2013届高三数学(理)一轮复习方案课件【人教A版】第33讲一元二次不等式的解法_图文


第33讲 │ 一元二次不等式的解法

第33讲

一元二次不等式的解法

第33讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函 数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式, 会设计求解的程序框图.

第33讲 │ 知识梳理

知识梳理
1.一元一次不等式的解法
? 一元一次不等式 ax>b( ? 的解集为: ?a≠0) ? b ? ?x?x> ? a ? ? ?? ? ?? ①当 a>0 时,解集为____________ . ? ? b ? ?x?x< ? a ? ? ②当 a<0 时,解集为____________ . ? ? ?

第33讲 │ 知识梳理
2.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右端化为 0, 左端化为二次项系数大于零的 不等式 ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0). (2)求出相应一元二次方程的根.

x轴的交点情况 (3)利用二次函数的图象与 ____________ 确定一元二次不
等式的解集.

第33讲 │ 知识梳理
3.一元二次不等式的解集

第33讲 │ 知识梳理

{x|x<x1或 x>x2}

? b? ? ? ? ?x?x≠- ? 2a? ? ? ? ?

{x|x∈R}

{x|x1<x<x2}

?

?

第33讲 │ 知识梳理
4.分式不等式与一元二次不等式的关系 x- a (x-a)(x-b)>0 , >0等价于______________ x- b x- a <0等价于(x-a)(x-b)<0, x- b ? ?(x-a)(x-b)≥0, ? x- a ? ≥0等价于______________ , ?x-b≠0 x- b ? x- a ?(x-a)(x-b)≤0, ≤0等价于? ? x- b ?x-b≠0

第33讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题1 关于不等式ax>b
?b ? ? ,+∞? ?a ?

(1)a>0时,解集为 ( )

;a<0时,解集为

? b? ?-∞, ? a? ?



(2)a=0时,不等式的解集为?.(

)

第33讲 │ 问题思考
[答案] (1)对 (2)错

[解析] (1)根据不等式的性质解不等式即得. (2)若a=0,b≥0,则不等式的解集为?;若a=0,b<0,则 不等式的解集为R.

第33讲 │ 问题思考
? 问题2 对于不等式ax2+bx+c>0

(1)若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x1,x2,则解 集为(-∞,+∞);( ) )

(2)若方程ax2+bx+c=0无实数根,则解集为R.(

第33讲 │ 问题思考

[答案] (1)错

(2)错

[解析] ∞,+∞).

若方程ax2+bx+c=0无实根,且a>0时,解集为(-

第33讲 │ 问题思考

x-a x- a ? 问题3 (1)不等式 >0?(x-a)(x-b)>0, <0 x-b x-b ?(x-a)(x-b)<0;( ) ? x-a ??x-a??x-b?≥0, x-a (2) ≥0?? ≤0? ? x-b x - b ?x-b≠0,
? ??x-a??x-b?≤0, ? ? ?x-b≠0;

(

) )

x-a (3) >c?x-a>c(x-b).( x-b

第33讲 │ 问题思考
[答案] (1)对 (2)对 (3)错 [解析] (1)根据两数相除为正,则两数同号,相除为负, 则两数异号可得. (2)理由同(1),但要注意分母不等于零. x- a (3)根据不等式的性质,当x-b>0时, >c?x-a>c(x x- b x- a x-a -b),当x-b<0时, >c?x-a<c(x-b),故 >c? x- b x-b ? ? ?x-a>c?x-b?, ?x-a<c?x-b?, ? 或者? ? ? ?x-b>0, ?x-b<0. 这类不等式一般是变换为一端为零的情况,再进行转 化.

第33讲 │ 问题思考

?

问题4

(1)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的充要条 ) ) )

件是a<0且Δ=b2-4ac≤0;(

(2)M≤f(x)(x∈D)的充要条件是M≤[f(x)]min;( (3)N>f(x)(x∈D)的充要条件是N>[f(x)]max.(

[答案] (1)错

(2)错

(3)错

第33讲 │ 问题思考
[解析] (1)不等式ax2+bx+c≤0未必是一元二次不等式,在 a=0,b=0,c≤0时,ax2+bx+c≤0也在R上恒成立. (2)函数f(x)在其定义域D上未必有最小值,如果有最小 值,则上述结论成立;如果没有最小值,函数f(x)的值域为 (m,n),则M≤f(x)的充要条件是M<m. (3)函数f(x)在其定义域D上未必有最大值,如果有最大 值,则上述结论成立;如果没有最大值,函数f(x)的值域为 (m,n),则N>f(x)的充要条件是N≥n.(注意(2)(3)两个问题的区 别)

第33讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 一元二次不等式的解法
1 例1(1)[2011· 哈三中等四校二模] 不等式 <1的解集记 x-1 为p,关于x的不等式x2+(a-1)x-a>0的解集记为q,已知p 是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( A.(-2,-1] B.[-2,-1] C.? D.[-2,+∞) )

(2)不等式x2+x-1<0的解集是________________.

