武汉市武昌区2013届高三期末调研考试数学(理)试题


武昌区 2013 届高三期末调研考试

数学(理) 试题
本试题卷共 4 页,共 22 题。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡指定位置,认真核对 与准考证号条形码上的信息是否一致,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 3.非选择题的作答:用黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上的每题所对应的答题区域内。答在 试题卷上或答题卡指定区域外无效。 4.考试结束,监考人员将答题卡收回,考生自己保管好试题卷,评讲时带来。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

?1 3 ? 1.复数 ? ? ? 2 2 i ? (i 为虚数单位)的值是 ? ? ?

3





A.-1 B.1 C.-i D.i 2.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是 ( ) A.所有奇数的立方都不是奇数 B.不存在一个奇数,它的立方是偶数 C.存在一个奇数,它的立方是偶数 D.不存在一个奇数,它的立方是奇数 3.某天清晨,小明同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常,但是 下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面大致能反映出小明这一天 (0 时~ 24 时)体温的变化情况的图是 ( )

4.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn 达到最大 的n是 ( ) A.18 B.19 C.20 D.21 5.某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的体积是 ( )

1 3 cm 2 2 B. cm3 3 5 C. cm3 6
A.

D.

7 cm3 8

2 6.已知 a>b,二次三项式 ax2 +2x +b≥0 对于一切实数 x 恒成立.又 ?xo ? R ,使 axo ? 2xo ? b ? 0 成

a 2 ? b2 立,则 的最小值为 a ?b
A.1 B. 2 C.2 D.2 2





7.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是坐标原点,则|AF|·|BF|的最小值 是 ( ) A.2 B. 2 C.4 D.2 2

?y ? 2 ? 8.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z=3|x| +y 的取值范围为 ?x ? y ? 1 ?
A.[-1,5] 9.函数 f(x)= ?1 ? x ? B.[1, 11] C.[5, 11] D.[ -7, 11]





? ?

x 2 x3 x 4 x 2012 x 2013 ? ? ? ??? ? ? cos2x 在区间[-3,3]上的零点的个数为 2 3 4 2012 2013 ?
( )

A.3 B.4 C.5 D.6 10.O 是锐角三角形 ABC 的外心,由 O 向边 BC,CA,AB 引垂线,垂足分别是 D,E,F,给出下 列命题: ———}-}———} ① OA ? OB ? OC ? 0 ; ② OD ? OE ? OF ? 0 ; ③ | OD | : | OE | : | OF | =cosA:cosB:cosC;

??? ??? ??? ? ? ?

???? ??? ??? ? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ???? AB AC ? ? ④ ?? ? R ,使得 AD ? ? ( ??? ? ??? )。 | AB | SINB | AC | SINC
以上命题正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4; 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答 错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.已知 sin ? -3cos ? =0,则

sin 2? ? cos ? ? sin 2 ?
2

。 .

12.执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为

13.已知 a=4

?

?

2 0

a ? cos(2 x ? )dx ,则二项式(x2+ )5 的 x 6


展开式中 x 的系数为

14.已知直线⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,有下列命题: ①? ∥? ? ⊥m; ③ m?? ⊥ ? ; ∥ ②? ⊥ ? ? ∥ m; ④ ⊥m ? ? ∥? .

其中正确命题的序号是 。 15.给出若干数字按下图所示排成倒三角形,其中第一行各数依次是 l,2,3,?,2013,从第二行 起每一个数都等于它“肩上”两个数之和,最后一行只有一个数 M,则这个数 M 是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= cos( 2x+

? )+sin2x. 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,满足 2 AC · CB = 2ab, c ? 2 2, f ( A) ?

??? ?

??? ?

1 3 ? , 求△ABC 的面积 S. 2 4

17. (本小题满分 12 分) 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示: 全市 100 000 名男生的身高服从正态分布 N(168, 16).现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高, 测量发现被测学生身高全部介于 160 cm 和 184 cm 之间,将测量结果按如下方式分成 6 组:第一组 [160,164],第二组[164,168],?, 第 6 组[180,184],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况; (Ⅱ)求这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数; (Ⅲ)在这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人中任意抽取 2 人,该 2 人中身高排 名(从高到低)在全市前 130 名的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望.

