河北省枣强中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学(文)试题


河北省枣强中学 2011-2012 学年高二下学期期中考试 数学(文)试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给

出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号

填入括内。)

1.点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) ,则点 P 的极坐标为(



A. (2, ? )
3

B. (2, 4? )
3

C. (2, ? ? ) D. (?2, ? 4? )

3

3

2.参数方程为

??x ?

?

t

?

1 t

(t为参数)

表示的曲线是(



?? y ? 2

A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线 D.两条射线

3 . 直 三 棱 柱 ABC — A1B1C1 中 , 若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? c , 则 A1B ? ()

A. a + b - c B. a - b + c C.- a + b + c D.- a + b - c 4.若命题“ ? p”与命题“p ? q”都是真命题,那么
()

A.命题 p 与命题 q 的真值相同

B.命题 q 一定是真命题

C.命题 q 不一定是真命题

D.命题 p 不一定是真命题

5 . 若 a 、 b 均 为 非 零 向 量 , 则 a?b ? a b 是 a 与 b 共 线 的

() A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

6. 设 M (?1,?1) , N (?2,?2 ) 两 点 的 极 坐 标 同 时 满 足 下 列 关 系 :

?1 ? ?2 ? 0,?1 ??2 ? 0 ,则 M,N 两点的位置关系是(



A.重合

B.关于极点对称

C.关于直线? ? ? 对称 D.关于极轴对称
2

7.与参数方程为

?? x ?

?

t

(t为参数) 等价的普通方程为(



?? y ? 2 1? t

A. x2 ? y2 ? 1
4

B. x2 ? y2 ? 1(0 ? x ? 1)
4

C. x2 ? y2 ? 1(0 ? y ? 2)
4

D. x2 ? y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2)
4

8 . 若 向 量 m垂直向量a和b,向量n ? ?a ? ?b(?, ? ? R且? 、 ? ? 0)则

()

A. m // n

B. m ? n

C. m不平行于n,m也不垂直于n

D.以上三种情况都可能

9.有下列命题:①2004 年 10 月 1 日是国庆节,又是中秋节;②10

的倍数一定是 5 的倍数;

③梯形不是矩形;④方程 x2 ? 1 的解 x ? ?1 。其中,复合命题有 ()

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

10 已 知 a ? 3i ? 2 j ? k,b ? i ? j ? 2k,则5a与3b的 数 量 积 等 于

()

A.-15

B.-5

C.-3

D.-1

11.直线

?x

? ?

y

? ?

?2 1?

? t

t

(t为参数)

被圆 (x

? 3)2

?(y

? 1)2

?

25 所截得

的弦长为( )

A. 98 B. 40 1 C. 82 D. 93 ? 4 3
4

12.有下列四个命题:

①“若 x+y=0 , 则 x ,y 互为相反数”的逆命题;

②“全等三角形的面积相等”的否命题;

③“若 q≤1 ,则 x2 + 2x+q=0 有实根”的逆否命题;

④ “不等边三角形的三个内角相等”逆命题;

其中真命题为

()

A.①②

B.②③

C.①③

D.③④

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)

13.设| m |=1,| n |=2, 2 m + n 与 m -3 n 垂直, a =4 m - n ,

b =7 m +2 n , 则< a , b >=



14.

曲线的参数方程是

? ? ?

x

?

1?

1 t

(t为参数,t ? 0)

,则它的普通方程为

?? y ? 1? t2

__________________。

15.已知各个命题 A、B、C、D,若 A 是 B 的充分不必要条件,C 是 B 的必要不充分条件,D 是 C 的充分必要条件,试问 D 是 A 的 条件(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要);

16.直线

?x

? ?

y

? ?

3 ? at ?1? 4t

(t为参数)

过定点_____________。

三、解答题(共 6 题)
17.(10 分)命题:已知 a、b 为实数,若 x2+ax+b≤0 有非空解集, 则 a2- 4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判 断这些命题的真假。

18.(12 分)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,如图E、F分别是 BB1 ,CD的中点,
(1)求证: D1F ? 平面 ADE; (2)cos EF ,CB1 .

