. 3.回归直线方程一定过点( x , y ). ?技巧 计算方差首先要计算平均数,然后再按照方差的 计算公式进行计算,值得注意的是如果数表中给出的数据 均是有重复性的,要根据这个重复性简化计算. ?易错 注意确定性思维和统计思维的差异, 确定性思维 作出的是完全确定的、百分之百的结论,但统计思维作出 的是带有随机性的、不能完全确定的结论,在解题中忽视 了这两种思维方式作出结论的差异,就可能对统计计算的 结果作出错误的解释.

第18讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
数据处理能力——实际问题中的数据收集与处理 示例 [2012· 北京卷] 近年来,某市为促进生活垃圾的分类处 理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分 别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现 随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计 如下(单位:吨):

第18讲│ 命题立意追溯

“厨余垃 圾”箱

“可回收物”箱

“其他垃圾”箱 100 30 60

厨余 400 100 垃圾 可回 30 240 收物 其他 20 20 垃圾 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;

第18讲│ 命题立意追溯

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物” 箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0, a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a, b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值. 1 2 注:s = n [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为数据x1,x2,?,xn的平均数.

第18讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题给出了较多的数据,解题中首先要正 确理解各个数据的含义,然后再根据问题的要求整合数据 得出答案.本题考查的重点是数据处理能力.

第18讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (1)(条件)根据数表,可得厨余垃圾的总数以 及投放正确的数目 ? (目标)计算投放正确的频率 ? (方法) 以频率估计概率; (2)(条件)生活垃圾的总数和投放正确的数目 ? (目标) 估计生活垃圾投放错误的概率 ? (方法)根据对立事件概率 关系求之; (3)(条件)a+b+c=600 ? (目标)方差最大时a,b,c的 值及此时的方差值 ? (方法)根据方差的含义作判断,由于 三数的均值为200,要使偏离程度最大,只要有一个数为 600即可.

第18讲│ 命题立意追溯

解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = = . 厨余垃圾总量 400+100+100 3 (2)设生活垃圾投放错误为事件A, 则事件 A 表示生活垃圾投放正确. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、 “可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃 圾量的总和除以生活垃圾总量, 400+240+60 即P( A )约为 =0.7, 1 000 所以P(A)约为1-0.7=0.3.

第18讲│ 命题立意追溯

(3)当a=600,b=c=0时,s2取得最大值. 1 因为 x = (a+b+c)=200, 3 1 2 所以s = [(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80 000. 3

第18讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] 某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种,在该 地区选择了5块土地,每块土地平均分成面积相等的两部分,分 别种植甲、乙两个品种的棉花,收获时测得棉花的亩产量如图 6-18-4所示. (1)请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定,并说明理由; (2)求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地,这两块土地 的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概 率.

图6-18-4

第18讲│ 命题立意追溯
解:(1)由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为: 95+102+105+107+111 =104, 5 1 2 方差为s 甲 = [(95-104)2+(102-104)2+(105-104)2+(107- 5 104)2+(111-104)2]=28.8. 98+103+104+105+110 乙种棉花的平均亩产量为: 5 =104, 1 2 方差为s 乙 = [(98-104)2+(103-104)2+(104-104)2+(105- 5 104)2+(110-104)2]=14.8. 因为s2 >s2 ,所以乙种棉花的平均亩产量更稳定. 甲 乙

第18讲│ 命题立意追溯

(2)从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法为 C2=10种, 5 设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产 量”为事件A, 包括的基本事件为(105,107),(105,111),(107,111)共3种. 3 所以P(A)= . 10 答:两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总 3 平均亩产量的概率为 . 10

第18讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:例1从样本平均数的理论计算上进行考查,较为 新颖,可在探究点二中使用;例2把定积分与几何概型结合,这 也是古典概型命题的一个方向,可在探究点三中使用;例3可作 为解读统计思想的题目使用.

第18讲│ 教师备用例题

例 1 [2012· 江西卷] 样本(x1,x2,?,xn)的平均数为 x ,样 本(y1,y2,?,ym)的平均数为 y ( x ≠ y ).若样本(x1,x2,?,xn, 1 y1,y2,?,ym)的平均数 z =α x +(1-α) y ,其中 0<α< ,则 n, 2 m 的大小关系为( ) A.n<m B.n>m C.n=m D.不能确定

第18讲│ 教师备用例题

[答案] A
[解析] A 考查平均数的计算、 不等式的性质等; 解题的 突破口是利用样本平均数的计算公式,建立 m,n,α 之间的 ? n ? 1 n ? 关系后求解.∵ z = (n x +m y )= x +?1-n+m? ? n+m n+m ? ? n 1 n 1 y ,∴ =α,∵0<α< ,∴0< < ,∴n<m,故选 A. 2 n+m n+m 2

第18讲│ 教师备用例题
例 2 [2012· 福建卷] 如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 ( )

1 A. 4 1 C. 6

1 B. 5 1 D. 7

第18讲│ 教师备用例题

[答案] C
[解析] C 本题考查几何概型的计算与求解以及定积分的计 算,解决本题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积,再利用 几何概型公式求解.阴影部分的面积是: ?2 3 1 2? ? 2 1 1 ?1 ?1 ? x - x ? ?0= - = ,利用几何概 S 阴影=? ( x-x)dx= 3 2 2 ? ? 3 2 6 ? ? ?
0

1 S阴影 6 1 型公式得:P= = = . S正方形 1 6

第18讲│ 教师备用例题
例 3 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度 (单位:mm),结果如下: 甲 品种 : 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙 品种 : 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356

第18讲│ 教师备用例题
由以上数据设计了如下茎叶图:

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作 比较,写出两个统计结论: ①________________;②________________.

