[精品]2019高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课后训练新人教B版选修2-2


2.2.2 反证法

精品试卷

课后训练

1.命题“关于 x 的方程 ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( ). A.无解 B.有两个解 C.至少有两个解 D.无解或至少有两个解 2.否定“至多有两个解”的说法中,正确的是( ). A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解
3.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 3 a ? 3 b ”时,假设的内容应是( ).

A. 3 a ? 3 b

B. 3 a ? 3 b

C. 3 a ? 3 b ,且 3 a ? 3 b

D. 3 a ? 3 b ,或 3 a < 3 b

4.设 a,b,c 为正实数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R 同时大于零”的

( ).

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

5.有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y,或 x<y”;③“三角形的外心

在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的

内角中没有钝角”,其中正确的叙述有( ).

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

6.用反证法证明“已知 p3+q3=2,求证:p+q≤2”时的假设为________,得出的矛盾为________.

7.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R.

(1)若 a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);

(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论.

8.已知数列{an}满足:a1

?

1 2

,3?1? an?1 ? 1? an

?

2?1? an ? 1 ? an?1

,anan+1<0(n≥1);数列{bn}满足:bn=

an

2 ?1

?

an 2

(n≥1).

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.

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精品试卷

参考答案 1. 答案:D “唯一”的意思是“有且只有一个”,其反面是“没有”或“至少有两个”. 2. 答案:C “至多有两个”包括“0 个,1 个,2 个”,其否定应为“至少有三个”.
3. 答案:D 3 a 与 3 b 包括 3 a > 3 b , 3 a = 3 b , 3 a < 3 b 三个方面的关系,所以 3 a > 3 b 的反面应为

3 a = 3 b ,或 3 a < 3 b .

4. 答案:C 5. 答案:B ①错,应为 a≤b;②对;③错,应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上;④错,应为三角 形的内角中有 2 个或 3 个钝角. 6. 答案:p+q>2 (q-1)2<0 假设 p+q>2,则 p>2-q, ∴p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3. 将 p3+q3=2 代入,得 6q2-12q+6<0, ∴(q-1)2<0.这是错误的.∴p+q≤2. 7. 答案:分析:(1)充分利用已知条件中函数的单调性并结合不等式的性质推证,用综合法证明. (2)写出逆命题后,看一看能不能直接证,若不能,则可考虑用反证法. 证明:(1)∵a+b≥0,∴a≥-b. 由已知 f(x)的单调性,得 f(a)≥f(-b). 又 a+b≥0 b≥-a f(b)≥f(-a). 两式相加,得 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). (2)逆命题:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) a+b≥0. 下面用反证法证之. 假设 a+b<0,那么

a ? b ? 0 ? a ? ?b ? f ?a? ? f ??b?? a ? b ? 0 ? b ? ?a ? f ?b? ? f ??a???

f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).

这与已知矛盾,故有 a+b≥0.逆命题得证.

8.

答案:解:(1)由题意可知,

1

?

a2 n?1

?

2 3

(1

?

an

2

)

,令

cn

=1

?

an2

,则

cn?1

?

2 3

cn

,又

c1

=1

?

a12

?

3 ,则 4

数列{cn}是首项为 c1

?

3 4

,公比为

2 3

的等比数列,即

cn

?

3 4

?

? ??

2 3

?n?1 ??

,故1

?

an2

?

3 4

?

? ??

2 3

?n?1 ??

,∴ an2

?1?

3 4

?

? ??

2 3

?n?1 ??

.

又 a1= 1 >0,anan+1<0, 2

故 an=(-1)n-1

1?

3 4

?

? ??

2 3

n?1
? ??



bn=

a2 n?1

?

an 2



? ?1 ? ??

3 4

?

? ??

2 3

n
? ??

? ? ??



? ?1 ? ??

3 4

?

? ??

2 3

n ?1
? ??

? ? ??



1 4

?

? ??

2 3

n?1
? ??

.

(2)用反证法证明.

假设数列{bn}中存在三项 br,bs,bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是首项为 1 ,公比为 2 的

4

3

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等比数列,于是有

br>bs>bt,则只可能有

2bs=br+bt

成立.∴

2

?

1 4

?

? ??

2 3

s?1
? ??

?

1? 4 ??

2 3

r
? ? ?

?1

?

1 4

? ??

2 3

t
? ? ?

?1

,两边同乘以

3 2 t-1 1-r 化简,得 3t-r+2t-r=2·2s-r3t-s,由于 r<s<t,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,

导致矛盾,假设不成立,故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.

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