湖南省张家界市2017-2018学年高一下学期期末联考数学(A卷)---精校解析Word版


张家界市 2018 年普通高中一年级第二学期期末联考

数学试题卷(A)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要 求的,请将所选答案填涂在答题卷中对应位置. 1. 设集合 A. 【答案】D 【解析】分析:求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出 A 与 B 的交集即可 详解:由 A 中不等式变形得:(x? 1)(x? 2)<0, 解得:1<x<2,即 A=(1,2), 由 B 中不等式解得:x> ,即 B=( ,+∞), 则 A∩B=( ,2), 故选:D. 点晴:集合是每年高考必考的内容,且属于必拿分题目。注意不等式的解法,注意集合交并补的运算, 2. 在三角形 A. B. 中,内角 C. D. 所对的边分别为 ,若 ,则角 B. C. D. 则

【答案】A 【解析】分析:利用正弦定理列出关系式,将 a,sinB,b 的值代入求出 sinA 的值,即可确定出 A 的度数. 详解:在三角形 ∴由正弦定理 , ∵ ∴ 点晴:三角形正弦定理余弦定理的选取上注意观察,另外在算出正弦值的基础上判断角,需要注意角的范 围 3. 数列 的一个通项公式是
-1-

中,知 得:



,∴



A. 【答案】C

B.

C.

D.

【解析】分析:观察数列 详解:”因为数列 则可知其一个通项公式是 或者运用递推关系式

的前即项可知写为 的前即项可知写为 ,

,即可知道答案

,也可以通过验证法排除得到选项 C。 ,累加法得到结论。故选 C。

点晴:解决该试题的关键是理解给出的前几项与项数之间的关系,然后归纳推理得到结论,体现了数列的 归纳猜想思想的运用。 4. 若直线 不平行于平面 ,则下列结论成立的是 A. 内的所有直线都与直线 异面 C. 内的所有直线都与 相交 【答案】D 【解析】∵直线 a 不平行于平面 α , ∴直线 a 与平面 α 相交,或直线 a 在平面 α 内. ∴直线 α 与平面 α 有公共点. 故选 D. 点睛:直线 不平行于平面 包含两种情况,即直线 a 与平面 α 相交,或直线 a 在平面 α 内,同学们往 往误认为只用一种情况:直线 a 与平面 α 相交,导致错误,要熟练掌握直线与平面的位置关系,包含三 种情况. 5. 直线 A. 【答案】B 【解析】分析:先根据两直线平行,算出 m 的值,然后利用两平行直线间距离公式进行计算 详解:∵ ∴ ∴m=9. 将直线 化为 2x+3y+4=0, , 与 平行, B. 与直线 C. D. 平行,则两直线间的距离为 B. 内不存在与 平行的直线 D. 直线 与平面 有公共点

-2-

故其距离 故选 B.

.

点晴:两直线平行于垂直的关系需要求掌握,另外在两平行直线间距离公式的运算过程中首先确保相应的 x 和 y 的系数需相等” 6. 下列函数中,最小值为 的是 A. B.

C. 【答案】B

D.

【解析】分析:利用基本不等式的性质依次分析 4 个选项函数的最小值即可得到答案 详解:根据基本不等式可得

A: 由于 lgx≠0, B: 由于 2x>0,则

?2或 ? 2,故 B 正确

?? 2,舍去

C:

? 2,当且仅当

方程无解

D: 由 0<x< 可得,0<sinx<1,y=
故选 B

,当且仅当 sinx=1 时取最小值,故无最小值

点晴:运用均值不等式注意三个条件:1 正,2 定,3 相等 7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的组合体的三视图,则该几何体的表面积为

-3-

A. 【答案】C

B.

C.

D.