第18讲│ 教师备用例题

[答案] ①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤 维平均长度(或: 乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的 纤维长度) ②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分 散(或: 乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中 (稳定),甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤 维长度的分散程度更大)

第19讲 离散型随机变量及 其分布列

第19讲 │ 云览高考
[云览高考] 题型(频率) 考点统计 考点1 独立事件的概率、n次独 0 立重复试验 考点2 离散型随机变量的分布 解答(1) 列、均值和方差 考点3 正态分布 选择(1) 考例(难度)

2012湖北卷 20(B) 2011湖北卷 5(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题. 频率为近三年湖北真题情况,2010年,2011年为大纲卷.

第19讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分的命题通常围绕三点展开.第一个点是 围绕概率计算展开,设计利用事件的独立性、互斥性、对立性 等进行计算的概率试题, 目的是考查对概率知识的掌握程度和 运算求解能力、分类整合的数学思想方法,一般是选择题、填 空题或者解答题的一个组成部分; 第二个点是围绕离散型随机 变量及其分布列展开,设计求解离散型随机变量的分布列、数 学期望和方差的带有实际背景的试题, 目的是考查对实际问题 的理解、分析,并把实际问题转化为概率计算、数学与方差的 计算,这是概率统计考查的一个核心命题点,试题一般是解答 题,难度中等;第三个点是围绕正态分布展开,设计利用正态

第19讲 │ 二轮复习建议
密度曲线的对称轴求解概率、或者实际应用问题,目的是考查对正 态分布的理解程度和数形结合思想,试题为选择题或者填空题,难 度较小. 预计 2013 年该部分的考查仍然会以离散型随机变量的分布列、 数学期望和方差为主,通盘试卷整体结构,兼顾考查含有独立事件 的概率、正态分布等问题. 复习建议:该部分是概率统计的核心内容,复习时要抓住核心 中的核心,即离散型随机变量分布列的求解,其本质上是概率的求 解,要把概率计算方法和技巧作为复习的重中之重.值得指出的是 从近五年来全国课标区的概率统计解答题看,有三年以解答题的形 式考查了随机变量的分布列和数字特征,但这三个解答题都是与函 数问题结合进行考查的,复习时也要注意这个特点.

第19讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第19讲 │ 主干知识整合

第19讲 │ 主干知识整合

第19讲 │ 主干知识整合

3.数字特征 数学期望 E(X)=x1p1+x2p2+? E(aX+b)=aE(X)+ +xipi+?+xnpn b 方差:D(X)= ?[xi-
i= 1 n

方差和 标准差

D(aX+b)=a2D(X)

E(X)]2pi, 标准差:σX= D?X?

4.典型分超几何分布、二项分布、正态分布.

第19讲│ 要点热点探究

要点热点探究
? 探究点一 相互独立事件的概率与 n 次独立重复试验概型 例 1 [2012· 山东卷] 现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次, 3 命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次, 4 2 每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手 3 每次射击的结果相互独立,假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率; (2)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E(X).

第19讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)射手命中甲、乙两靶的概率和各次命 中的独立性 ? (目标)射手恰好命中一次的概率 ? (方法)把命 中情况使用互斥事件和独立事件表达,即三次射击恰好命中一 次时,命中甲靶一次没有命中乙靶、没有命中甲靶命中乙靶一 次,根据相互独立事件和互斥事件的概率公式计算; (2)(条件)射手命中甲、 乙两靶的概率和各次命中的独立性、 命中的得分情况 ? (目标)射手的总得分 X 的分布列及数学期 望 E(X) ? (方法)总得分 X 与命中次数对应,分别计算 X 各个 取值的概率得出分布列,按照数学期望的公式求出 E(X).

第19讲│ 要点热点探究
解:(1)记:“该射手恰好命中一次”为事件 A,“该射 手射击甲靶命中”为事件 B, “该射手第一次射击乙靶命中” 为事件 C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D,由题意 3 2 知 P(B)= ,P(C)=P(D)= , 4 3 由于 A=B--+-C-+--D, C D B D B C 根据事件的独立性和互斥性 得 P(A)=P(B--+-C-+--D)=P(B--)+P(-C-)+ CD B D BC CD B D P(--D) BC =P(B)P(-)P(-)+P(-)P(C)P(-)+P(-)P(-)P(D) C D B D B C 3 ? 2 ? ? 2 ? ? 3 ? 2 ? 2? ? 3 ? ? 2 ? = ×?1-3?×?1-3?+?1-4?× ×?1-3?+?1-4?×?1-3? 4 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 7 × = . 3 36

第19讲│ 要点热点探究
(2)根据题意,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得 P(X=0)=P(---) BCD =[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] ? 3? ? 2? ? 2? =?1-4?×?1-3?×?1-3? ? ? ? ? ? ? 1 = , 36 P(X=1)=P(B--)=P(B)P(-)P(-) CD C D 3 ? 2? ? 2? = ×?1-3?×?1-3? 4 ? ? ? ? 1 = , 12

第19讲│ 要点热点探究
P(X=2)=P(-C-+--D)=P(-C-)+P(--D) B D BC B D BC ? 3? 2 ? 2? ? 3? ? 2? 2 =?1-4?× ×?1-3?+?1-4?×?1-3?× ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 3 1 = , 9 P(X=3)=P(BC-+B-D)=P(BC-)+P(B-D) D C D C 3 2 ? 2 ? 3 ? 2? 2 = × ×?1-3?+ ×?1-3?× 4 3 ? ? 4 ? ? 3 1 = , 3 P(X=4)=P(-CD) B ? 3? 2 2 =?1-4?× × ? ? 3 3 1 = , 9

第19讲│ 要点热点探究
P(X=5)=P(BCD) 3 2 2 = × × 4 3 3 1 = . 3 故 X 的分布列为 2 3 4 5 1 1 1 1 P 9 3 9 3 1 1 1 1 1 1 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× +5× = 36 12 9 3 9 3 41 . 12 X 0 1 36 1 1 12