参考数据: 若 ? ? N (? ? ? 2 ) .则

p( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) =0.6826, p(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) =0.9544, p(? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ) =0.9974.

18. (本小题满分 12 分) 已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn, Sn=2an -l; 且 数列{bn}满足 bn-1=bn=bnbn-1 n≥2, ( n∈N*) 1=1. b (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 T. ? bn ?

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S - ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA⊥底面 ABCD,AB 垂直于 AD 和 BC,SA =AB=BC =2,AD =1.M 是棱 SB 的中点. (Ⅰ)求证:AM∥面 SCD; (Ⅱ)求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值; (Ⅲ)设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与面 SAB 所成的角为 ? ,求 sin ? 的最大值,

20. (本题满分 13 分) 设点 P 是圆 x2 +y2 =4 上任意一点,由点 P 向 x 轴作垂线 PP0,垂足为 Po,且 MP ? O

?????

? 3 ???? PPO . 2

(Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线:y=kx+m(m≠0)与(Ⅰ)中的轨迹 C 交于不同的两点 A,B. (1)若直线 OA,AB,OB 的斜率成等比数列,求实数 m 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆过曲线 C 与 x 轴正半轴的交点 Q,求证:直线过定点(Q 点除外), 并求出该定点的坐标.

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f(x)=lnx+

1 ?1 x

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设 m ? R,对任意的 a∈(-l,1) ,总存在 xo∈[1,e],使得不等式 ma - (xo)<0 成立,求 实数 m 的取值范围; (Ⅲ)证明:ln2 l+ 1n22,+?+ln2 n>

(n ? 1) 4 (n ? 2, n ? N * ) ∈N*) . 4n 3

参考答案
一、选择题: 1.A 2.C 二、填空题: 11. ? 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B

3 4

12. 3

13. ?80

14.①与③

15. 1007× 2012 2

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ? x ? ? cos( 2 x ?

?
3

) ? sin 2 x ? cos 2 x cos

?
3

? sin 2 x sin

?
3

?

1 ? cos 2 x 2

?

1 3 ? sin 2 x . 2 2
?1 3 1 3? , ? ?. 2 2 2 ?
……………………(6 分)

所以,最小正周期 T ? ? ,值域为 ? ?

?2

(Ⅱ)? 2 AC ? CB ?

??? ??? ? ?

2ab ,? 2ba cos ?? ? C ? ? 2ab , cos C ? ?

2 . 2

?C ?

3? . 4 1 1 3 1 3 1 3 ? sin 2 A ? ? ,? ? ,? sin 2 A ? . 2 2 4 2 2 2 4
,? A ?

又, f ? A? ? 而0 ? A ?

?
4

?
12

,B ?

?
6

.

由正弦定理,有

a sin

?
12

?

b sin

?
6

?

c a b 2 2 ,即 . ? ? 3? 6? 2 1 2 sin 2 4 4 2

?a ? 6 ? 2, b ? 2 .
?S ? 1 1 2 absin C ? ? ( 6 ? 2 ) ? 2 ? ? 3 ? 1. 2 2 2
……………………(12 分)

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为

(162 ?

5 7 8 2 2 1 ? 166 ? ? 170 ? ? 174 ? ? 178 ? ? 182 ? ) ? 4 ? 168 .72 , 100 100 100 100 100 100

高于全市的平均值 168(或者:经过计算该校高三年级男生平均身高为 168.72,比较接近全市的 平均值 168). …………………………………………………………(4 分) (Ⅱ)由频率分布直方图知,后三组频率为(0.02+0.02+0.01)× 4=0.2,人数为 0.2× 5=10,即 这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数为 10 人. ……………(6 分) (Ⅲ)? P(168? 3 ? 4 ? ? ? 168? 3 ? 4) ? 0.997 4 ,

? P(? ? 180 ) ?

1 ? 0.9974 ? 0.0013 ,0.0013×100 000=130. 2

所以,全市前 130 名的身高在 180 cm 以上,这 50 人中 180 cm 以上的有 2 人. 随机变量 ? 可取 0,1, 2 ,于是

P(? ? 0) ?
? E? ? 0 ?