【解析】分析:由三视图可知,该几何体是同底面的一个圆柱和一个圆锥组成的,从而图中的数据可得底 面半径 r、圆柱高 h 以及圆锥的母线长 l; 接下来,利用公式分别求出底面面积、圆柱的侧面积以及圆锥侧面积,三者相加即为该几何体的表面积. 详解:由三视图可得,原几何体是由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成, 其底面半径 r= =2,圆柱高 h=4,圆锥母线长 l= 所以底面面积 S1=π ×22=4π , 圆柱的侧面积 S2=2π ×2×4=16π , 圆锥侧面积 S3=12×2×π ×2×4=8π , 故表面积 S=S1+S2+S3=4π +16π +8π =28π . 点晴:本题是一道利用三视图求几何体表面积的题目,解答本题首先需要确定立方体的形状; 8. 《九章算术》之后,人们学会了用等差数列的知识来解决问题, 《张丘建算经》卷上第 22 题为:今有
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女善织,日益攻疾(注:从第二天开始,每天比前一天多织相同量的布) ,第一天织 5 尺布,现一个月(按 30 天计)共织 390 尺布,则从第二天起每天比前一天多织 A. B. C. D. 尺布.

【答案】D 【解析】 :设从第 2 天起每天比前一天多织 d 尺布 m 则由题意知 解得 d= . 故选:D. 9. 设 为直线 四边形 A. B. 上的动点,过点 作圆 为圆心 的面积的最小值为 C. D. 的两条切线,切点分别为 ,则 ,

【答案】C 【解析】分析:由圆的方程为求得圆心 C(1,1) 、半径 r 为:1,由“若四边形面积最小,则圆心与点 P 的距离最小时,即距离为圆心到直线的距离时,切线长 PA,PB 最小”,最后将四边形转化为两个直角三 角形面积求解. 详解:∵圆的方程为: ∴圆心 C(1,1) 、半径 r 为:1 根据题意,若四边形面积最小 当圆心与点 P 的距离最小时,距离为圆心到直线的距离时, 切线长 PA,PB 最小 圆心到直线的距离为 d=2 ∴|PA|=|PB|= ∴ 故选 C. 点晴:本题主要考察直线与圆的位置关系,主要涉及了构造四边形及其面积的求法,同时还考察了转化思 想,属于中档题 10. 某海轮以每小时 30 海里的速度航行,在点 测得海面上油井 在南偏东 到达点 ,测得油井 在南偏东 为(单位:海里)
-5-

,海轮向北航行 40 分钟后 两点的距离

,海轮改为北偏东

的航向再行驶 80 分钟到达点 ,则

A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】 分析: 由题意可得△PBC 为直角三角形, 其中∠PBC=90°, BC 易求, 所以要求 PC 转求 PB, 解△PAB 需构造直角三角形,因此过 P 作 AB 的垂线. 详解:过 P 作 AB 的垂线,垂足为 E, 由题意得∠APB=∠ABP=30°. ∴AP=AB=30× =20. 在 Rt△PAE 中,PE=AP?sin60°=10 在 Rt△PBE 中,PB= =20 , ,

由已知可得∠PBC=90°,BC=30× =40, ∴Rt△PBC 中,PC= =20 (海里).

点晴:本题考查的内容为解三角形问题的实际应用,注重正余弦定理的应用,正确画出草图,标上已知的 边和选,选用正确的公式 11. 已知数列 A. 【答案】B 【解析】分析; 由已知条件推导出数列{a2k-1}是首项为 1、公差为 1 的等差数列,数列{a2k}是首项为 2、公 比为 2 的等比数列,由此能求出数列的前 18 项的和. 详解:∵数列{an}满足 ∴a3=2, , B. 满足 C. D. 则该数列的前 18 项和为

a4=(1+cos2π )a2+sin2π =2a2=4.
一般地,当 n=2k? 1(k∈N?)时,

-6-



?

=1. }是首项为 1、公差为 1 的等差数列,

∴数列{ ∴ =k.

当 n=2k(k∈N?)时, ∴数列{ ∴ =2k. }是首项为 2、公比为 2 的等比数列,

∴数列的前 18 项的和为 1+2+2+4+3+8+4+16+5+32+6+64+7+128+8+256+9+512=1067. 故选 B 点晴: 本题给出数列的隔项递推关系式, 我们需要对 n 取值为奇偶进行分析, 然后找出关系进行解决问题。 12. 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 原料 3 吨, 原料 2 吨, 生产每吨乙产品要 用 原料 1 吨, 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,销售每吨乙产品可获得利润 3 万元.若该 企业在一个生产周期内消耗 原料不超过 13 吨, 原料不超过 18 吨, 该企业一个生产周期可获得的最大利 润是(单位:万元) A. B. C. D.