第19讲│ 要点热点探究

[点评] 本题的考查核心就是独立事件的概率计算,这也是 一般的概率解答题的考查特征.该题对乙靶的射击实际上是二 次独立重复试验问题,求解时可以借助二次独立重复试验概型 简化计算,如第一问中命中甲靶一次、乙靶没有命中的概率是 ? ? ? 2 ?2 1 3 0 2 0 ×C2?3? ×?1-3? = ,没有命中甲靶命中乙靶一次的概率是 4 12 ? ? ? ? ? ? ?? 3? 2? 1 1 1 2 ?1- ?×C2? ??1- ?= ,所以该射手恰好命中一次的概率是 4? 3? 9 12 ? ?3?? 1 7 + = ,第二问中的各个概率值也可类似地进行计算.在概 9 36 率的计算中事件的独立性和 n 次独立重复试验概型是最为重要 的.

第19讲│ 要点热点探究
2 变式题 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 3 3 和 .假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响;每人各次 4 射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击 3 次,至少 1 次未击中目标的概率; ... (2)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击,问:乙恰 ... 好射击 4 次后,被终止射击的概率是多少? (3)设甲连续射击 3 次,用 ξ 表示甲击中目标的次数,求 ξ 的数学期望 Eξ.(结果可以用分数表示)

第19讲│ 要点热点探究

解:(1)记“甲连续射击 3 次,至少 1 次未击中目标”为事 件 A1, 由题意, 射击 3 次, 相当于 3 次独立重复试验, P(A1) 故 23 19 =1-P( A1 )=1- = . 3 27 (2)记“乙恰好射击 4 次后, 被终止射击”为事件 A2, 由于 各事件相互独立, 1 3 1 1 3 3 1 1 3 故 P(A2)= × × × + × × × = . 4 4 4 4 4 4 4 4 64 2 (3)根据题意 ξ 服从二项分布,Eξ=3× =2. 3

第19讲│ 要点热点探究
? 探究点二 随机变量的分布列、均值与方差 例 2 [2012· 浙江卷] 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且 规定:取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该箱中任 取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 此 3 球所得分数之和. (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X).

第19讲│ 要点热点探究

[思考流程] (条件)无放回取球三次 ? (目标)X 的分布 列与数学期望 ? (方法)按照取球中白球、 黑球的个数确定 X 的取值,并根据古典概型的计算方法求出其对应的概率值, 得出 X 的分布列和数学期望.

第19讲│ 要点热点探究

随机变量的分布列、均值与方差问题 解:(1)由题意得 X 取 3,4,5,6,且 C3 5 5 P(X=3)= 3= ,(1 分) C9 42 C1· 2 10 4 C5 P(X=4)= 3 = ,(2 分) C9 21 C2· 1 5 4 C5 P(X=5)= 3 = ,(3 分) C9 14 C3 1 4 P(X=6)= 3= .(4 分) C9 21

第19讲│ 要点热点探究
所以 X 的分布列为 X P 3 5 42 4 10 21 5 5 14 6 1 21

(6 分) (2)由(1)知 E(X)=3· P(X=3)+4· P(X=4)+5· P(X=5)+6· P(X=6) 13 = .(12 分) 3

第19讲│ 要点热点探究

[规范评析] 本题的背景是超几何分布, 只是把超几何分布 中的随机变量根据取球情况不同,得分不同作了个简单的替 换.在概率统计中二项分布、超几何分布是两个典型而重要的 概率分布,在复习时要高度重视.

第19讲│ 要点热点探究
例 3 [2012· 课程标准卷] 某花店每天以每枝 5 元的价格从 农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果 当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位: 元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理 得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10

第19讲│ 要点热点探究

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概 率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花, 表示当天的利润(单位: X 元),求 X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购 进 16 枝还是 17 枝?请说明理由.

第19讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)如题干 ? (目标)以分段函数的方式 写出解析式 ? (方法)n≥16,n<16 各自建立函数解析式; (2)(条件)日需求量的频数分布 ? (目标)X 的分布列、数学 期望与方差以及一个比较问题 ? (方法)分情况求解,可卖出 14 枝、15 枝、16 枝,对应的利润分别为 X=60,70,80,对应的 概率分别为 0.1,0.2,0.7,写出分布列,根据数学期望和方差公 式计算,比较两种情况下利润的期望值即可.

第19讲│ 要点热点探究
解:(1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为 ?10n-80,n<16, ? y=? (n∈N). ?80,n≥16 ? (2)①X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X 的数学期望为 E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X 的方差为 D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+ (80-76)2×0.7=44.

第19讲│ 要点热点探究
②答案一: 花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单元:元),那 么 Y 的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y 的方差为 D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16 +(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果看出,D(X)<D(Y),即购进 16 枝玫瑰花时利 润波动相对较小. 另外,虽然 E(X)<E(Y),但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花.

第19讲│ 要点热点探究
答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单元:元), 那么 Y 的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

Y 的数学期望为 E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. 由以上的计算结果中以看出,E(X)<E(Y),即购进 17 枝玫瑰花 时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花.

第19讲│ 要点热点探究
? 探究点三 有关正态分布问题

图 6-19-1 例 4 [2012· 课程标准卷] 某一部件由三个电子元件按图 6 -19-1 方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作, 则部件正常工作, 设三个电子元件的使用寿命(单位: 小时)均服从正态分布 N(1 000,502),且各个元件能否正常工作 相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 ________.

第19讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)欲求整个部件使用寿命超过 1 000 小时 的概率需确定各个元件使用寿命超过 1 000 小时的概率 ? (推 理)根据正态分布确定,然后计算元件 1 或者元件 2 寿命超过 1 000 小时概率 ? (结论)根据独立事件同时发生的概率乘法公式 确定最后结果.

