2014年高考数学应用题的解法


2014 年高考数学应用题的解法
数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 高考中一般命制一道解答题. 由于这类题目文字叙 述长,数学背景陌生,涉及面又广,对相当一部分学生来讲,连题目都不“敢”去看了,心理失衡,导致 在阅读和理解方面存在着一定困难. 解答这类问题的要害是消除心理和语言障碍,深刻理解题意,做好文字语言向数学的符号语言的翻译 转化, 自信,冷静地去读完题目,保持冷静,认真对待,不能随意放弃.读题是翻译的基础,读题时要抓住 题目中的关键字、词、句,弄清题中的已知事项,初步了解题目中讲的是什么事情,要求的结果是什么。 在读题的基础上,要能复述题目中的要点,深思题意,很多情况下,可将应用题翻译成图表形式,形象鲜 明地表现出题中各数量之间的关系,将文字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言,这个过程其实就 是建模。函数,数列,不等式、三角,立几,解几等模型(排列组合、概率)是较为常见的模型。 一般来说,可采用下列策略建立数学模型: (1)双向推理列式,利用已知条件顺向推理,运用所求结果进行逆向搜索; (2)借助常用模型直接列式,平均增长率的问题可建立指、对数或方程模型,行程、工程、浓度问题 可以建立方程(组)或不等式模型,拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次模型,测量问题可建立解 三角形模型;计数问题可建立排列组合问题;机会大小问题可建立概率模型,优化问题可建立线性规划模 型??

一、 建构函数模型的应用性问题
解答函数型应用题,一般先从建立函数的解析表达式入手,通过研究函数的性质获得解答.因此,这 类问题的难点一般有两个:一是解析式的建立,二是数学知识的灵活应用. 例 1、某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店,借出 20 万元将该商店改建成经 营状况良好的某种消费品专卖店,并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息). 已知该种消费品的进价为每件 40 元;该店每月销售量 q(百件)与销售价 p(元/件)之间的关系用 右图中的一条折线(实线)表示;职工每人每月工资为 600 元,该店应交付的其它费用为每月 13200 元. (Ⅰ)若当销售价 p 为 52 元/件时,该店正好收支平衡,求该店的职工人数; (Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则该店最早可在几年后还清所有债务,此时每件消费品的价格定为 多少元? 讲解 本题题目的篇幅较长,所给条件零散杂乱,为此,不仅需要划分段落层次,弄清每一层次独立 的含义和相互间的关系,更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词——“收支平衡” 、 “还清 所有债务” ,不难想到,均与“利润”相关. 从阅读和以上分析,可以达成我们对题目的整体理解,明确这是一道函数型应用题.为此,首先应该 建立利润与职工人数、月销售量 q、单位商品的销售价 p 之间的关系,然后,通过研究解析式,来对问题 作出解答. 由于销售量和各种支出均以月为单位计量,所以,先考虑月利润. (Ⅰ)设该店的月利润为 S 元,有职工 m 名.则
60 q

S ? q ? p ? 40? ?100 ? 600m ?13200 .
? ??2 p ? 140, 又由图可知: q ? ? ? ?? p ? 82
所以,

24 1 40 58 81 p

? 40 ? p ? 58? . ? 58 ? p ? 81?
? 40 ? p ? 58 ? ?58<p ? 81?

? ?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200 S ?? ? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 600m ? 13200

由已知,当

p ? 52 时, S ? 0 ,即

1

4/29/2014

? ?2 p ?140?? p ? 40? ?100 ? 600m ?13200 ? 0 解得 m ? 50 .即此时该店有 50 名职工.
(Ⅱ)若该店只安排 40 名职工,则月利润
? ?? ?2 p ? 140 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200 S ?? ? ?? ? p ? 82 ?? p ? 40 ? ?100 ? 37200

? 40 ? p ? 58? ? 58<p ? 81?

当 40 ? 当 58 ?

p ? 58 时,求得 p ? 55 时,S 取最大值 7800 元. p ? 81 时,求得 p ? 61时,S 取最大值 6900 元. p ? 55 时,S 有最大值 7800 元.

综上,当

设该店最早可在 n 年后还清债务,依题意,有 12n ? 7800 ? 268000 ? 200000 ? 0 . 解得 n

? 5.