【答案】C 【解析】分析:先设该企业生产甲产品为 x 吨,乙产品为 y 吨,列出约束条件,再根据约束条件画出可行 域,设 z=5x+3y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直线 z=5x+3y 过可行域内的点时,从而得到 z 值 即可.

详解:设该企业生产甲产品为 x 吨,乙产品为 y 吨,则该企业可获得利润为 z=5x+3y,且

联立

解得

由图可知,最优解为 P(3,4), ∴z 的最大值为 z=5×3+3×4=27(万元). 故选 C.

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点晴:本题主要考察线性规划问题的实际应用,首先需要把提上的信息转化为不等式组,然后利用线性规 划问题求最值问题,画出可行性及目标函数即可 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中对应题号后的横线上. 13. 圆 的圆心为点 【答案】 【解析】分析:根据圆心到点 A 的距离算出半径,根据圆心及半径得出结论 详解:圆 的圆心为点 即半径 r=5 根据圆的标准方程即可得出圆 C 的方程为: 点晴:本题属于基础题,求圆的方程时我们需要知道圆的圆心坐标及半径即可 14. 在正方体 【答案】 【解析】分析:根据直线和平面所成角的定义即可得到结论. 详解:连结 AC, 则 AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影, 则∠A1CA 即为直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的正弦值, 设正方体的棱长为 1, 则 则 , , 中,对角线 与底面 所成角的正弦值为____________. ,且经过点 ,且经过点 ,则圆 的方程为______________.

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点晴:本题需要先找出线面角所成角的平面角,然后放在三角形中进行解决即可 15. 一牧羊人赶着一群羊通过 4 个关口,每过一个关口,守关人将拿走当时羊的一半,然后退还一只给牧 羊人,过完这些关口后,牧羊人只剩下 3 只羊,则牧羊人在过第 1 个关口前有_________只羊. 【答案】18 【解析】分析:根据题意,记此牧羊人通过第一个关口前、通过第二个关口前、?、通过第四个关口前剩 下的羊只数能组成数列{an}(n=1,2,3,4) ,则问题转化为求 a1; 结合题中信息可得 a2= a1+1,a3= a2+1,a4= a3+1,结合“过完这些关口后,只剩下 3 只羊”求出 a4,进而 求出 a1. 详解:记此牧羊人通过第一个关口前、通过第二个关口前、?、通过第四个关口前剩下的羊只数能组成数 列{an}(n=1,2,3,4) , 则由题意得 a2= a1+1,a3= a2+1,a4= a3+1, 而 a4+1=3, 解得 a4=4, 因此得 a1=18. 点晴:认真读题,根据牧羊人过关口剩下的羊的只数的特点可以建立数学模型,将问题转化为数列问题进 行解答;

【答案】

(1).

(2). 4 结合余弦定理可算出 的值,然后将 ,将切化弦即可解决问题

【解析】分析:由

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详解:

由余弦定理可得

,即

点晴:本题主要考察利用余弦定理解决问题,找出边的关系,在高中阶段,遇到切的问题需要利用同角三 角函数基本关系式转化为弦的问题 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 已知直线 (1)求实数 的值; (2)求两直线的交点坐标. 【答案】 (1) ; (2) 和 互相垂直.

【解析】分析: (1)利用两直线垂直的关系即可解决问题; (2)两直线联立即可 详解: (1)由 ,得

(2) 交点坐标为(-1,0) 点晴:在斜率存在的情况下,两直线平行,即斜率相等,还需注意截距不等;两直线垂直,即斜率之积为 -1 18. 中,内角 所对的边分别为 ,若

(1)求边 的值; (2)求 的值.
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【答案】 (1)2; (2)

详解: (1)由余弦定理得, 得

(2)由题可得

点晴:本题考察正弦定理,余弦定理,同角三角函数基本关系式,两角和与差的余弦函数,考察知识较多, 相对较综合。 19. 已知等差数列 (1)求数列 (2)设 中,公差 是 和 的等比中项.