19.(12 分)点 P 在椭圆 x2 ? y2 ? 1上,求点 P 到直线 3x ? 4y ? 24 的最大
16 9
距离和最小距离。 20.(12 分)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角? ? ? ,
6
(1)写出直线l 的参数方程。 (2)设 l 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之 积。 21.(12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD中,底面 ABCD 是正方形,侧 棱 PD ?底面 ABCD, PD ? DC ,E 是 PC 的中点,作 EF ? PB交 PB 于点 F.
(1)证明 PA∥平面 EDB ; (2)证明 PB ?平面 EFD; (3)求二面角 C - PB- D 的大小.
22.(12 分)已知方程 x2 ? (2k ?1)x ? k 2 ? 0 。求使方程有两个大于 1 的 实数根的充要条件。

2011—2012 年高二下学期期中测试

一、选择题

数学答案(文科)

二、填空题

13. 0°

14. y ? x(x ? 2) (x ? 1)
(x ?1)2

15. 必要不充分条件

16. (3, ?1)

三、解答题 17. 解:逆命题:已知 a、b 为实数,若 a 2 ? 4b ? 0,则x2 ? ax ? b ? 0 有非空解集.

否命题:已知 a、b 为实数,若 x2 ? ax ? b ? 0 没有非空解集,则 a2 ? 4b ? 0.

逆否命题:已知 a、b 为实数,若 a2 ? 4b ? 0.则 x2 ? ax ? b ? 0 没有非空解集。 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.

19.解:设 P(4cos?,3sin? ) ,则 d ? 12 cos? ?12sin? ? 24 5

12 2 cos(? ? ? ) ? 24

即d ?

4



5

当 cos(?

?

?) 4

?

?1 时,

dmax

?

12 5

(2 ?

2) ;

当 cos(?

?

? )
4

? 1 时, dmin

?

12 5

(2 ?

2) 。

21.(14 分)解:如图所示建立空间直角坐标系,
D 为坐标原点.设 DC ? a.

z P
F E

D G

C

y

A

B

x
(1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G.连结 EG.

依题意得 A(a, 0, 0), P(0, 0, a), E(0, a , a) 22
底面 ABCD 是正方形, ?G 是此正方形的中心,

故点

G

的坐标为

(

a 2

,

a 2

,

0)



PA

?

(a,

0,

?a),

EG

?

(

a 2

,

0,

?

a ). 2

? PA ? 2EG . 这表明 PA∥EG .

而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,?PA∥平面 EDB。

(2) 证 明 : 依 题 意 得 B(a, a, 0), PB ? (a, a, ?a) 。 又 DE ? ( 0a , a , 故 ) , 22

a2 a2 PB? DE ? 0 ? ? ? 0
22
?PB ? DE , 由已知 EF ? PB ,且 EF DE ? E, 所以 PB ? 平面 EFD.

(3)解:设点 F 的坐标为 (x0, y0, z0), PF ? ?PB, 则 (x0, y0, z0 ? a) ? ?(a, a, ?a)

从而

x0

?

?a,

y0

?

?a,

z0

?

(1? ?)a. 所以 FE

?

(?

x0

,

a 2

?

y0

,

a 2

?

z0

)

?

(??a,

(

1 2

? ?)a, (?

?

1 )a). 2

由条件 EF ? PB 知, PE ? PB ? 0 即 ??a2 ? (1 ? ?)a2 ? (? ? 1)a2 ? 0,

2

2

解得 ? ? 1 。 3

?点 F 的坐标为 (a , a , 2a), 且 FE ? (? a , a , ? a), FD ? (? a , ? a , ? 2a).

33 3

36 6

33 3

PB ? FD ? ? a2 ? a 2 ? 2a2 ? 0 ,即 PB ? FD ,故 ?EFD是二面角 C ? PB ? D 的平面角.
33 3



a2 a2 a2 a2 PE ? FD ? ? ? ?



9 18 9 6

a2 a2 a2

6

a 2 a 2 4a 2

6

PE ? ? ? ? a, FD ? ? ? ? a

9 36 36 6

99 9 3

a2

?cos EFD ? FE.FD ? | FE || FD |

6 6 a.

6

a

?

1 .??EFD 2

?

? 3

,所以,二面角

C—PC—D

的大小

63

为? . 3


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