所以,该店最早可在 5 年后还清债务,此时消费品的单价定为 55 元. 点评 求解数学应用题必须突破三关: (1)阅读理解关:一般数学应用题的文字阅读量都比较大,要通过阅读审题,找出关键词、句,理解 其意义. (2)建模关:即建立实际问题的数学模型,将其转化为数学问题. (3)数理关:运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.

练习 1. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元, 每生产 1 千件需另投入 2.7 万元. 设 该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)万元,且

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千年时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大? (注:年利润=年销售收入﹣年总成本) 考点: 分段函数的应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 分类讨论. 分析: (1)由年利润 W=年产量 x×每千件的销售收入为 R(x)﹣成本,又由

,且年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件

需另投入 2.7 万元.我们易得年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)由(1)的解析式,我们求出各段上的最大值,即利润的最大值,然后根据分段 函数的最大值是各段上最大值的最大者,即可得到结果. 解答: 解: (1)当 当 x>10 时,W=xR(x)﹣(10+2.7x)=98﹣ ﹣2.7x. ;

2

4/29/2014

∴ W=

(2)① 当 0<x<10 时,由 W'=8.1﹣

=0,得 x=9,

且当 x∈(0,9)时,W'>0;当 x∈(9,10)时,W'<0, ∴ 当 x=9 时,W 取最大值,且 ② 当 x>10 时, 当且仅当 ,即 x= 时,W=38,故当 x= 时,W 取最大值 38.

综合① ② 知当 x=9 时,W 取最大值 38.6 万元,故当年产量为 9 千件时,该公司在这一 品牌服装的生产中所获年利润最大. 点评: 本题考查的知识点是分段函数及函数的最值,分段函数分段处理,这是研究分段函数 图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取 值范围的并集, 分段函数的奇偶性、 单调性要在各段上分别论证; 分段函数的最大值, 是各段上最大值中的最大者. 8. 某公司是专门生产健身产品的企业,第一批产品 A 上市销售 40 天内全部售完,该公司 对第一批产品 A 上市后的市场销售进行调研,结果如图(1)、(2)所示.其中图(1)的抛物 线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系;图(2)的折线表示的是每件产品 A 的销 售利润与上市时间的关系.

(1)写出市场的日销售量 f(t)与第一批产品 A 上市时间 t 的关系式; (2)第一批产品 A 上市后的第几天,这家公司日销售利润最大,最大利润是多少? 解 3 3 3 (1)设 f(t)=a(t-20)2+60, 由 f(0)=0 可知 a=- 即 f(t)=- (t-20)2+60=- t2 20 20 20

+6t (0<t≤40,t∈N);

? ?2t? ?-20t +6t? ?0<t<30? (2)设销售利润为 g(t)万元,则 g(t)=? 3 ? ?60? ?-20t +6t? ?30≤t≤40?
2 2

3



当 30≤t≤40 时,g(t)单调递减; 80? 9 ?80 ? 当 0<t<30 时,g′(t)=- t2+24t,易知 g(t)在? ?0, 3 ?单调递增,? 3 ,30?单调递减, 10
3 4/29/2014

而 t∈N,故比较 g(26),g(27),经计算,g(26)=2 839.2<g(27)=2 843.1,故第一批产品 A 上市后的第 27 天这家公司日销售利润最大,最大利润是 2 843.1 万元.

二、三角函数模型 例 2、如图,两座建筑物 AB, CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的 高度分别是 9 cm 和 15 cm ,从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的视角 ?CAD ? 45? . (1) 求 BC 的长度; (2) 在线段 BC 上取一点 P ( 点 P 与点 B , C 不重合) ,从点 P 看这两座建筑物的视角分别为 ?APB ? ? , ?DPC ? ? , 问点 P 在何处时, ? ? ? 最小?

D A
⑴作 AE ? CD ,垂足为 E ,则 CE ? 9 , DE ? 6 ,设 BC ? x , 则 tan ?CAD ? tan(?CAE + ?DAE) ?

tan ?CAE + tan ?DAE 1 ? tan ?CAE ? tan ?DAE

?
B P

?
第 17 题图

C

9 6 + ? x x ? 1, 9 6 1? ? x x
化简得 x 2 ? 15 x ? 54 ? 0 ,解之得, x ? 18 或 x ? ?3 (舍) 答: BC 的长度为 18m .???????????????6 分 ⑵设 BP ? t ,则 CP ? 18 ? t (0 ? t ? 18) ,

