高中数学 1-3-1 函数的单调性与导数双基限时训练 新人教版选修2-2


高中数学 1-3-1 函数的单调性与导数双基限时训练 新人教版选修

2-2

1.若 f(x)=lxnx(0<a<b<e),则有(

)

A.f(a)>f(b)

B.f(a)=f(b)

C.f(a)<f(b)

D.f(a)·f(b)>1

解析 ∵f′(x)=1x·xx-2 lnx=1-xl2 nx,

当 x∈(0,e)时,

lnx∈(0,1),∴1-lnx>0,即 f′(x)>0.

∴f(x )在(0,e)上为增函数,又 0<a<b<e,

∴f(a)<f(b).

答案 C

2.若在区间(a,b)内有 f′(x)>0,且 f(a)≥0,则在(a,b)内有( )

A.f(x)>0

B.f(x)<0

C.f(x)=0

D.f(x)≥0

解析 由题意知 f( x)在(a,b)上为增函数,又 f(a)≥0,∴在(a,b)内恒有 f(x)>0.

答案 A

3.设 f(x)在(a,b)内可导,则 f′(x)<0 是 f(x) 在(a,b)内单调递减的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

解析 f(x)在(a,b)内有 f′(x)<0,则 f(x)在(a,b)内单调递减;反过来,f(x)在(a,

b)内单调递减,则 f′(x)≤0.

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∴f′(x)<0 是 f(x)在(a,b)内单调递减的充分不必要条件. 答案 A 4.设 f′(x)是函数 f(x)的导数,y=f′(x)的图象如右图所示,则 y=f(x)的图象最 有可能是( )

解析 分析导函数 y=f′(x)的图象可知,x<-1 时,f′(x)<0.∴y=f( x)在(-∞,

-1)上为减函数;当-1<x<1 时,f′(x)>0,∴y=f(x)在(-1,1)内为增函数;当 x>1 时,

f′(x)<0,∴y=f(x )在(1,+∞)上为减函数,只有 B 符合条件.

答案 B

5.设函数 f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数 a,b 满足 f(a)=0,g(b)=0,

则( )

A.g(a)<0<f(b)

B.f(b)<0<g(a)

C.0<g(a)<f(b )

D.f(b)<g(a)<0

解析 ∵f′(x)=ex+1>0,∴f(x)=ex+x-2 在其定义域内是增函数.又 f(a)=0,f(1)

=e-1>0,f(0)=-1<0,

∴0<a<1.∵x>0,∴g′(x)=1x+2x>0,∴g(x)=lnx+x2-3 在(0,+∞)上为增函数,

而 g(1)=-2<0,g(2)=ln2+1>0,∴g(b)=0? 1<b<2.∴g(a)<0,f(b)>0.故 g(a)<0<f(b).

答案 A

6.已知 f (x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)等于________.

解析 ∵f(x)=x2+2xf′(1),

∴f′(x)=2x+2f′(1).

∴f′(1)=2+2f′(1),∴f′(1)=-2.

∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.
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答案 -4 7.已知导函数 y=f′(x)的图象如下图所示,请根据图象写出原函数 y=f(x)的递增区 间是________.

解析 由图象可知,当-1<x<2,或 x>5 时,f′(x)>0, ∴f(x)的递增区间为(-1,2)和(5,+∞). 答案 (-1,2),(5,+∞) 8.下列命题中,正确的是________. ①若 f(x)在(a,b)内是增函数,则对于任何 x∈(a,b),都有 f′(x)>0;②若在(a, b)内 f′(x) 存在,则 f(x)必为单调函数;③若在(a,b)内的任意 x 都有 f′(x)>0,则 f(x) 在(a,b)内是增函数;④若 x∈(a,b),总有 f′(x)<0,则在(a,b)内 f(x)<0. 答案 ③ 9.已知 R 上的可导函数 f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)<0 的解集 为________.

解析 由 f(x)的图象可知,f′(x)<0? -1<x<1;f′(x)>0? x<-1 或 x>1. 因此(x2-2x-3)f′(x)<0,

即???x2-2x-3>0, ??f x ,

或???x2-2x-3<0, ??f x ,

即?????x-<- 1<1x或<1x,>3, 或?????- x<1-<x1或<3, x>1, 即 1<x<3. 答案 {x|1<x<3} 10.已知 f(x)=ex-ax,求 f(x)的单调区间. 解 ∵f(x)=ex-ax.
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∴f′(x)=ex-a. 令 f′(x)≥0,得 ex≥a. 当 a ≤0 时,有 f′(x)>0 在 R 上恒成立; 当 a>0 时,有 x≥lna. 令 f′(x)≤0,得 ex≤a, 当 a>0 时,x≤lna. 综上,当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当 a>0 时,f(x)的增区间为[lna,+∞),减区 间为(- ∞,lna]. 11.若函数 f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞) 上为增函数,试求实数 a 的取值范围. 解 函数 f(x)的导数 f′(x)=x2-ax+a-1. 令 f′(x)=0,解得 x=1,或 x=a-1. 当 a-1≤1,即 a≤2 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意. 当 a-1>1,即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数, 在(a-1,+∞)上为增函数. 依题意应有当 x∈(1,4)时,f′(x)<0, 当 x∈(6,+∞)时,f′(x)>0. 所以 4≤a-1≤6,解得 5≤a≤7. 所以 a 的取值范围是[5,7]. 12.设函数 f(x)=xekx(k≠0). (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单 调区间; (3)若函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求 k 的取值范围. 解 (1)f′(x)=(1+kx)ekx,f′(0)=1,f(0)=0, 曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=x. (2)由 f′(x)=(1+kx)ekx=0,得 x=-1k(k≠0). 若 k>0,则当 x∈(-∞,-1k)时,f′(x)<0 , 函数 f(x)单调递减; 当 x∈(-1k,+∞)时,f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增.
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若 k<0,则当 x∈(-∞,-1k)时,f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增; 当 x∈(-1k,+∞)时,f′(x)<0, 函数 f(x)单调递减. (3)由(2)知,若 k>0,则当且仅当-1k≤-1, 即 k≤1 时,函数 f(x)在(-1,1)内单调递增; 若 k<0,则当且仅当-1k≥1,即 k≥-1 时, 函数 f(x)在(-1,1)内单调递增. 综上可知,函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k 的取值范围是[-1,0)∪(0,1].
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