2017年高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球课件新人教B版必修2_图文


1.1.3

圆柱、圆锥、圆台和球

1.理解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念,并能从运动的观点来 认识这四种几何体的形成过程. 2.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的轴截面的特征. 3.掌握圆柱、圆锥、圆台和球及简单组合体的结构特征. 4.能进行简单的有关圆柱、圆锥、圆台以及球的计算问题.

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1.圆柱、圆锥、圆台 (1)概念:分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形 中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直 角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、 圆锥、圆台.其中用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截面与底 面之间的部分也叫做圆台.旋转轴叫做所围成的几何体的轴;在轴 上的这条边(或它的长度)叫做几何体的高;垂直于轴的边旋转而成 的圆面叫做几何体的底面;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做几 何体的侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫做侧面的母线;我们 常将圆柱的侧面称为圆柱面,圆锥的侧面称为圆锥面.

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(2)规定:圆柱和棱柱统称为柱体,圆锥和棱锥统称为锥体,圆台和 棱台统称为台体.

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【做一做1-1】 下列图形为圆柱体的是(

)

解析:圆柱的上、下两个底面是相互平行并且完全相等的. 答案:C

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【做一做1-2】 下列命题中正确的是( ) A.以直角三角形的一直角边为轴旋转一周所得的几何体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的几何体是圆台 C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底 面圆的半径 解析:以直角梯形垂直于底的腰为轴旋转一周所得的旋转体才是 圆台,所以选项B不正确;圆锥仅有一个底面,所以选项C不正确;圆锥 的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长, 所以选项D不正确;很明显选项A正确. 答案:A

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2 .球 (1)概念:一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲 面叫做球面,球面围成的几何体叫做球.形成球的半圆的圆心叫 球心;连接球面上一点和球心的线段叫球的半径;连接球面上两 点且通过球心的线段叫球的直径. (2)表示:用表示球心的字母表示. (3)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集 合.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆,被不经过球心 的平面截得的圆叫做球的小圆.在球面上,两点之间的最短距离,就 是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.事实上,人们 把这个弧长叫做两点的球面距离.

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(4)圆柱、圆锥、圆台、球等几何体,都是由一个平面图形绕着一 条直线旋转产生的曲面所围成的几何体,这类几何体叫做旋转体, 这条直线叫做旋转体的轴. 知识拓展 1.从集合的角度理解球. 在空间中,到定点的距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体 (简称球).定点叫做球的球心;定长叫做球的半径;到定点距离等于 定长的点的集合叫做球面. 2.球面上两点间的球面距离,必须是在球过此两点的大圆中求此 两点所对应的劣弧的长度,不能在此两点的球的小圆中求.

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【做一做2】 有下列说法: ①球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段; ②球的直径是连接球面上两点的线段; ③不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆. 其中正确说法的序号是 . 解析:利用球的结构特征判断:①正确;②不正确,因为直径必过球 心;③正确. 答案:①③

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3.组合体 (1)概念:由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做 组合体. (2)基本形式:有两种,一种是由简单几何体拼接而成的简单组合 体;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体. 名师点拨 三种简单的组合体:多面体与多面体的组合;多面体与旋 转体的组合;旋转体与旋转体的组合. 常见的简单组合体及其结构特征:(1)正方体的八个顶点在同一个 球面上,此时正方体称为球的内接正方体,球是正方体的外接球,并 且正方体的对角线是球的直径;(2)一个球与正方体的所有棱相切, 则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;(3)一个球与正方体 的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.

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【做一做3-1】 一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几 何体为( ) A.一个圆锥 B.一个圆锥和一个圆柱 C.两个圆锥 D.一个圆锥和一个圆台 答案:C

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【做一做3-2】 一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截 面不可能是( )

解析:过球心的任何截面都不可能是圆的内接正方形. 答案:D

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1.圆柱、圆锥、圆台的性质 剖析:(1)对于圆柱的性质,要注意以下两点:一是轴线垂直于圆柱 的底面;二是三类截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等 的圆,轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线组成的矩形,平 行于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线组成的矩形. (2)对于圆锥的性质,要注意以下两点:一是两类截面——平行于 底面的截面是与底面相似的圆,过圆锥的顶点且与底面相交的截面 是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形;二是圆锥的母 线l、高h和底面圆的半径R组成一个直角三角形.有关圆锥的计算, 一般归结为解这个直角三角形,往往会用到关系式l2=h2+R2.