的通项公式; 求数列 的前 项和 .

【答案】 (1)

; (2)

【解析】分析: (1)结合



是 和 的等比中项。算出 即可得出结论; (2)通过

(1)可知 bn=|11-n|,通过去绝对值符号可知当 n≤11 时 bn=11-n,当 n≥12 时 bn=n-11,进而计算可得结 论. 详解(1)由题意, , 从而 (2)由(1)知, ,得

①当

时,

,

- 11 -

②当

记数列

的前 项和为

,则

综上得,

点晴: (1)利用等差数列的通项公式即可得出结论; (2)对含绝对值问题,是高中数学数列中一个难点,需要进行分类讨论,结果写出一个分段数列即可 20. 某投资公司计划投资 系为 两种金融产品,根据市场调查与预测, 产品的利润 与投资金额 的函数关 (注:利润与投资金额单位:万元). 两

, 产品的利润 与投资金额 的函数关系为

(1)该公司现有 100 万元资金,并计划全部投入 种产品利润总和 表示为 的函数,并写出定义域;

两种产品中,其中 万元资金投入 产品,试把

(2)怎样分配这 100 万元资金,才能使公司的利润总和 获得最大?其最大利润总和为多少万元. 【答案】 (1) ; (2)28 万元

【解析】试题分析:1)其中 x 万元资金投入 A 产品,则剩余的 100-x(万元)资金投入 B 产品,根据 A 产 品的利润 与投资金额 x 的函数关系为 ,B 产品的利润 与投资金额 x 的函数关系为 ,

可得利润总和; (2)由函数解析式 f (x)=38- - 解最值

(x∈[0,100])的特点,可利用基本不等式求

试题解析: (1) 其中 x 万元资金投入 A 产品,则剩余的 100-x(万元)资金投入 B 产品, 利润总和 f (x)=18- =38- - +

(x∈[0,100]) ,x∈[0,100],

(2)∵f (x)=40- ∴由基本不等式得: 当且仅当

时,即 x=20 时等号成立

答:分别用 20 万元和 80 万元资金投资 A、B 两种金融产品,可以使公司获得最大利润, 最大利润为 28 万元.

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考点:1.函数模型的实际应用;2.均值不等式求最值 21. 如图,在四棱锥 中,侧面 . 为等边三角形且垂直于底面 ,

(1)证明: (2)若

平面 的面积为

; ,求四棱锥 的体积.

【答案】 (1)见解析; (2) 【解析】分析: (1)利用直线与平面平行的判定定理证明即可. (2)利用已知条件转化求解几何体的线段长,然后求解几何体的体积即可. 详解:(1) 又 平面 , 平面 , 平面



,从而

从而

四棱锥

的体积

点晴: (1)空间立体中的平行于垂直的判定定理需要大家熟记在心,另外在书写答案时注意扣分点; (2) 注意椎体和柱体求体积的区别 22. 已知圆 (1)求圆 的方程;
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与直线

相切.

(2)求直线 (3)过点 【答案】 (1)

截圆 所得弦

的长; ,求直线 的方程.

作两条直线与圆 相切,切点分别为 ; (2) ; (3)

【解析】分析: (1)设出圆的方程,由直线和圆相切的条件,求得半径,即可得到圆的方程; (2)求出圆心到直线的距离,运用直线和圆相交的弦长公式,即可得到; (3)判断出 C,M,N,G 四点共圆,求出圆的方程,再与圆 C 方程相减,即可得到相交弦方程. 详解:(1)由题意知,

所以圆

的方程为

(2)由题意,圆心到

的距离

,

(3)由题意知,

其方程为

又 即直线

在圆 的方程为

,两式相减得 .

点晴:本题主要考察直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,这块内容在解析几何中属于核心内容,学 生们需要关注几何方法和代数方法,几何方法需要转化,计算量相对较小,代数方法计算量较大。

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