9 15 + 162 + 6t 6(27 + t ) tan(? + ? ) ? t 18 ? t ? 2 ? 2 .?????????8 分 9 15 ?t + 18t ? 135 ?t + 18t ? 135 1? ? t 18 ? t
设 f (t ) ?

t 2 + 54t ? 27 ? 23 27 + t ? f ( t ) ? , ,令 f ?(t ) ? 0 , (t 2 ? 18t + 135) 2 ?t 2 + 18t ? 135

因为 0 ? t ? 18 ,得 t ? 15 6 ? 27 ,当 t ? (0,15 6 ? 27) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是减函数; 当 t ? (15 6 ? 27,18) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 是增函数, 所以,当 t ? 15 6 ? 27 时, f (t ) 取得最小值,即 tan(? + ? ) 取得最小值,???12 分 因为 ?t 2 + 18t ? 135 ? 0 恒成立,所以 f (t ) ? 0 ,所以 tan(? + ? ) ? 0 , ? + ? ? ( , ?) , 因为 y ? tan x 在 ( , ?) 上是增函数,所以当 t ? 15 6 ? 27 时, ? + ? 取得最小值. 答:当 BP 为 (15 6 ? 27)m 时, ? + ? 取得最小值. ???????????14 分

? 2

? 2

4

4/29/2014

练习 2、某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC,∠C=90° ,AB=2 百米,BC=1 百米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F,如图(1), 使得 EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF 喂食,求△DEF 面积 S△DEF 的最大值; (2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2),建 造△DEF 连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,设求△DEF 边长 的最小值.

答案:

5

4/29/2014

练习 3.某仓库为了保持库内的湿度和温度, 四周墙上均装有如图所示的自动通风设施. 该设 施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米, BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不 通风) ,MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方)表示 成关于 x 的函数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值. (1)① 如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动,即 0<x≤1 时,
1 △ EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; 2
A E (第 3 题) B D M N C G

② 如图 2 所示, 当 MN 在三角形区域滑动, 即 1<x< 1 ? 3 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵E 为 AB 中点, ∴F 为 CD 中点,GF⊥ CD,且 FG= 3 . 又∵MN∥ CD,∴△ MNG∽△ DCG. ∴ MN ? GH ,即 MN ? 2[ 3 ? 1 ? x] . DC GF 3 故△ EMN 的面积 S= 1 ? 2[ 3 ? 1 ? x] ? x = ? 3 x 2 ? (1 ? 3 ) x ; 3 3 2 3
D M A

G

C N E G B

图1
N C

综合可得:

? x, ? 0<x ≤1? ? S ?? 3 2 ? 3? 1? 3 ?? 3 x ? ? ?1 ? 3 ? ? x. 1<x< ? ? ?

M

H F

?

?

D

(2)① 当 MN 在矩形区域滑动时, S ? x ,所以有 0 ? S ? 1 ; ② 当 MN 在三角形区域滑动时,S= ?

A

E

B

3 2 3 x ? (1 ? )x . 3 3

图2

1 3 ? 1? 3 3 (平方米). 因而,当 x ? (米)时,S 得到最大值,最大值 S= 2 2 1 3 1 3 平方米. ∵ ? ? 1 ,∴S 有最大值,最大值为 ? 2 3 2 3
练习 4. 如图,某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距

?

6 ? 2 海里的 M,N 两点,

?

他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔 AB,设塔底延长线与海平面交于点 O.已知点 M 在点 O 的正东方向,点 N 在点 O 的南偏西 15 ? 方向,ON ? 2 2 海里,在 M 处测得 塔底 B 和塔顶 A 的仰角分别为 30 ? 和 60 ? .
6 4/29/2014

(1)求信号塔 AB 的高度; (2)乙船试图在线段 ON 上选取一点 P ,使得在点 P 处观测信号塔 AB 的视角最大,请判 断这样的点 P 是否存在,若存在,求出最大视角及 OP 的长;若不存在,说明理由.

A

B
O
N
第 3 题图

M

7

4/29/2014


相关文档

高考数学应用题的解法
高考数学应用题的解法(学生版)
2010届高考数学应用题的解法
2010年高考数学应用题题型解法
高考数学应用题的解法(续)
2014年高考数学解排列组合应用题的15种策略(一)
高考数学4应用题的解法50
高考数学应用题的解法_2
高考数学应用题的解法_3
高考数学应用题解法教学的探索
电脑版
?/a>