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(3)对于圆台的性质,要注意以下两点:一是圆台的母线共点,所以 由任意两条母线确定的截面为等腰梯形,但是与上、下底面都相交 的截面不一定是梯形;二是圆台的母线l、高h和上底面圆的半径r、 下底面圆的半径R组成一个直角梯形,且有l2=h2+(R-r)2,有关圆台的 计算问题,常归结为解这个直角梯形.

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2.球的截面的性质 (1)用任意一个平面去截球,得到的截面为圆面.设球心为O,截面 圆的圆心为O',球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面圆的

距离为 d,则①OO'⊥平面☉O';②d=

2 - 2 .

(2)解决有关球的截面问题的关键是寻找球的半径、截面圆的半 径及球心到截面圆的距离OO'构成的直角三角形这一常用图形. (3)对于球的两个平行截面圆的问题要注意这两个截面是在球心 的同侧还是异侧,否则对问题的探求不全面. (4)有关球的计算,往往先作出大圆,从而化球为圆,再用平面几何 的有关定理求解.

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3.地球的经纬线和经纬度 (1)经线和经度.

剖析:经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆,在同一条经 线上的点的经度都相等,如图,圆O是赤道面,圆O'是纬线圈,点P的经 度与点A的经度相等,如果经过点B的经线是本初子午线(即0°经线), 那么点P的经度等于∠AOB的度数,也等于∠PO'C的度数.

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(2)纬线和纬度. 剖析:赤道是一个大圆,它是0°纬线,其他的纬线都是小圆,它们是 由与赤道面平行的平面截球所得到的.

如图,圆O是赤道面,圆O'是纬线圈,若点P,A在同一条经线上,则点 P的纬度等于∠POA的度数,也等于∠OPO'的度数.

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4.教材中的“探索与研究” 对圆柱、圆锥、圆台: (1)平行于底面的截面是什么样的图形? (2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形? (3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系. 剖析:(1)平行于底面的截面,图形都是圆. (2)过轴的截面,对于圆柱是矩形,对于圆锥是等腰三角形,对于圆 台是等腰梯形. (3)圆柱的上底面变小,就变为圆台,当上底面变为一个点时,它就 变成了圆锥. 圆台是由圆锥截得的,“还台为锥”不失为解决圆台问题的好办法.

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5.教材中的“思考与讨论” 在平面几何中,你学习了直线与圆的位置关系,那么平面与球的 位置关系如何? 剖析:类比平面上直线与圆的位置关系,平面与球有以下几种位 置关系:相离、相切、相交,其中相离是平面与球无公共点,相切是 平面与球有且只有一个公共点,相交则是平面与球有无数多个公共 点.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一 旋转体的概念与结构特征

【例1】 (1)若把图①中的4个图形分别绕虚线旋转一周,能形成图 ②中的几何体,按顺序与1,2,3,4对应的几何体分别是图②中 的 .

图①

图②

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)给出以下说法: ①圆台中平行于底面的截面都是圆面; ②圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的; ③用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台; ④球是以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成 的旋转体; ⑤球的半径是球面上任意一点与球心的连线段; ⑥圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线段是圆锥的母线. 其中,正确的说法是 .(填序号)

题型一

题型二

题型三

题型四

解析:(1)第1个平面图形为半圆,绕其直径旋转一周,应形成一个球; 第2个平面图形为矩形,绕其一边旋转一周,应形成一个圆柱; 第3个平面图形是上、下两个直角三角形,绕其直角边旋转一周, 应形成上、下两个圆锥; 第4个平面图形是一个直角梯形,绕其较短的底边旋转一周,形成 的是一个下部挖去一个小圆锥的圆柱. 因此图形1,2,3,4对应的几何体分别是a,d,b,c. (2)①正确.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面. ②正确.由圆柱母线的定义知,圆柱的任意两条母线是平行的. ③错误.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥 和一个圆台,用不平行于圆锥底面的平面截圆锥,则不能得到一个 圆锥和一个圆台.

