上海市浦东新区区高三数学理科二模卷含答案


2015 年上海市浦东新区高三二模

数学试卷(理科)

注意:1.答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.

2.本试卷共 23 道试题,满分 150,考试时间 120 分钟.

一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分);考生应在答题纸相应编号的空格内直接填

写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.不等式 3x ? 2 的解为

..

2.设 i 是虚数单位,复数 ?a ? 3i??1 ? i? 是实数,则实数 a ?

.

3.已知一个关于

x,

y

的二元一次方程组的增广矩阵为

?1

? ?

0

?1 1

2?

2

? ?

,则

x

?

y

?

.

4.已知数列?an? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ,则该数列的通项公式 an ?

.

5.已知

? ??

x2

?

1 x

?n ? ?

展开式中二项式系数之和为

1024,则含

x2

项的系数为

.0

6.已知直线 3x ? 4y ? 2 ? 0 与 ? x ? 1?2 ? y2 ? r2 圆相切,则该圆的半径大小为

.

7.在极坐标系中,已知圆 ? ? 2r sin? ?r ? 0? 上的任意一点 M ??,? ? 与点 N ?2,? ? 之间的最小

距离为 1,则 r ?

.

8.若对任意 x?R ,不等式 sin 2x ? 2sin2 x ? m ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是

.

9.已知球的表面积为 64? cm2 ,用一个平面截球,使截面球的半径为 2 cm ,则截面与球心的

距离是

cm

10.已知随机变量? 分别取 1、2 和 3,其中概率 p ?? ? 1? 与 p ?? ? 3? 相等,且方差 D? ? 1 ,
3

则概率 p?? ? 2? 的值为

.

2
11.若函数 f ? x? ? x2 ? x3 ? 4 的零点 m ??a, a ?1? , a 为整数,则所以满足条件 a 的值
为.
12.若正项数列?an? 是以 q 为公比的等比数列,已知该数列的每一项 ak 的值都大于从 ak?2 开
始的各项和,则公比 q 的取值范围是 .
13.已知等比数列?an? 的首项 a1 、公比 q 是关于 x 的方程 ?t ?1? x2 ? 2x ? ?2t ?1? ? 0 的实数

解,若数列?an? 有且只有一个,则实数 t 的取值集合为

.

14.给定函数 f ? x? 和 g ? x? ,若存在实常数 k,b ,使得函数 f ? x? 和 g ? x? 对其公共定义域 D

上的任何实数 x 分别满足 f ? x? ? kx ? b 和 g ? x? ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为函数 f ? x?

和 g ? x? 的“隔离直线”.给出下列四组函数:



f

?x?

?

1 2x

?1, g ? x?

? sin x

;②

f

?x?

?

x3, g ?x?

?

?1 x





f

?x?

?

x

?

1 x

, g ? x?

?

lg x

;④

f

?x?

?

2x

?

1 2x

,

g ? x?

?

x

其中函数 f ? x? 和 g ? x? 存在“隔离直线”的序号是 .

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分);每小题给出四个选项,其中有且只有一个选 项是正确的,考生应在答题纸相应的位置上,选对得 5 分,否则一律不得分.

15.已知 a,b 都是实数,那么“ 0 ? a ? b ”是“ 1 ? 1 ”的 ab

()

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

16.平面? 上存在不同的三点到平面 ? 的距离相等且不为零,则平面? 与平面 ? 的位置关系



()

A. 平行

B. 相交

C. 平行或重合

D. 平行或相交

17.若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y2 ? 3 没有公共点,设点 P 的坐标 ?a,b? ,那过点 P 的一条

直线与椭圆 x2 ? y2 ? 1 的公共点的个数为 43

A. 0

B. 1

C. 2

18.如图,正方体 P1P2P3P4 ? Q1Q2Q3Q4 的棱长为 1,设

()

D. 1 或 2

? ? ?? ? ? x ? P1Q1?SiTj , Si ,Tj ? Pi ,Qj , i, j ??1,2,3,4? ,
对于下列命题: ①当 SiTj ? PiQi 时, x ?1;
②当 x ? 0 时, ?i, j? 有 12 种不同取值;
③当 x ? ?1时, ?i, j? 有 16 种不同的取值;
④ x 的值仅为 ?1,0,1 . 其中正确的命题是

()

P4 P1

P3 P2

Q4 Q1

Q3 Q2

A. ①②

B. ①④

C. ①③④

D. ①②③④

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分):解答下列各题必须在答题纸的相应位置上,

写出必要的步骤. 19. (本大题共有 2 个小题,满分 12 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分.
已知函数 f ? x? ? x ? a ,? x ? 0?, a 为实数.
x
(1)当 a ? ?1时,判断函数 y ? f ? x? 在 ?1, ??? 上的单调性,并加以证明;
(2)根据实数 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ? x? 的最小值.

20. (本大题共有 2 个小题,满分 12 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面正方形 ABCD 为边长为 2, PA ? 底面 ABCD , E 为

BC 的中点, PC 与平面 PAD 所成的角为 arctan 2 . 2

P

(1)求异面直线 AE 与 PD 所成角的大小(结果用反三角函数表示);

(2)求点 B 到平面 PCD 的距离.

A

D

B

C

21. (本大题共有 2 个小题,满分 14 分)第(1)题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分.

一颗人造卫星在地球上空 1630 千米处沿着圆形轨道匀速运行,每 2 小时绕地球一周,将地

球近似为一个球体,半径为 6370 千米,卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合,已知卫星

与中午 12 点整通过卫星跟踪站 A 点的正上空 A' ,12:03 时卫星通过 C 点,(卫星接收天

线发出的无线电信号所需时间忽略不计)

(1)求人造卫星在 12:03 时与卫星跟踪站 A 之间的距离.(精确到 1 千米)

(2)求此时天线方向 AC 与水平线的夹角(精确到 1 分).

C A'

A

O

22. (本大题共有 3 个小题,满分 16 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 6 分. 已知直线 l 与圆锥曲线 C 相交于两点 A, B ,与 x 轴, y 轴分别交于 D、E 两点,且满足
EA ? ?1 AD EB ? ?2 BD

(1)已知直线 l 的方程为 y ? 2x ? 4 ,抛物线 C 的方程为 y2 ? 4x ,求 ?1 ? ?2 的值;

(2)已知直线 l : x ? my ?1?m ? 1? ,椭圆 C : x2 ? y2 ? 1,求 1 ? 1 的取值范围;

2

?1 ?2

(3)已知双曲线

C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

? 0,b

? 0?,?1

? ?2

?

2a2 b2

,试问 D 是否为定点?若是,求

点 D 的坐标;若不是,说明理由.

23. (本大题共有 3 个小题,满分 18 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分. 第(3)小题满分 8 分.
记无穷数列?an? 的前 n 项 a1, a2 , , an 的最大项为 An ,第 n 项之后的各项 an?1, an?2 , 的
最小项为 Bn ,令 bn ? An ? Bn .
(1)若数列?an? 的通项公式为 an ? 2n2 ? 7n ? 6 ,写出 b1,b2 ,并求数列?bn? 的通项公式;
(2)若数列?bn? 的通项公式为 bn ? 1? 2n ,判断?an?1 ? an? 是否等差数列,若是,求出公
差;若不是,请说明理由;
(3)若数列?bn? 为公差大于零的等差数列,求证:?an?1 ? an? 是否为等差数列.


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