2013届g广东高要二中高三文科数学综合测试8


2013 届高要二中文科数学综合测试(8)
第一部分选择题(共 50 分)

2013-4-13

本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟。

一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题 4 个选项中,只有一项是符合题目要求 的)

1. 设集合 P ? ?3, log2 a?, Q ? ?a, b?,若 P ? Q ? ?0? ,则 P ? Q ? A.{3,0} 2. 复数 ? i ? A. ? 2i
1? i ? 1? i

B.{3,0,2}

C.{3,0,1}

D.{3,0,1,2}

B.

1 i 2

C. 0

D. 2i

3.不等式 2x ? 5 ? 7 成立的一个必要不充分条件是 A. x ? 1 B. x ? ?6 C. x ? 1 或 x ? ?6 D. x ? 0

4. 在正项等比数列 ?an ? 中, 1 和 a19 为方程 x 2 ? 10x ? 16 ? 0 的两根, a8 a10 a12 ? 则 a A.16 B. 32 C. 64 D. 256

5.若平面 ? , ? 满足 ? ? ? ,? ? ? ? l , P ? ? , P ? l ,则下列命题中是假命题的 为 A.过点 P 垂直于平面 ? 的直线平行于平面 ? B.过点 P 在平面 ? 内作垂直于 l 的直线必垂直于平面 ? C.过点 P 垂直于平面 ? 的直线在平面 ? 内 D.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 ? 内 6.已知 f ( x) ? log2 x ,函数 y ? g (x) 是它的反函数,则函数 y ? g (1 ? x) 的大致 图像是

7.直线 x ? (a2 ? 1) y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是(
A. [0,


D. ?

?
4

]

B. ?

? 3? ? ,? ? ? 4 ?

C. [0,

?

] ? ( ,? ) 4 2

?

? ? ? ? ? 3? ? , ? ? ? ,? ? ?4 2? ? 4 ?

8.若函数 y ? f ( x) ? cos x 在 [? A. 1

? 3?
4 , 4

] 上单调递减,则 f (x) 可以是

B. cos x

C. ? sin x

D. sin x

9.已知椭圆的方程为 2x 2 ? 3 y 2 ? m(m ? 0) ,则此椭圆的离心率为 A.
1 3

B.

3 3

C.

2 2

D.

1 2

10.已知函数 f ( x) ? ex ?1, g ( x) ? ? x2 ? 4x ? 3 ,若有 f (a) ? g (b) 且 a ? 0 ,则 b 的 取值范围为( ) B. (2 ? 2 ,1) C. [1,3] D. (1,3)

A. (2 ? 2, 2 ? 2)

第二部分非选择题(100 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 开始

(一)必做题(11~13 题) : 11.已知 e1 ,e 2 是夹角为 600 的两个单位向量, 且向 量 a ? e1 ? 2e2 ,则 a ? _*****_. 12.执行由图中的算法后,若输出的 y 值大于 10, 则输入 x 的取值范围是_*****_. 13.在 ?ABC 中,若 A ? 600 , B ? 750 , c ? 6 ,则
是 y = x+13 输入 x 否 x<1 y = x+8

输出 y 结束

a ? _*****_.
(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一 题,两题都选的只计算 14 题的得分.)

14. (坐标系与参数方程)在极坐标中,圆? =4cos? 的圆心 C 到直线 ? sin(? +4 )=2 2 的距离为_*****_. 15. (几何证明选讲)如图所示,⊙O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=4,BD=8,则⊙O 的半径等于_*****_.

?

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本题满分 12 分)

? 3? 已知 A 、 B 、 C 的坐标分别为 A(3,0) , B(0,3) , C (cos? , sin ? ) , ? ? ( , ) . 2 2
(Ⅰ)若 OC // AB , O 为坐标原点,求角 ? 的值;

1 ? 2 sin(2? ? ) 4 的值. (Ⅱ)若 AC ? BC ,求 1 ? tan?
17.(本小题满分 13 分) 一般来 说,一个人 脚掌越长, 脚掌长(x) 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 身高(y) 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203

?

他的身高就越高.现对 10 名成年人的脚掌长 x 与身高 y 进行测量,得到数据(单 位均为 cm )作为一个样本如上表示. (1)在上表数据中,以“脚掌长”为横坐标, “身高”为纵坐标,作出散点 图后,发现散点在一条直线附近,试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方 程 y ? bx ? a ; (2)若某人的脚掌长为 26.5cm ,试估计此人的身高; (3) 在样本中, 从身高 180cm 以上的 4 人中随机抽取 2 人作进一步的分析, 求所抽取的 2 人中至少有 1 人身高在 190cm 以上的概率.
?

b?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1

2

i

? nx

2

, a ? y ? bx . b 是回归方程得斜率, a 是截距.

(参考数据: ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? 577.5 , ? ( xi ? x) 2 ? 82.5 )
i ?1 i ?1

10

10

18.(本题满分 13 分) 如图,在三棱锥 V ? ABC 中,VC ⊥ 底面 ABC ,
AC ⊥ BC , D 是 AB 的中点,且 AC ? BC ? a ,

V

?VDC ? 450 .

(Ⅰ)求证:平面 VAB ⊥ 平面 VCD ; (Ⅱ)求异面直线 VD 和 BC 所成角的余弦.
A

C D

B

19. (本小题满分 14 分)
???? ???? ? ??? ? 已知点 M ( 4 , 0) 、 N (1, 0) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | NP | .

