浙江省2016届高三数学专题复习 专题二 三角函数与平面向量真题体验 理


专题二

三角函数与平面向量
真题体验·引领卷

一、选择题 1.(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( A.- 3 2 B. D. 3 2 1 2 ) )

1 C.- 2

2.(2014·全国卷Ⅰ)若 tan α >0,则( A.sin α >0 C.sin 2α >0

B.cos α >0 D.cos 2α >0
→ →

3.(2015·全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则(
→ 1→ 4→ A.AD=- AB+ AC 3 3 → 1→ 4→ B.AD= AB- AC 3 3 → 4→ 1→ C.AD= AB+ AC 3 3 → 4→ 1→ D.AD= AB- AC 3 3

)

4.(2014·江西高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 3a=2b,则 2sin B-sin A 的值为( 2 sin A 1 A.- 9 C.1
2 2

) B. D. 1 3 7 2

5.(2014·四川高考)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角 等于 c 与 b 的夹角,则 m=( A.-2 C.1 ) B.-1 D.2

6. (2015·全国卷Ⅰ)函数 f(x)=cos(ω x+φ )的部分图象如图所示, 则 f(x)的单调递减区 间为( )

1

1 3? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 1 3? ? B.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 3? ? 1 C.?k- ,k+ ?,k∈Z 4? ? 4 1 3? ? D.?2k- ,2k+ ?,k∈Z 4 4? ? 二、填空题 7.(2015·天津高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面 1 积为 3 15,b-c=2,cos A=- ,则 a 的值为________. 4 8.(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值 范围是________.

1 9.(2015·浙江高考)已知 e1,e2 是空间单位向量,e1·e2= ,若空间向量 b 满足 b·e1=2, 2

b·e2= ,且对于任意 x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则 x0
=__________,y0=________,|b|=________. 三、解答题 10.(2015·全国卷Ⅱ)在△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面 积的 2 倍. sin B (1)求 ; sin C (2)若 AD=1,DC= 2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

5 2

π? 2 2? 11.(2015·天津高考)已知函数 f(x)=sin x-sin ?x- ?,x∈R. 6? ?
2

(1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 3 4?

π? 2? 12.(2015·山东高考)设 f(x)=sin xcos x-cos ?x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f? ?=0,a=1,求△ABC 面积的 ?2? 最大值.

?A?

专题二 三角函数与平面向量

真题体验·引领卷 1 1.D [原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°= .] 2
? ?sin α >0, ? ?sin α <0, sin α 2.C [因 tanα = >0,所以? 或? sin 2α =2sin α cos α >0. cos α ?cos α >0 ?cos α <0, ? ?

故选 C.]
→ → → → → → → → → → 1→ 4→ 3.A [∵BC=3CD,∴AC-AB=3(AD-AC),即 4AC-AB=3AD,∴AD=- AB+ AC.] 3 3

2sin B-sin A 2b -a b 3 9 4.D [由正弦定理得 = ,由已知得 = ,代入上式得结果为 2× -1 2 2 sin A a a 2 4 7 = .] 2 5.D [由于 a=(1,2),b=(4,2), 所以 c=ma+b=(m+4,2m+2), 又由于 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,

2

2

2

2

a·c b·c 所以 cos〈a,c〉=cos〈b,c〉 ,也就是 = , |a||c| |b||c|

3

(m+4)+2(2m+2) 4(m+4)+2(2m+2) 则 = ,解得 m=2.] 5 20

T 5 1 6.D [由函数的图象知 = - =1,∴T=2, 2 4 4
1 1 1 1 1 3 因此 xA= - =- ,xB= + = . 4 2 4 4 2 4 1 3? ? 所以 f(x)的单调减区间为?2k- ,2k+ ?,k∈Z.] 4 4? ? 1 15 7.8 [∵cos A=- ,0<A<π ,∴sin A= , 4 4

S△ABC= bcsin A= bc×
∴bc=24,又 b-c=2,

1 2

1 2

15 =3 15, 4

∴b -2bc+c =4,b +c =52,由余弦定理得,

2

2

2

2

a2=b2+c2-2bccos A=52-2×24×?- ?=64, 4
∴a=8.] 8.( 6- 2, 6+ 2) [如图,作△PBC,使∠B=∠C=75°,BC=2,

? 1? ? ?