第19讲│ 要点热点探究

[解析] A
[解析] 解法一:设该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概 率为 P(A).因为三个元件的使用寿命均服从正态分布 N(1 000,502),所以元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的 1 1 1 1 P1 P2 P3+ P3 = 概率分别为 P1= ,P2= ,P3= .因为 P( A )= 2 2 2 2 1 1 1 5 3 × × + = ,所以 P(A)=1-P( A )= . 2 2 2 8 8

第19讲│ 要点热点探究

解法二:设该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 P(A).因为三个元件的使用寿命均服从正态分布 N(1 000,502),所 1 以元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的概率分别为 P1= ,P2 2 1 1 1 ? 1? 1 = ,P3= .故 P(A)=P1 P2 P3+ P1 P2P3+P1P2P3= ×?1-2?× + 2 2 2 ? ? 2 ? 1? 1 1 1 1 1 3 ?1- ?× × + × × = . 2? 2 2 2 2 2 8 ?

第19讲│ 要点热点探究

[点评] 正态分布 N(μ,σ2)中的 μ 是总体的均值,直线 x =μ 是正态密度曲线的对称轴,如果 X~N(μ,σ2),则 P(X<μ) 1 =P(X>μ)= . 2

第19讲│ 要点热点探究

变式题 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(1, 2), σ 则函数 f(x) =x2+2x+ξ 不存在零点的概率是( ) 1 1 A. B. 4 3 1 2 C. D. 2 3

第19讲│ 要点热点探究

[答案] C
[解析] 函数 f(x)=x2+2x+ξ 不存在零点, Δ=4-4ξ<0, 则 1 2 ξ>1,因为 ξ~N(1,σ ),所以 μ=1,P(ξ>1)= . 2

第19讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
?规律 1.概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行 分拆,这中间有三个概念,事件的互斥,事件的对立和事件的相 互独立,在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念,根据实际情 况对事件进行合理的分拆,就能把复杂事件的概率计算转化为一 个个简单事件的概率计算,达到解决问题的目的. 2.求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是:先根据随机 变量的意义,确定随机变量可以取哪些值,然后根据随机变量取 这些值的意义求出取这些值的概率,列出分布列,根据数学期望 和方差的公式计算.

第19讲│ 规律技巧提炼

?技巧 在解含有相互独立事件的概率题时, 首先把所求的随 机事件分拆成若干个互斥事件的和,其次将分拆后的每个事件分 拆为若干个相互独立事件的乘积,如果某些相互独立事件符合独 立重复试验概型,就把这部分归结为独立重复试验概型,用独立 重复试验概型的概率计算公式解答,这就是解决含有相互独立事 件的概率题的基本解题思路. ?易错 混淆相互独立事件与互斥事件, 在求离散型随机变量 的分布列时忽视概率分布列性质的应用,对实际的含义理解不清 等.

第19讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯
运算求解能力——概率的计算技巧 示例 [2012· 天津卷] 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动 有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人 通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人 数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ.

第19讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题以独立重复试验概型为中心展开, 考查的 重点是概率问题中的运算求解. 其中对事件之间关系的合理分 拆是解题的关键环节,也是概率计算的重要技巧.

第19讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (1)(条件)如题干 ? (目标)确定 4 人中恰好有 2 人 参加甲游戏需确定每个人参加甲游戏的概率 ? (方法)根据掷出 的骰子的点数确定,使用独立重复试验概型求解; (2)(条件)如题干 ? (目标)4 个人中去参加甲游戏的人数大于 去参加乙游戏的人数的概率 ? (方法)确定参加甲游戏人数,只能 是 4 人和 3 人,根据独立重复试验概型求解. (3)(条件)如题干 ? (目标)随机变量的分布列与数学期望 ? (方法)确定 ξ 的取值及取值的意义,ξ=0,2,4,根据取值意义求解 对应概率得分布列,根据数学期望公式求解 Eξ.

第19讲│ 命题立意追溯
1 解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 , 3 2 去参加乙游戏的概率为 .设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏” 3 ? ?? ? i 1 i 2 4- i 为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),则 P(Ai)=C4?3? ?3? . ? ?? ? (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 ? ? ? ? 8 2 1 2 2 2 ? ? ? ? = . P(A2)=C4 3 3 27 ? ? ? ?

第19讲│ 命题立意追溯

(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏 的人数”为事件 B,则 B=A3∪A4, 由于 A3 与 A4 互斥,故 P(B)=P(A3)+P(A4)= ? ? ? ? ? ? 1 3 1 3 2 4 1 4 C4?3? ?3?+C4?3? = . 9 ? ? ? ? ? ? 所以,这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人 1 数的概率为 . 9

第19讲│ 命题立意追溯
(3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 8 40 P(ξ=0)=P(A2)= ,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= , 27 81 17 P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)= . 81 所以 ξ 的分布列是 ξ 0 2 4 8 40 17 P 27 81 81 8 40 17 148 随机变量 ξ 数学期望 Eξ=0× +2× +4× = . 27 81 81 81

第19讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] 某医疗设备每台的销售利润与该设备的无故障使用时间 Q(单位:年)有关.若 Q≤1,则销售利润为 0 元;若 1<Q≤3, 则销售利润为 100 元;若 Q>3,则销售利润为 200 元.设每台 该种设备的无故障使用时间 Q≤1,1<Q≤3 及 Q>3 这三种情况 发生的概率分别为 p1,p2,p3,又知 p1,p2 是方程 25x2-15x +a=0 的两个根,且 p2=p3. (1)求 p1,p2,p3 的值; (2)记 ξ 为销售两台这种设备的利润总和, ξ 的分布列和 求 数学期望.

