2019-2020学年高中数学 第2章 等比数列 复习检测教案 新人教版必修5.doc


2019-2020 学年高中数学 第 2 章 等比数列 复习检测教案 新人教版必 修5
1、等比数列的定义

如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做 等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示.

注意(1)、q 是 顺序不要错,即

指从第 2 项起每一项与前一项的比,

(2)、由定义可知,等比数列的任意一项都不为 0,因而公比 q 也不为 0.

(3)、公比 q 可为正数、负数,特别当 q=1 时,为常数列 a1,a1,……;

q=-1 时,数列为 a1,-a1,a1,-a1,…….

(4)、要证明一个数列是等比数列,必须对任意 n∈N+,

an+1÷an=q,或 an÷an-1=q(n≥2)都成立.

2、等比数列的通项公式

由 a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,……,归纳出 an=a1qn-1.此式对 n=1 也成立.

3、等比中项

如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中 项.

4、等比数列的判定方法

(1)、an=an-1· q(n≥2),q 是不为零的常数,an-1≠0

{an}是等比数列.

(2)、an2=an-1· an+1(n≥2, an-1,an,an+1≠0)

{an}是等比数列.

(3)、an=c· qn(c,q 均是不为零的常数)

{an}是等比数列.

5、等比数列的性质

设{an}为等比数列,首项为 a1,公比为 q.

(1)、当 q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,{an}是递增数列;当 q>1,a1<0 或 0<q<1,a1>0 时, {an}是递减数列;当 q=1 时,{an}是常数列;当 q<0 时,{an}是摆动数列.

(2)、an=am· qn-m(m、n∈N*).

(3)、当 m+n=p+q(m、n、q、p∈N*)时,有 am· an=ap· aq.

(4)、{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项之积.

(5)、数列{λan}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列;若{bn}是公比为 q′的等

比数列,则数列{an· bn}是公比为 qq′的等比数列;数列 比为|q|的等比数列.

是公比为 的等比数列;{|an|}是公

(6)、在{an}中,每隔 k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且 公比为 qk+1.

(7)、当数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lgan}是公差为 lgq 的等差数列.

(8)、{an}中,连续取相邻两项的和(或差)构成公比为 q 的等比数列.

(9)、若 m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时,am、an、ap 成等比数列.

6、等比数列的前 n 项和公式

由此得 q≠1 时等比数列{an}的前 n 项和的公式

.

因为 an=a1qn-1,所以上面公式还可以写成 当 q=1 时,Sn=na1.

.

7、等比数列前 n 项和的一般形式

一般地,如果 a1,q 是确定的,那么

8、等比数列的前 n 项和的性质

(1)、若某数列前 n 项和公式为 Sn=an-1(a≠0,±1),则{an}成等比数列.

(2)、若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 Sn+m=Sn+qn· Sm.

(3)、在等比数列中,若项数为 2n(n∈N*),则

(4)、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列.

二、举例讲解

1、利用等比数列的通项公式进行计算.

【例 1】 在等比数列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8 ①求通项公式,②求 a1a3a5a7a9.

解析:①设公比为 q,则由已知得

【例 2】 有四个数,前三个成等差,后三个成等比,首末两项和 37,中间两项和 36,求这四 个数.

解析 1:按前三个数成等差可设四个数为:a-d,a,a+d,

,由已知得:

解析 2:按后三个数成等比可设四个数为 2a-aq,a,aq,aq2,

由已知得:

解析 3:依条件设四个数分别为 x,y,36-y,37-x,

2、利用等比数列的性质解题.

【例 3】等比数列{an}中,

(1)、已知 a 2 ? 4, a5 ? ?

1 ,求通项公式.(2)、已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 2

3、如何证明所给数列是否为等比数列.

【例 4】 设{an}是等差数列, bn ? ( ) n ,已知 b1 ? b2 ? b3 ?
a

1 2

21 1 , b1b2 b3 ? ,求等差数列 8 8

的通项 an.

4、利用等比数列的前 n 项和公式进行计算.

【例 5】 若数列{an}成等比数列,且 an>0,前 n 项和为 80,其中最大项为 54,前 2n 项之和为 6560,求 S100=? 5、利用 an,Sn 的公式及等比数列的性质解题. 【例 6】 数列{an}中,a1=1,且 anan+1=4n,求前 n 项和 Sn.

解析:由已知得 anan+1=4n

……①

an+1an+2=4n+1 ……②

a1≠0,②÷①得 ∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…;

.

a2,a4,a6,…,a2n,…都是公比 q=4 的等比数列,a1=1,a2=4.

①当 n 为奇数时,

作业:《学案》P48 面双基训练


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