2018版高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例(一)课件 新人教B版必修5_图文


第一章 解三角形
§1.2 应用举例(一)

学习目标
1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量 问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.

内容索引

问题导学 题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一 常用角
思考
试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图. 答案

梳理
在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语,请查阅资料后填空: (1)方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于__9_0_度的角. (2)仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标 视 线 在 水 平 线 _上__方__ 时 叫 仰 角 , 目 标 视 线 在 水 平 线 _下__方__ 时 叫 俯 角.(如下图所示)

(3)张角 由C点看AB的张角指的是角_A_C__B__.

知识点二 测量方案
思考1
如图是北京故宫的角楼,设线段AB表示角楼的高度,在宫墙外 护城河畔的马路边,选位置C,设CC′为测量仪器的高,过点 C′的水平面与AB相交于点B′,由测点C′对角楼进行测量, 你认为通过测量的数据能求出角楼的高度吗? 答案
可测得点A的仰角α的大 小.在△AB′C′中,三 条边的长度都无法测出, 因而AB′无法求得.

思考2
如图,如果移动测量仪CC′到DD′(测量仪高度不变),想想看, 我们能测得哪些数据,使问题得以解决? 答案
如图所示,在点B′,C′,D′构成的三 角形中,可以测得∠β和∠γ的大小,又可 测 得 C′D′ 的 长 , 这 样 , 我 们 就 可 以 根 据 正 弦 定 理 求 出 边 B′C′ 的 长 , 从 而 在 Rt△AB′C′中,求出AB′的长.使问题 得到解决.

梳理
测量某个量的方法有很多,但是在实际背景下,有些方法可能没法实 施,比如直接测量某楼高.这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地 达到目的.设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量, 并尽可能提高精确度.一般来说,基线越长,精确度越高.

题型探究

类型一 测量两个不能到达点之间的距离问题

例1 如图,为测量河对岸A、B两点的距离,在河的这边测出CD的长



3 2

km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求

A、B两点间的距离. 解答

反思与感悟
测量两个不可到达的点之间的距离,一般是把求距离问题转化为应 用余弦定理求三角形的边长问题,然后把求未知的另外边长问题转 化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,运用正弦定理解决.

跟踪训练1 要测量河对岸两地A、B之间的距离,在岸边选取相距 100 3 米的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC =30°,∠ADB=45°(A、B、C、D在同一平面内),求A、B两地的 距离. 解答

类型二 求高度

命题角度1 测量仰角(俯角)求高度 例2 如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两 地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于

A.10 m

B.5 3 m

C.5( 3-1) m

D.5( 3+1) m

答案 解析

反思与感悟
利用正弦、余弦定理来解决实际问题时,要从所给的实际背景中, 进行加工、提炼,抓住本质,抽象出数学模型,使之转化为解三 角形问题.

跟踪训练2 江岸边有一炮台C高30 m,江中有两 条船B,A,船与炮台底部D在同一直线上,由炮台 顶部测得俯角分别为45°和30°,则两条船相距 __3_0_ m. 答案 解析
在△ABC中,由题意可知 AC=sin3030°=60(m), BC=sin3045°=30 2(m),∠ACB=15°, AB2=(30 2)2+602-2×30 2×60×cos 15°=1 800(2- 3),
所以 AB=30( 3-1)m.

命题角度2 测量方位角求高度 例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测 得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处, 测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD =_1_0_0___6__m. 答案 解析

反思与感悟
此类问题特点:底部不可到达,且涉及与地面垂直的平面,观测者 两次观测点所在直线不经过“目标物”,解决办法是把目标高度转 化为地平面内某量,从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.

跟踪训练3 如图,为测得河对岸塔AB的高,先 在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上, 测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15° 方向走10 m到位置D,测得∠BDC=45°,则 塔AB的高是 答案 解析 A.10 m B.10 2 m C.10 3 m D.10 6 m

当堂训练

1.如图,在河岸AC上测量河的宽度BC,测量下

列四组数据,较适宜的是 答案 解析

A.a,c,α C.c,a,β

B.b,c,α
√D.b,α,γ

由α、γ可求出β,由α、β、b,可利用正弦定理求出BC.故选D.

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2.如图,某人向正东方向走了x千米,然后向右转120°,再朝新方向 走了3千米,结果他离出发点恰好 13 千米,那么x的值是__4_. 答案
解析

由余弦定理得x2+9-3x=13, 整理得x2-3x-4=0,解得x=4.

1234

3.甲、乙两楼相距20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶 40
望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是_2_0___3_m,__3___3_m.
答案 解析
甲楼的高为 20tan 60°=20× 3=20 3(m); 乙楼的高为 20 3-20tan 30°=20 3-20× 33=403 3(m).
1234

4.如图所示,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在A所在 的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB =105°,则A、B两点的距离为_5_0___2_m. 答案 解析

由题意知∠ABC=30°,由正弦定理,

得sin∠ACABC=sin∠ABACB,

∴AB=ACsi·ns∠in∠ABACCB=50×1

2 2 =50

2(m).

2

1234

规律与方法
1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距 离”,而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余 弦定理.测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两 个不可到达点间的距离”的基础,这两类测量距离的题型间既有联系 又有区别.

2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模:根据已 知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中, 建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解:利用正弦定理或余弦定理 有序地解出三角形,求得数学模型的解;(4)检验:检验上述所求的解 是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.

本课结束


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