第19讲│ 命题立意追溯
解:(1)由已知得 p1+p2+p3=1. ∵p2=p3,∴p1+2p2=1. ∵p1,p2 是方程 25x2-15x+a=0 的两个根, 3 1 2 ∴p1+p2= .∴p1= ,p2=p3= . 5 5 5 (2)ξ 的可能取值为 0,100,200,300,400. 1 1 1 1 2 4 P(ξ=0)= × = ,P(ξ=100)=2× × = , 5 5 25 5 5 25 1 2 2 2 8 P(ξ=200)=2× × + × = , 5 5 5 5 25 2 2 8 P(ξ=300)=2× × = , 5 5 25 2 2 4 P(ξ=400)= × = . 5 5 25

第19讲│ 命题立意追溯
随机变量 ξ 的分布列为: ξ P 0 1 25 100 200 300 400

4 8 8 4 25 25 25 25 1 4 8 8 4 Eξ = 0× + 100× + 200× + 300× + 400× = 25 25 25 25 25 240.

第19讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:把统计与概率综合命制解答题是近年来概率统计 解答题的一个命题趋向,下面的例题从样本的频率分布,到独立 性检验,再到二项分布,较为全面地考查了概率统计的主干知识 和方法,可以作为该讲总结之用.

第19讲│ 教师备用例题
例 [2012· 辽宁卷] 电视传媒公司为了解某地区电视观众对 某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查.下 面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分 布直方图.

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体 育迷”.

第19讲│ 教师备用例题

(1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你 是否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 总计 体育迷 总计

10

55

第19讲│ 教师备用例题
(2)将上述调查所得到的频率视为概率, 现在从该地区大 量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次.记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次 抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方 差 D(X). 附: P(K2≥k) k 0.05 3.841 0.01 6.635

第19讲│ 教师备用例题
解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人,从而 2×2 列联表如下

非体育迷

体育迷

总计

男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 100×?30×10-45×15?2 100 K2= = ≈3.030. 33 75×25×45×55

第19讲│ 教师备用例题
因为 3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性 别有关. (2) 由频率分 布直方图 知抽到 “ 体 育 迷 ” 的 频 率 为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的 1 概率为 . 4 ? 1? 由题意 X~B?3,4?,从而 X 的分布列为 ? ? X 0 1 2 3 27 27 9 1 P 64 64 64 64 1 3 1 3 9 E(X)=np=3× = . D(X)=np(1-p)=3× × = . 4 4 4 4 16

第20讲 复数、算法与推理 证明

第20讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 考点1 复数 题型(频率) 选择(3) 考例(难度)

考点2 算法 考点3 推理与证明 (合情推理)

填空(1) 填空(1) 解答(1)

2010湖北卷1(A), 2011湖北卷1(A), 2012湖北卷1(A) 2012湖北卷12(B) 2012湖北卷13(B), 2012湖北卷22(C)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题. 频率为近三年湖北真题情况,2010年,2011年为大纲卷.

第20讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度:该部分的命题就是围绕两个点展开.第一个点 是围绕复数展开,设计考查复数的概念、运算的试题,目的是 考查对复数基础知识的掌握程度和基本的运算求解能力,试题 很简单;第二个点是围绕算法展开,设计以程序框图表达的算 法试题,目的是考查对算法的基本逻辑结构的认识,对算法功 能的认识,试题难度中等.至于推理与证明,理论上讲任何数 学试题的解答都离不开推理,所以我们在考点统计中没有进行 全面统计,只看合情推理、反证法和数学归纳法.

第20讲 │ 二轮复习建议

预计 2013 年对复数和算法的考查不会发生变化, 即考查 复数的基本概念和运算,考查以程序框图设定的算法.但对 合情推理以及反证法和数学归纳法的考查,则可能出现新的 试题. 复习建议:该部分中复数的内容非常简单,只要把概念 和运算法则弄清楚即可;算法的复习中要引导学生模拟框图 给出的算法进行计算,注重对算法中的判断条件的分析;在 推理与证明中适度注意合情推理问题及反证法和数学归纳 法.

第20讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第20讲 │ 主干知识整合
1.复数 (1)复数的相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)?a=c,b =d. (2)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数. (3)运算:(a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i,(a+bi)· (c+di) ac+bd bc-da =(ac-bd)+(bc+ad)i,(a+bi)÷ (c+di)= 2 + i(c+ c +d2 c2+d2 di≠0). (4)复数的模:|z|=|a+bi|= a2+b2.

第20讲 │ 主干知识整合

第20讲│ 要点热点探究
要点热点探究
? 探究点一 复数的基本概念及其运算

2 例 1 (1)[2012· 课程标准卷] 下面是关于复数 z= 的 -1+i 四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z 的共轭复数为 1+i, p4:z 的虚部为-1,其中的真命题为( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4 (2)[2012· 山东卷] 若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单 位),则 z 为( ) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i

第20讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲作出判断需求出复数 z ? (推理)根 据除法法则求出复数 z ? (结论)结合选项作进一步计算后作出 判断; (2)(分析)欲求 z 先把 z 转化为两个复数相除 ? (推理)根据 除法法则计算之 ? (结论)根据计算结果确定选项.

第20讲│ 要点热点探究

[答案] (1) C (2) A
? ? 2 2??-1-i?? [解析] (1)因为 z= =?? ?? ?=-1-i,所以 ??-1-i? -1+i ?-1+i?? ? ? ? ? ? z 的虚部是-1, z =-1+i,?z?= 2,z2=??-1-i??2=2i.故 p2, ? ? p4 是真命题, p1,p3 是假命题,故选 C. 11+7i ?11+7i??2+i? 15+25i (2)z= = = =3+5i, 故选 A. 5 2-i ?2-i??2+i?

第20讲│ 要点热点探究

[点评] 复数的考查核心是代数形式的四则运算, 即使是概念 的考查也需要相应的运算支持. 本例第一题注意复数 z=a+bi(a, b∈R)中的 b 是虚部,不是 bi 为虚部,也就是说虚部是一个实数 不是纯虚数;本例第二题也可以设 z=a+bi(a,b∈R)代入 z(2- i)=11+7i 后进行乘法运算,然后根据两复数相等的充要条件得 出方程组求出 a,b.