C82 28 C 1C 1 16 C2 1 , P(? ? 1) ? 8 2 2 ? , P(? ? 2) ? 2 ? ? 2 2 45 C10 45 C10 C10 45
28 16 1 2 ? 1? ? 2? ? . 45 45 45 5
………………………………(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 Sn ? 2an ?1 ,得 S1 ? 2a1 ?1 ,所以 a1 ? 1 . 又 Sn ? 2an ?1 , Sn?1 ? 2an?1 ?1 n ? 2 , , 两式相减,得 Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 , an ? 2an ? 2an?1 .

? an ? 2an?1 , n ? 2 .所以,数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.

? an ? 1? 2n?1 ? 2n?1 .
由 bn?1 ? bn ? bnbn?1 ,得

…………………………………………………………(4 分)

1 1 ? ? 1. bn bn ?1

又 b1 ? 1 ,所以数列 ?

?1? ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. ? bn ?

?

1 ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n . bn
1 . n
…………………………………………………(8 分)

? bn ?

(Ⅱ)? Tn ? 1? 20 ? 2 ? 21 +?+n ? 2n-1 ,

? 2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 +?+n ? 2n .
两式相减,得 ?Tn ? 1 ? 2 +? ? 2
1 n ?1

? n ? 2n ?

1-2n ? n ? 2n ? ?1 ? 2 n ? n ? 2 n . 1-2

所以, Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1 .

……………………………………………………(12 分)

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则

A(0,0,0) , B(0,2,0) , C (2,2,0) , D(1,0,0) , S (0,0,2) , M (0,1,1) .
则 AM ? ? 0,1,1? , SD ? ?1,0, ?2 ? , CD ? ? ?1, ?2,0 ? .

???? ?

??? ?

??? ?

? 设平面 SCD 的法向量是 n ? ? x, y, z ? , 则
?SD ? n ? 0, ? x ? 2 z ? 0, ? 即? ?? ?CD ? n ? 0, ?? x ? 2 y ? 0. ?
令 z ? 1 ,则 x ? 2, y ? ?1 ,于是 n ? (2,?1,1) .

z S M y B N A D x C

? AM ? n ? 0 ,? AM ? n .

? AM∥平面 SCD. ……………………………………………………(4 分) ?? (Ⅱ)易知平面 SAB 的法向量为 n1 ? ?1,0,0 ? .设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ? ,

?? ? ?1, 0, 0 ? ? ? 2, ?1,1? ? 2 ? 6 n1 ? n 6 则 cos? ? ?? ? ? ,即 cos? ? . 3 3 1? 6 1? 6 n1 ? n

? 平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为

6 .………………………………(8 分) 3

(Ⅲ)设 N ? ? x,2x ? 2,0 ?, ,则 MN ? ? x, 2 x ? 3, ?1? . 又,面 SAB 的法向量为 n1 ? ?1,0,0 ? ,

???? ?

??

所以, sin ? =

? x, 2 x ? 3, ?1? ? ?1, 0, 0 ? ? 2 2 x 2 ? ? 2 x ? 3? ? ? ?1? ?1
? 1 1 3 7 10( ? ) 2 ? x 5 5
.

x 5 x ? 12 x ? 10
2

?

1 . 1 1 5 ? 12 ? 10 2 x x

?

1 1 1 10( ) 2 ? 12( ) ? 5 x x



1 3 5 35 ? ,即 x ? 时, sin ? max ? .………………………………………………(12 分) 3 x 5 7

20. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设点 M ? x, y ? , P ? x0 , y0 ? ,则由题意知 P0 ( x0 ,0) . 由 MP0 ? ( x0 ? x,? y) , PP ? (0,? y 0 ) ,且 MP ? 0 0

???? ?

3 ???? PP0 , 2

得 ( x0 ? x,? y ) ?