作直线 AD 分别交线段 PB、PC 于 A、D 两点(不与端点重合),且使∠BAD=75°,则四边形

ABCD 就是符合题意的四边形.过 C 作 AD 的平行线交 PB 于点 Q,在△PBC 中,∠APC=30°,
由正弦定理, = ,则 BP= 6+ 2. sin 30° sin 75° 在△QBC 中,∠QCB=30°,∠BQC=75°,

BC

BP

BQ BC 4 由正弦定理, = ,则 BQ= = 6- 2. sin 30° sin 75° 6+ 2
所以 AB 的取值范围为( 6- 2, 6+ 2).] 9. 1 2 2 2 1 π 3 ? ?1 [∵e1· e2=|e1|· |e2|cos 〈e1, e2〉 = , ∴ 〈e1, e2〉 = .不妨设 e1=? , ,0?, 2 3 ?2 2 ?

e2=(1,0,0),b=(m,n,t).
1 3 ? ?b·e =2m+ 2 n=2, 3 5 由题意知? 解得 n= ,m= , 2 2 5 b·e =m= , ? ? 2
1 2

4

3 ? ?5 ∴b=? , ,t?. ?2 2 ? 3 3 ?5 1 ? ∵b-(xe1+ye2)=? - x-y, - x,t?, 2 2 ?2 2 ? 2 3 ?2 ? 3 ?5 x ? 2 2 2 2 2 ∴ |b - (xe1 + ye2)| = ? - -y? + ? - x? + t = x + xy + y - 4x - 5y + t + 7 = ?2 2 ? 2 ? ?2

?x+y-4? +3(y-2)2+t2.由题意知,当 x=x =1,y=y =2 时,?x+y-4? +3(y-2)2+ ? ? 4 0 0 ? ? 2 ? 2 ? 4 ? ?
t2 取到最小值.此时 t2=1,故|b|=
1 10.解 (1)S△ABD= AB·ADsin∠BAD, 2 2 2 ?5? +? 3? +t2=2 2.] ?2? ? ? ? ? ?2?

2

2

S△ADC= AC·ADsin∠CAD.
因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以 AB=2AC. sin B AC 1 由正弦定理可得 = = . sin C AB 2 (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知

1 2

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.
故 AB +2AC =3AD +BD +2DC =6, 由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1. π? ? 1-cos?2x- ? 3? 1-cos 2x ? 11.解 (1)f(x)= - 2 2 1?1 3 1 3 ? 1 = ? cos 2x+ sin 2x?- cos 2x= sin 2x- cos 2x 2?2 4 4 2 ? 2 π? 1 ? = sin?2x- ? 6? 2 ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2
2 2 2 2 2

π? ? π ? π π? ? π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数,且 f ?- ? 6? ? 3 ? 6 4? ? 3? 1 1 3 ? π? ?π ? =- ,f ?- ?=- ,f ? ?= , 4 2 ? 6? ?4? 4 3 1 ? π π? 所以 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 3 4?
5

π ?? 1 1? ? 12.解 (1)f(x)= sin 2x- ?1+cos?2x+ ?? 2 ?? 2 2? ? 1 1 1 1 = sin 2x- + sin 2x=sin 2x- . 2 2 2 2 π π π π 由 2kπ - ≤2x≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 2 4 4 π 3π π 3π 由 2kπ + ≤2x≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 2 4 4 π ? π ? 所以 f(x)的单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?(k∈Z); 4 ? 4 ? 单调递减区间是?

?π +kπ ,3π +kπ ?(k∈Z). ? 4 ?4 ?

1 1 ?A? (2)由 f? ?=sin A- =0,得 sin A= , 2 2 ?2? 由题意知 A 为锐角,所以 cos A=
2 2 2

3 . 2

由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 可得 1+ 3bc=b +c ≥2bc, 1 2+ 3 即 bc≤2+ 3,当且仅当 b=c 时等号成立.因此 bcsin A≤ . 2 4 所以△ABC 面积的最大值为 2+ 3 . 4
2 2

6


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