第20讲│ 要点热点探究
? 探究点二 利用程序框图描述算法 例 2 (1)[2012· 课程标准卷] 如果执行图 6-20-1 所示的程 序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,?,aN,输出 A,B, 则( ) A.A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 A+B B. 为 a1,a2,?,aN 的算术平均数 2 C.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最小的数和最大的数

第20讲│ 要点热点探究

图 6-20-1

第20讲│ 要点热点探究
(2)[2012· 辽宁卷] 执行如图 6-20-2 所示的程序框图, 则输 出的 S 值是( )

A.-1

2 B. 3

图 6-20-2 3 C. D.4 2

第20讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)需要确定 A, 的含义 ? (推理)第一 B 个判断框执行后把两个数中的较大者赋给了 A, 逐个比较后 A 为所有数中的最大者,第二个判断框执行后把两个数中的较 小者赋给了 B,逐个比较后 B 为所有数中的最小者 ? (结论) 第三个判断框是循环结束的判断,即比较的是 n 个数中的最 大者与最小者; (2)(分析)欲求输出值只要模拟算法计算之 ? (推理)逐次 计算直到首次出现 i≥6 ? (结论)根据计算结果确定选项.

第20讲│ 要点热点探究

[答案]

(1)C

(2)A

[解析] (1)由程序框图可知,当 x>A 时,A=x;当 x≤A 且 x<B 时,B=x,所以 A 是 a1,a2,?,aN 中的最大数,B 是 a1, a2,?,aN 中的最小数.故选 C.

第20讲│ 要点热点探究

(2)本小题主要考查程序框图的应用.解题的突破口为分析 i 与 6 的关系. 2 2 2 当 i=1 时,S= =-1;当 i=2 时,S= = ; 2-4 2-?-1? 3 2 3 当 i=3 时,S= = ; 2 2 2- 3 2 2 当 i=4 时,S= =4;当 i=5 时,S= =-1;当 3 2-4 2- 2 i=6 时程序终止,故而输出的结果为-1.

第20讲│ 要点热点探究

[点评] 本例第一题把算法的顺序结构、条件结构、循环 结构综合起来进行考查, 是一道很有新意的题目, 解题中最重 要的一点是理解算法的原理, 即通过赋值、 判断后进行的是一 种什么样的计算过程和计算结果; 本例第二题如果把每次赋值 后的 S 值看作一个数列, 则这个数列是周期性的, 根据周期性 和计算次数即可作出判断, 这类试题就是要把算法揭示的规律 找出.

第20讲│ 要点热点探究
变式题 (1)如图 6-20-3 给出了一个程序框图, 其作用是 输入 x 的值,输出相应的 y 值,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有________个.

图 6-20-3

第20讲│ 要点热点探究
(2)图 6-20-4 是某算法的程序框图,则程序运行后输出 的结果是________.

图 6-20-4

第20讲│ 要点热点探究
[答案] (1)3 (2)27

[解析] (1)这个算法是输入自变量的值计算分段函数值 ?x2,x≤2; ? 的算法,这个分段函数是 y=?2x-3,2<x≤5; ?x-1,x>5. ? 输入的 x

值与输出的 y 值相等时,可以是 x2=x,解得 x=0,1;可以 是 2x-3=x, 解得 x=3; 可以是 x=x-1, 解得 x=± 1(舍去). 所 以共有 3 个 x 值符合要求. (2)由框图的顺序,s=0,n=1,s=(0+1)×1=1,n=1 +1=2,依次循环 s=(1+2)×2=6,n=3,注意此刻 3>3 仍然是“否”, 所以还要循环一次 s=(6+3)×3=27, n=4, 此刻输出 s=27.

第20讲│ 要点热点探究
? 探究点三 推理的概念及其应用 例 3 (1)[2012· 江西卷] 观察下列各式:a+b=1,a2+b2 =3, 3+b3=4, 4+b4=7, 5+b5=11, 则 a10+b10=( a a a ?, ) A.28 B.76 C.123 D.199 (2)我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有内切圆,那 么凸多边形的面积 S、周长 c 与内切圆半径 r 之间的关系为 S 1 = cr.类比这个结论,在空间中,如果已知一个凸多面体有内 2 切球, 且内切球半径为 R, 那么凸多面体的体积 V、 表面积 S′ 与内切球半径 R 之间的关系是________.

第20讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲作出推断需观察已知提供的变化规 律 ? ( 推 理 ) 顺 次 写 出 幂 指 数 为 1,2,3,4,5 时 对 应 的 右 端 值 1,3,4,7,11,不难发现这个数列的每一项都是其前面相邻两项的 和 ? (结论)逐次递推求之; (2)(分析)类比作出结论 ? (推理)凸多面体的各面的面积 类比平面上凸多边形各边边长,内切球半径类比平面上内切圆 的半径 ? (结论)写出结论.

第20讲│ 要点热点探究

[答案]

1 (1)C (2)V= S′R 3

[解析] (1)考查归纳推理,以及观察能力;解题的突破口是 通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系. 由于 a+b=1, a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,通过观察 发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边 的常数的和.因此,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29, a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47 =123,故选 C.

第20讲│ 要点热点探究

(2)类比平面中凸多边形的面积的求法,将空间凸多面体 的内切球球心与各个顶点连接起来, 将凸多面体分割成若干个 小棱锥, 每个棱锥都以多面体的面为底面, 以内切球的半径为 1 1 1 1 1 高, 从而 V= S1R+ S2R+?+ SnR= (S1+S2+?+Sn)R= 3 3 3 3 3 S′R(S1,S2,?,Sn 为凸多面体的各个面的面积).