3 (0,? y0 ) . 2

? x0 ? x ? 0, ? x 0 ? x, ? ? 所以 ? 于是 ? 2 3 y0 , ?? y ? ? ? y 0 ? 3 y. 2 ? ?
2 2 又 x0 ? y0 ? 4 ,所以 x ?
2

4 2 y ? 4. 3

所以,点 M 的轨迹 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .………………………………(3 分) 4 3

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y2 ? ? 1, ? 3 ?4
得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx? 4(m 2 ? 3) ? 0 . 所以, ? ? (8mk) 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 ,即 3 ? 4k ? m ? 0 .
2 2



8m k ? ? x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 , ? 且? 2 ? x ? x ? 4(m ? 3) . ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
(i)依题意, k ?
2

………………………………………………(5 分)

y1 y2 kx ? m kx2 ? m 2 ,即 k ? 1 . ? x1 x2 x1 x2

? x1x2k 2 ? k 2 x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 .
8mk ) ? m2 ? 0 . 3 ? 4k 2 8k 3 ? m ? 0 ,? k (? ) ? 1 ? 0 ,解得 k 2 ? . 2 4 3 ? 4k 3 2 2 将 k ? 代入①,得 m ? 6 . 4

? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 ,即 km (?

所以, m 的取值范围是 (? 6 ,0) ? (0, 6 ) .

…………………………………………(8 分)

(ii)曲线

x2 y2 ? ? 1 与 x 轴正半轴的交点为 Q(2,0) . 4 3

依题意, AQ ? BQ , 即 AQ ? BQ ? 0 . 于是 (2 ? x1 ,? y1 ) ? (2 ? x2 ,? y 2 ) ? 0 .

? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,
? (k 2 ? 1) ? 4(m 2 ? 3) 8m k ? (km ? 2) ? (? ) ? 4 ? m2 ? 0 . 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2 2

化简,得 7m ? 16mk ? 4k ? 0 .

解得, m ? ?2k 或 m ? ?

2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时,直线的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 ( 2,0) (舍去);

2k 2 2 时,直线的方程为 y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( ,0) . 7 7 7 2 所以,直线过定点 ( ,0) . …………………………………………………(13 分) 7
当m ? ? 21. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ?

1 1 x ?1 ? ? 2 , x ? 0. x x2 x

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ,因此函数 f ?x ? 的单调递增区间是 ?1, ?? ? . 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ,因此函数 f ?x ? 的单调递减区间是 ? 0,1? .…………(4 分) (Ⅱ)依题意, ma ? f ? x ?max . 由(Ⅰ)知, f ? x ? 在 x ??1, e? 上是增函数,

1 1 ? f ? x ?max ? f ? e ? ? ln e ? ? 1 ? . e e 1 1 ? ma ? ,即 ma ? ? 0 对于任意的 a? ? ?1,1? 恒成立. e e

1 ? m ? 1 ? ? 0, ? 1 1 ? e ?? 解得 ? ? m ? . e e ?m ? (?1) ? 1 ? 0. ? e ?
所以, m 的取值范围是 [? , ] . (Ⅲ)由(Ⅰ) f ? x ? ? ln x ?

1 1 e e

…………………………………………(8 分)

1 ? 1 ? f ?1? ? 0 , x 1 1 ? ln x ? 1 ? ,? ln x 2 ? 1 ? 2 . x x 1 1 1 ? ln12 ? ln 22 ? ? ? ln n 2 ? 1 ? 2 +1 ? 2 + ? +1 ? 2 . 1 2 n 1 1 1 即 2 ln 1 ? 2 ln 2 ? ? ? 2 ln n ? n ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) . 1 2 n
又,

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 2 n

1 1 1 1 1 1 ? ??? ] ? ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? ?[1 ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 2 n 1 1 1 1 1 1 ? n ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? n ? [1 ? ? ??? ] 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 2 n 1 1 1 1 1 (n ? 1) 2 ? n ? [1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? . 2 2 3 n ?1 n n ? ln 1 ? ln 2 ? ? ? ln n ? (n ? 1) 2 . 2n

由柯西不等式, (ln2 1 ? ln 2 2 ? ? ? ln 2 n)(12 ? 12 ? ? ? 12 ) ? (ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n) 2 .

1 (n ? 1) 4 2 ? ln 1 ? ln 2 ? ? ? ln n ? (ln1 ? ln 2 ? ? ? ln n) ? n 4n 3
2 2 2

.

? ln 2 1 ? ln 2 2 ? ? ? ln 2 n ?

(n ? 1) 4 . 4n 3

……………………………………(14 分)


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