高中数学第一章常用逻辑用语1_3_2含有一个量词的命题的否定课件苏教版选修1_1_图文


第1章 §1.3 全称量词与存在量词 1.3.2 含有一个量词的命题的否定 学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义. 2.会对含有一个量词的命题进行否定. 3.掌握全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是 全称命题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 全称命题与存在性命题的否定 思考1 写出下列命题的否定: ①所有的矩形都是平行四边形; ②有些平行四边形是菱形. 答案 ①并非所有的矩形都是平行四边形. ②每一个平行四边形都不是菱形. 思考2 对①的否定能否写成:所有的矩形都不是平行四边形? 答案 不能. 思考3 对②的否定能否写成:有些平行四边形不是菱形? 答案 不能. 梳理 (1) 命题 全称命题p 命题的表述 ?x∈M,p(x) ?x∈M,綈p(x) 全称命题的否定綈p 存在性命题p 存在性命题的否定綈p ?x∈M,p(x) ?x∈M,綈p(x) (2)常见的命题的否定形式 原语句 否定 形式 是 都是 > 至少有一个 至多有 一个 对任意x∈A 使p(x)为真 不是 不都是 一个也没有 ≤ ___________ ______ ______ _____ x∈A 至少有 存在 _______ __________ 两个 _____ 使 p(x)为假 _________ 知识点二 含有一个量词的命题p的否定真假性判断 对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路:一是 直接判断綈p的真假,二是用p与綈p的真假性相反来判断. 题型探究 类型一 例1 全称命题的否定 写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:任意n∈Z,则n∈Q; 解答 綈p:存在n∈Z,使n?Q,这是假命题. (2)p:等圆的面积相等,周长相等; 解答 綈p:存在等圆,其面积不相等或周长不相等,这是假命题. (3)p:偶数的平方是正数. 解答 綈p:存在偶数的平方不是正数,这是真命题. 反思与感悟 (1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论,把 全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定. (2)有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定简单的 写成“是”或“不是”.全称命题的否定的真假性与全称命题相反. 跟踪训练1 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; 解答 綈p:存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)p:对任意x∈Z,x2的个位数字都不等于3; 解答 綈p:?x∈Z,x2的个位数字等于3. (3)p:在数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数; 解答 綈p:在数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数. (4)p:可以被5整除的整数,末位是0. 綈p:存在被5整除的整数,末位不是0. 解答 类型二 存在性命题的否定 例2 写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假: (1)有些实数的绝对值是正数; 解答 命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有 实数的绝对值都不是正数”.命题的否定是假命题. (2)某些平行四边形是菱形; 解答 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形 都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题. (3)?x∈R,x2+1<0; 解答 命 题 的 否 定 是 “ 不 存 在 x∈R , 使 x2 + 1<0” , 即 “?x∈R , x2 + 1≥0”.由于x2+1≥1>0,因此命题的否定是真命题. (4)?x,y∈Z,使得 2 x+y=3. 解答 命题的否定是“?x,y∈Z, 2x+y≠3”. 当 x=0,y=3 时, 2x+y=3,因此命题的否定是假命题. 引申探究 若本例(2)改为“某些平行四边形是正方形”,写出该命题的 否定并判断真假. 解答 命题的否定是“没有一个平行四边形是正方形”,即“每一个平行四边形都 不是正方形”,假命题. 反思与感悟 (1)对存在性命题否定的两个步骤 ①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词. ②否定性质:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等. (2)存在性命题否定后的真假判断 存在性命题的否定是全称命题,其真假性与存在性命题相反;要说明一个存 在性命题是真命题,只需要找到一个实例即可. 跟踪训练2 写出下列存在性命题的否定: (1)p:?x∈R,x2+2x+2≤0; 解答 綈p:?x∈R,x2+2x+2>0. (2)p:有的三角形是等边三角形; 解答 綈p:所有的三角形都不是等边三角形. (3)p:有一个素数含三个正因数. 解答 綈p:每一个素数都不含三个正因数. 类型三 例3 含量词命题的否定的应用 已知命题p:?x∈R,ax2+2x+1≠0,q:?x∈R,ax2+ax+1≤0. 若(綈p)∧(綈q)为真命题,求实数a的取值范围. 解答 反思与感悟 若全称命题为假命题,通常转化为其否定命题——存在性命题为真 命题解决.同理,若存在性命题为假命题,通常转化为其否定命 题——全称命题为真命题解决. 跟踪训练 3 已知命题 p : ?x∈R , x2 + 2ax + a≤0. 若命题 p 是假命题, 解析 (0,1) . 答案 则实数a的取值范围是________ 方法一 若命题p:?x∈R,x2+2ax+a≤0是真命题, 得Δ=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0. 若命题p是假命题,则a(a-1)<0,解得0<a<1. 方法二 依题意得命题綈p:?x∈R,x2+2ax+a>0是真命题, 得Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0<a<1. 当堂训练 1.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则“綈p” 2+mx+1=0无实根 对任意的实数 m ,方程 x

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