题型一

题型二

题型三

题型四

④正确.由球的定义易知该说法正确. ⑤正确.由球的定义可知,球面上任意一点与球心的连线段都是
半径. ⑥正确.由圆锥母线的定义知,圆锥顶点与底面圆周上任意一点 的连线段都是母线. 答案:(1)a,d,b,c (2)①②④⑤⑥

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 判断一个平面图形旋转一周所形成几何体的形状时,关键是 明确轴的位置以及平面图形中各边与轴的位置关系.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练1】 下列给出的图形中,绕虚线旋转一周,能形成圆台 的是( )

解析:利用旋转体的定义判断. 答案:A

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

简单旋转体中的计算问题

【例2】 圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的 半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径及两底面面积之和. 分析:由题目可获取以下主要信息:①已知圆台的母线长及母线 与轴的夹角;②上、下底面圆的半径关系.本题利用圆台的轴截面 不难求出.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r, 如图,∠ASO=30°. 在 Rt△SA'O'中, = sin 30°, 所以SA'=2r, 2 在 Rt△SAO中, = sin 30°, 所以SA=4r, 所以SA-SA'=AA',即4r-2r=2a,r=a, 所以S=S1+S2=πr2+π(2r)2=5πr2=5πa2, 所以圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为 5πa2.
'

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 解决圆柱、圆锥、圆台中有关量的计算问题时,关键是作出 轴截面,通过轴截面,在矩形、三角形、梯形中构造直角三角形,利 用勾股定理进行计算求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练2】 已知某圆台一个底面的面积为36π,母线长为 5,圆台的高为2 6, 则此圆台另一个底面圆的半径为( ) A.5 B.7 C.5或7 D.9 解析:

圆台的轴截面为一个等腰梯形,如图所示,易知AD=5,

DE=2 6, 则AE=1. 由题意可得一个底面圆的半径为6,故若CD=12,则可知另一个底 面圆的半径为7;若AB=12,则可知另一个底面圆的半径为5,故选C. 答案:C

题型一

题型二

题型三

题型四

【例3】 用一个平面截一个半径为13 cm的球,得到一个面积为 25π cm2的圆,试求球心到该截面圆圆心的距离. 分析:根据球的截面的性质,球心与截面圆圆心的连线垂直于截 面,据此构造直角三角形,利用勾股定理求解. 解:设球的半径为R,截面圆的半径为r,球心O到该截面圆圆心O1 的距离为d,

则有 R2=r2+d2,于是|OO1|=d= 又 πr2=25π,∴r=5.于是 d= 即所求距离为 12 cm.

2 - 2 .

132 -52 = 12.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 解有关球的问题时,常用如下性质: (1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面,过球心和截面圆的圆 心的直线垂直于截圆. (2)若分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径,用d表示球心到 截面的距离,则R2=r2+d2.球的有关计算问题,常归结为解直角三角 形问题.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练3】 在半径为13的球面上有A,B,C三点,AB=6, BC=8,CA=10,则球心到平面ABC的距离为 . 解析:∵AB2+BC2=CA2, ∴∠ABC=90°. ∴△ABC外接圆的圆心为AC的中点, 且半径为5. 如图,BO1=5,且OO1⊥平面ABC,

又 OB=13,∴OO1=
答案:12

132 -52 = 12.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

有关组合体的问题

【例4】 圆锥底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A1B1C1D1内接于此 圆锥,求这个正方体的棱长. 分析:与圆锥有关的问题主要通过轴截面来讨论,而正方体只有 唯一基本量——棱长,圆锥的轴截面在任何位置都相同,故过正方 体的顶点作轴截面便于建立棱长与r,h之间的联系.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,如图. 设圆锥内接正方体的棱长为 x,则在轴截面中,正方体的对角面 A1ACC1 的一组邻边 A1A 和 A1C1 的长分别为 x, 2. 因为△VA1C1∽△VMN,所以 2 = ? . 2? 所以 2? = 2? ? 2. 所以x= ,
2+ 2? 2? 即圆锥内接正方体的棱长为 . 2+ 2? 2 ?-