第20讲│ 要点热点探究

[点评] 本例第一题以斐波那契数列为背景命制,考查的 是观察问题的能力; 第二题是几何中求平面图形的面积、 立体 图形体积的分割法. 一般而言使用合情推理得到的结论未必正 确, 但在高考试题中一定要得出正确的结论, 因此在高考试题 中这类试题一般都具有较为明确的归纳和类比方向.

第20讲│ 要点热点探究

? 探究点四 证明的方法及其应用 例 4 已知数列{an},{bn}满足 a1=2,an-1=an(an+1-1), bn=an-1,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. ?1? (1)求证:数列?b ?为等差数列; ? n? (2)设 Tn=S2n-Sn,求证:Tn+1>Tn. n 1 * (3)求证:对任意的 n∈N 都有 1+ ≤ ≤ +n 成立. 2 2

第20讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(条件)数列递推式、两数列的关系 ? (目标) ?1? 数列?b ?为等差数列 ? (方法)在已知递推式中消掉 an,an+1 建 ? n? 1 1 1 1 立数列{bn}的递推式, 代入 -b 进行变换得 -b 为常数; bn+1 n bn+1 n (2)(条件)根据(1)可得 Sn,进而得 Tn ? (目标)Tn+1>Tn ? (方法)即证明数列{Tn}单调递增,把 Tn 的结构式求出,作差比 较或者放缩均可. n 1 (3)(条件)根据(1)可得 S2n ? (目标)1+ ≤S2n≤ +n ? (方 2 2 法)根据其特点使用数学归纳法证明之.

第20讲│ 要点热点探究

证明:(1)由 bn=an-1 得 an=bn+1,代入 an-1= an(an+1-1)得 bn=(bn+1)bn+1, 整理得 bn-bn+1=bnbn+1, ∵bn≠0,否则 an=1,与 a1=2 矛盾. 1 1 从而得 - =1. bn+1 bn ?1? 又 b1=a1-1=1,∴数列?b ?是首项为 1,公差为 1 的等 ? n? 差数列.

第20讲│ 要点热点探究

1 1 1 1 1 (2)∵b =n,则 bn=n.Sn=1+ + +?+n, 2 3 n 1 1 1 1 1 ∴ Tn = S2n - Sn = 1 + + + ? + n + +?+ - 2 3 2n n+1 ? 1 1 1? ?1+ + +?+ ? n? 2 3 ? 1 1 1 = + +?+ . 2n n+1 n+2

第20讲│ 要点热点探究
1 1 1 证 法 1 : ∵ Tn + 1 - Tn = + +?+ - n+2 n+3 2n+2 ? 1 1 1? ? + +?+ ? ?n+1 n+2 2n? ? ? 1 1 1 1 1 = + - = - = 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 1 >0, ?2n+1??2n+2? ∴Tn+1>Tn. 1 1 证法 2:∵2n+1<2n+2,∴ > , 2n+1 2n+2 1 1 1 ∴Tn+1-Tn> + - =0, 2n+2 2n+2 n+1 ∴Tn+1>Tn.

第20讲│ 要点热点探究

(3)用数学归纳法证明: 1 1 1 1 n ①当 n=1 时,1+ =1+ ,S2n=1+ , +n= +1,不等式成立; 2 2 2 2 2 ②假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,即 1 k 1+ ≤S2k≤ +k,那么当 n=k+1 时, 2 2 1 1 1 S2k+1=1+ +?+ k+?+ k+1 2 2 2 k+1 1 1 1 1 k k k 1 ≥1+ + k +?+ k+1>1+ + k+1+?+ k+1=1+ + =1+ , 2 2 +1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 S2k+1=1+ +?+ k+?+ k+1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ≤ +k+ k +?+ k+1< +k+ k+?+ k 2 2 2 2 2 +1 2 1 = +(k+1),∴当 n=k+1 时,不等式成立. 2 由①②知对任意的 n∈N*不等式成立.

第20讲│ 要点热点探究

[点评] 本题较为全面地考查了各种数学证明的方法,第 一问的推证使用综合法伴随使用反证法,第二问的证明使用 综合法(比较法、放缩法),第三问使用数学归纳法.在高考数 学试题中绝大多数都需要进行推理,特别在综合性解答题中 推理更是解决问题的必要途径,推理并不一定要证明一个结 论,有时为了运算也要进行必要的推理以建立合理的运算程 序,在以证明为主的综合解答题中要注意选择合适的数学证 明方法.

第20讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 化复数为 z=a+bi(a,b∈R)的形式后解决复数 问题;算法中模拟程序框图给出的算法进行计算;合情 推理的实质是“合乎情理”. ?技巧 数学证明的结论中含有“至多、至少、唯一、不 可能”等的数学证明题中,可以考虑使用反证法;如果 是与正整数有关的数学证明可以考虑数学归纳法. ?易错 复数中虚部的概念;程序框图中的判断条件;合 情推理中作出的推断与已知相差太远等;并不是所有与 正整数有关的命题都可以使用数学归纳法证明.

第20讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
推理论证能力——程序框图的设计、识别与解读 示例 执行如图 6-20-5 所示的程序框图,输出的 M 的值为 ) A.17 B.53 C.161 D.485

(

图 6-20-5

第20讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题以程序框图为载体,考查逻辑推理能 力、运算求解能力等数学能力在识别框图、解读框图中的 应用.

第20讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)欲求输出值需清楚算法的计算过程 ? (推理)模拟算法逐次计算之 ? (结论)当计算到四次时终止计 算.

第20讲│ 命题立意追溯

[答案]

C

[解析] C 由框图算法可得:M=1,k=0; k=1,M=3×1+2=5;k=2,M=3×5+2=17; k=3,M=3×17+2=53; k=4,M=3×53+2=161; 不满足循环条件,跳出循环,输出 M=161,选 C.