(1)求动点 P 的轨迹 C ; (2)在曲线 C 上是否存在点 Q ,使得 ?MNQ 的面积 S ?MNQ ? 的坐标,若不存在,说明理由.
3 ?若存在,求点 Q 2

20. (本题满分 14 分)
n2 1 5 ,若 a1 ? , a2 ? . 2 6 an ? b (1)求数列 { an } 的前 n 项和 Sn ; (2)求数列 { an } 的通项公式; a (3)设 bn ? 2 n ,求数列 { bn } 的前 n 项和 Tn . n ? n ?1

数列 { an } 的前 n 项和 Sn ?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ,g ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx , 函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处 的切线平行于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系; (2)若 a ? 0 ,试讨论函数 g ( x) 的单调性; (3)设斜率为 k 的直线与函数 f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 1 1 ( x1 ? x2 )证明: ? k ? . x2 x1

1 ? 2ax ? b x 由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 ∴ b ? ?2a ? 1 -------------------------------------------------------------------------3 分 2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) (2)由(1)得 g '( x) ? ----------------------4 分 ? x x ∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) x ?1 ∴当 a ? 0 时, g '( x) ? ? x 由 g '( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 , 即函数 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 单调递减;-------------------------------------5 分 1 当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? , 2a 1 1 1 1 若 即 由 , g '( x) ? 0 得 由 ? 1 , a ? 时, g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 0 ? x ? ? x ?1, 2a 2 2a 2a 1 1 即函数 g ( x) 在 (0, ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;-----------------6 分 2a 2a 1 1 1 1 若 即 由 或 0 ? x ? 1 , g '( x) ? 0 得 1 ? x ? 由 , ? 1 , 0 ? a ? 时, g '( x) ? 0 得 x ? 2a 2 2a 2a 1 1 即函数 g ( x) 在 (0,1) , ( , ??) 上单调递增,在 (1, ) 单调递减;------------7 分 2a 2a 1 1 若 ? 1 ,即 a ? 时,在 (0, ??) 上恒有 g '( x) ? 0 , 2a 2 即函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,------------------------------------------------------------8 分 综上得:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 单调递减; 1 1 1 当 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, ) 单调递减;在 ( , ??) 上单 2 2a 2a
21.解: (1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? bx ,则 g '( x) ?
2

调递增;

1 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 2 1 1 1 当 a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增, ( 在 ,1) 单调递减;在 (1, ??) 上单调递增. 2 2a 2a
当a ? -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 分 (3)证法一:依题意得 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1 1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 证 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x ? x1 x x ?x 因 x2 ? x1 ? 0 ,即证 2 ? ln 2 ? 2 1 ---------------------------------------------10 分 x2 x1 x1 x 1 令 2 ? t ( t ? 1) ,即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 )--------------------------------------11 分 t x1 1 1 1 t ?1 令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 )则 h '(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 t t t t ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增,

∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 )--------------②-----------------------13 分 综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ,即 【证法二: 依题意得 k ?

1 t

1 t

1 1 ? k ? .-----------------------------------14 分 x2 x1

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 -------------10 分 ? ? ln x2 ? kx2 ? ln x1 ? kx1 , x2 ? x1 x2 ? x1 1 令 h( x) ? ln x ? kx, 则 h?( x) ? ? k , -------------11 分 x 1 1 1 由 h?( x) ? 0 得 x ? ,当 x ? 时, h?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 时, h?( x) ? 0 ,-----------12 分 k k k
1 1 ? h( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减,又 h( x1 ) ? h( x2 ), -------------13 分 k k 1 1 1 ? x1 ? ? x2 , 即 ? k ? --------------------------------------------------------------------14 分】 k x2 x1 x 1 1 【证法三:令 h( x) ? ln x ? , 则 h?( x) ? ? , -------------10 分 x1 x x1 当 x ? x1 时, h?( x) ? 0, ∴函数 h( x) 在 ( x1 , ??) 单调递减,-------------11 分

x2 ln x2 ? ln x1 1 ? ln x1 ? 1 ,即 ? ;--------12 分 x1 x2 ? x1 x1 x 1 ln x2 ? ln x1 同理,令 m( x) ? ln x ? , 可证得 -----------------------------------------14 分】 ? x2 x2 x2 ? x1 y ? y1 ln x2 ? ln x1 1 1 【证法四:依题意得 k ? 2 , ? ?k? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 x1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? ? ? ? x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 ? x2 ln x2 ? x2 ln x1 -------------10 分 x2 x2 ? x1 x1
∴当 x2 ? x1 时,h( x2 ) ? h( x1 ) ? ln x2 ? 令 h( x) ? x ? x1 ln x ? x1 ln x1 ? x1 , 则 h?( x) ? 1 ?

当 x ? x1 时, h?( x) ? 0, ∴函数 h( x) 在 ( x1 , ??) 单调递增, ∴当 x2 ? x1 时, h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ,即 x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 -------------------------12 分 令 m( x) ? x ? x2 ln x ? x2 ln x2 ? x2 , 则 m?( x) ? 1 ?

x1 , x

当 x ? x2 时, m?( x) ? 0, ∴函数 m( x) 在 (0, x2 ) 单调递减, ∴当 x1 ? x2 时, m( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 ,即 x2 ? x1 ? x2 ln x2 ? x2 ln x1 ; 所以命题得证---------------------------------------------------------------------------------------------14 分】

x2 , x

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