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 本题画出轴截面图形是解决问题的关键,从圆锥与正方体的 结合入手,过正方体一组对棱的平面截圆锥得到轴截面,从而将空 间问题转化为平面问题.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 4】 若圆锥的轴截面是一个面积为 9 3 cm2 的正三角形, 则其内切球的半径为( ) A.4π cm B.6 cm C. 3 cm D. 3π cm 解析:轴截面如图所示,设正三角形 SAB 的边长为 a cm,

1 3 3 则 × × = 2 = 9 3, 2 2 4
所以 a=6(cm). 又 S△SO'B+S△SO'A+S△AO'B=9 3, 所以 3× 2 × 6 × = 9 3. 所以 R= 3(cm). 故选C.
答案:C
1

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

易错辨析

易错点:忽视球截面的位置致错 【例5】 已知半径为10的球内有两个截面,其面积分别为36π和64π, 求这两个截面之间的距离.

题型一

题型二

题型三

题型四

错解:如图,设两个截面圆的圆心分别为O1,O2,球的球心为O,由已 知得O1A=6,O2B=8.

则 OO1= OO2=

102 -62 = 8,

102 -82 = 6.

故两截面之间的距离d=O1O2=OO1-OO2=8-6=2. 错因分析:错解中只考虑了两个截面在球心同侧的情况,事实上, 两个截面还可以位于球心的异侧,因此,两个截面之间的距离有两 种不同的结果.

题型一

题型二

题型三

题型四

正解:设两个截面圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为O1A,O2B.则 有O1A=6,O2B=8,设球心为O. (1)当两截面位于球心O的同侧时(如图①),

OO1=

102 - 62 = 8, 2 =

102 - 82 = 6,

所以两截面之间距离d=OO1-OO2=8-6=2.

图①

图②

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)当两截面位于球心O的异侧时(如图②),

OO1=

102 -62 = 8, 2 =

102 -82 = 6,

所以两截面之间的距离为d=OO1+OO2=8+6=14. 综上(1)(2)可知,这两个截面之间的距离为2或14.

1

2

3

4

5

1.下列几何体中是旋转体的是( ) ①圆柱;②六棱锥;③正方体;④球体;⑤四面体. A.①和⑤ B.①和② C.③和④ D.①和④ 答案:D

1

2

3

4

5

2.对于圆柱、圆锥和圆台的底面,下列说法正确的是( ) A.一定都是圆 B.可以是一个点 C.是椭圆 D.是圆或椭圆 解析:三种几何体的底面一定是圆,不可以是一个点或椭圆. 答案:A

1

2

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3.用一个平面去截以下几何体,所得截面一定是圆面的是 ( A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台 答案:C

)

1

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5

4.已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别是6π和8π,则这两 个平行截面间的距离是 . 解析:分情况讨论:①若这两个平行截面位于球心的同侧,则可求得 平行截面间的距离等于1;②若这两个平行截面位于球心异侧,则可 求得平行截面间的距离等于7. 答案:1或7

1

2

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4

5

5.如图所示,圆锥底面圆的半径OA是6,轴截面的顶角∠ASB是直角,

过两条母线的截面 SCB 截去底面圆周的 , 求截面面积.

1 6

解:由题知,轴截面顶角∠ASB=90°,OA=6, 所以 SA=SB=SC=6 2. 如图,连接OB,OC,作SD⊥BC于点D.

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1

2

3

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5

1 因为弧 BC 的长为底面圆周长的 , 6 1 所以∠BOC= 6 × 360°= 60° .

所以 OB=OC=BC=6. 所以 SD= 所以 S△SCB=
2 1 2 -

2

=

72-9 = 3 7.

1 × 2

6 × 3 7 = 9 7.

所以截面面积为 9 7.

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