第20讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] 1.执行如图 6-20-6 的程序框图,输出的 S 和 n 的值分别 是( )

图 6-20-6 A.11,3 B.11,4 C.9,3 D.9,4

第20讲│ 命题立意追溯
1 - 2.输入 a=ln0.8,b=e ,c=2 e,经过图 6-20-7 所示 2 程序运算后,输出 a,b 的值分别是( ) 1 A.a=2-e,b=e B.a=ln0.8,b=2-e 2 1 1 C.a=e ,b=2-e D.a=e ,b=ln0.8 2 2

第20讲│ 命题立意追溯

图 6-20-7

第20讲│ 命题立意追溯

1. [答案] D
[解析] S=0,T=0,n=1,T≤S 成立,继续执行循环体; S=3,T=1,n=2,T≤S 成立,继续执行循环体; S=6,T=4,n=3,T≤S 成立,继续执行循环体; S=9,T=11,n=4,T≤S 不成立,输出 S=9,n=4.

第20讲│ 命题立意追溯

2.

[答案] C

[解析] 执行此程序,是把三个数按由大到小的顺序输出, 1 -e 1 e >2 >ln0.8,所以 a=e ,b=2-e. 2 2

第20讲│ 教师备用例题

教师备用例题

选题理由:例 1 把算法与三角函数综合,可以作为探究点二 的补充;例 2、例 3 属于演绎推理与归纳推理的综合,可以作为 推理与证明的补充例题.

第20讲│ 教师备用例题

例 1 [2012· 江西卷] 如图为某算法的程序框图,则程序运行 后输出的结果是________.

第20讲│ 教师备用例题

[答案] 3

[解析] 考查算法框图、诱导公式、特殊角的三角函数值; 解题的突破口是列出每一次循环后各变量的结果. k=1 时, 当 π 此时 sin =1>sin0=0 成立,因此 a=1,T=0+1=1,k=1 2 π +1=2,k<6 成立,再次循环;因 sinπ=0>sin =1 不成立, 2 因此 a=0,T=1+0=1,k=2+1=3,此时 k<6 成立,再次

第20讲│ 教师备用例题

3π 循环;因 sin =-1> sinπ=0 不成立,因此 a=0,T=1+0 2 3π =1, k=3+1=4, 此时 k<6 成立, 再次循环; sin2π=0>sin 因 2 =-1 成立,因此 a=1,T=1+1=2,k=4+1=5,此时 k<6 5π 成立,再次循环;因 sin =1> sin2π=0 成立,因此 a=1,T 2 =2+1=3,k=5+1=6,此时 k<6 不成立,退出循环,此时 T=3.

第20讲│ 教师备用例题
例 2 [2012· 湖南卷] 设 N=2n(n∈N*,n≥2),将 N 个数 x1,x2,?,xN 依次放入编号为 1,2,?,N 的 N 个位置,得 到排列 P0=x1x2?xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的 N N 数取出,并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置,得到 2 2 排列 P1=x1x3?xN-1·2x4?xN,将此操作称为 C 变换.将 P1 x N 分成两段, 每段 个数, 并对每段作 C 变换, 得到 P2; 2≤i≤n 当 2 N i -2 时,将 Pi 分成 2 段,每段 i个数,并对每段作 C 变换, 2 得到 Pi+1.例如,当 N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置.

第20讲│ 教师备用例题

(1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第________个位置; (2)当 N=2n(n≥8)时,x173 位于 P4 中的第________个位 置.

[答案] (1)6 (2) 3×2n 4+11



第20讲│ 教师备用例题
[解析] (1)由已知可得 P1=x1x3x5x7x9x11x13x15?, P2=x1x5x9x13x3x7x11x15?,故 x7 位于 P2 中的第 6 个位 置; 173+1 (2)当 i=1 时, 1 的排列中 x173 的位置是 P =87 位; 2 87+1 当 i=2 时,P2 的排列中 x173 的位置是 =44 位; 2 2n-2 44 当 i=3 时,P3 的排列中 x173 的位置是 + =2n-3 2 2 +22 位; 2n-3+22 当 i=4 时, 4 的排列中 x173 的位置是 2n-3+ P = 2 2n-3+2n-4+11=3×2n-4+11 位.

第20讲│ 教师备用例题

例 3 [2012· 福建卷] 某同学在一次研究性学习中发现,以 下五个式子的值都等于同一个常数: (1)sin213° +cos217° -sin13° cos17° ; (2)sin215° +cos215° -sin15° cos15° ; (3)sin218° +cos212° -sin18° cos12° ; (4)sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos48° ; (5)sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos55° . (1)请从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等 式,并证明你的结论.

第20讲│ 教师备用例题
解:解法一: (1)选择(2)式,计算如下: 1 1 3 sin 15° +cos 15° -sin15° cos15° =1- sin30° =1- = . 2 4 4 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α)=
2 2

3 . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) =sin2α+(cos30° cosα+sin30° sinα)2-sinα(cos30° cosα+ 3 2 3 1 2 2 sin30° sinα)=sin α+ cos α+ sinαcosα+ sin α- 4 2 4 3 1 2 3 2 3 2 3 sinαcosα- sin α= sin α+ cos α= . 2 2 4 4 4

第20讲│ 教师备用例题

解法二: (1)同解法一. 3 (2)三角恒等式为 sin α+cos (30° -α)-sinαcos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) 1-cos2α 1+cos?60° -2α? = + - sinα(cos30° cosα + 2 2 sin30° sinα)
2 2

第20讲│ 教师备用例题

1 1 1 1 = - cos2α+ + (cos60° cos2α+sin60° sin2α)- 2 2 2 2 3 1 2 sinαcosα- sin α 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos2α + + cos2α + sin2α - sin2α - (1 - 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 cos2α)=1- cos2α- + cos2α= . 4 4 4 4


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