第33讲 │ 要点探究
[思路] (1)把不等式的解集求出,问题等价于前面不等式的 解集是后面一个不等式的解集的真子集;(2)使用求根公式求出 方程x2+x-1=0的根,写出不等式的解集.
?-1- (2)? ? 2 ?

[答案] (1)A

5 -1+ 5? ? , ? 2 ?

第33讲 │ 要点探究
x-2 1 1 [解析] (1)不等式 <1等价于 -1<0,即 >0,即 x-1 x-1 x-1 (x-2)(x-1)>0,解得x>2或x<1.不等式x2+(a-1)x-a>0可以化 为(x-1)(x+a)>0.由p是q的充分不必要条件,当-a≤1时,不等 式的解是x>1或者x<-a,此时只能是a=-1.当-a>1时,不等 式(x-1)(x+a)>0的解是x<1或者x>-a,只能是-a<2,即- 2<a<-1.综合知-2<a≤-1.答案A.

第33讲 │ 要点探究
-1- 5 -1+ 5 (2)方程x +x-1=0的根是x1= ,x2= ,故 2 2
2

不等式x

2

?-1- ? +x-1<0的解集是? 2 ?

5 -1+ 5? ? , ?. 2 ?

第33讲 │ 要点探究
[点评] (1)简单的分式不等式,可以根据不等式的性质转化 为一元二次不等式;含有参数的一元二次不等式,在其对应的 一元二次方程的根可以通过十字相乘求出时,分类求解的标准 就是这个不等式的二次项系数和这两个根的大小;(2)一元二次 不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解是与其二次项系数的 符号和方程ax2+bx+c=0的根密切相关的,不等式解集的分界 点就是方程ax2+bx+c=0的两个实根,有些问题就要根据这个 道理解决.

第33讲 │ 要点探究
变式题 (1)在R上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 )

x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为( A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)

(2)若关于x的不等式(2x-1)2<ax2的解集中整数恰好有3个, 则实数a的取值范围是________.

第33讲 │ 要点探究
[解析] (1)B
?25 49? (2)? 9 ,16? ? ?

[解析] (1)根据定义x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+ x-2<0,解得-2<x<1,所以所求的实数x的取值范围为(- 2,1),故选B.

第33讲 │ 要点探究
(2)因为不等式等价于(-a+4)x2-4x+1<0,其中(-a+4)x2 -4x+1=0中的Δ=4a>0,且有4-a>0,故0<a<4.不等式的解集 1 1 1 1 1 为 <x< , < < ,则一定有1,2,3为所求的整数解 2+ a 2- a 4 2+ a 2
?25 49? 1 集.所以3< ≤4,解得a的范围为? 9 ,16?. ? ? 2- a

第33讲 │ 要点探究
? 探究点2
例2

含有参数的一元二次不等式的解法

解关于 x 的不等式:ax2-(2a+1)x+2<0.

第33讲 │ 要点探究
[思路] 这个不等式的左端可以通过十字相乘的方法分解因 式,然后根据 a>0、a=0、a<0 的情况和方程 ax2-(2a+1)x+2 =0 两个根的大小进行分类求解.

第33讲 │ 要点探究
[解答] 不等式ax2-(2a+1)x+2<0, 即(ax-1)(x-2)<0. ? 1? (1)当a>0时,不等式可以化为?x-a?(x-2)<0. ? ? ? 1? 1 1 ①若0<a< ,则a>2,此时不等式的解集为?2,a?; 2 ? ? 1 ②若a= ,则不等式为(x-2)2<0,不等式的解集为?; 2 ?1 ? 1 1 ③若a> ,则a<2,此时不等式的解集为?a,2?. 2 ? ?

第33讲 │ 要点探究
(2)当 a=0 时,不等式即-x+2<0.此时不等式的解集为(2, +∞). ? 1? 1 ? ? (3)当 a<0 时,不等式可以化为 x-a (x-2)>0.由于a<2,故 ? ? ? 1? 不等式的解集为?-∞,a?∪(2,+∞). ? ? ? 1? 综上所述:当 a<0 时,不等式的解集为?-∞,a?∪(2,+∞); ? ? 1 当 a=0 时,不等式的解集为(2,+∞);当 0<a< 时,不等式的 2 ? 1? 1 1 ? ? 解集为 2,a ;当 a= 时,不等式的解集为? ;当 a> 时,不等 2 2 ? ? ?1 ? 式的解集为?a,2?. ? ?

第33讲 │ 要点探究
[点评] 本题是由于不等式的求解法则引发的分类讨论. 本题 的分类首先根据 a>0,a=0,a<0 进行一级分类,这个分类标准 是根据不等式的性质进行的分类;在第一种情况下,又要根据方 程 ax2-(2a+1)x+2=0 根的大小,进行二级分类,这个分类标 准是根据不等式的求解法则制定的.在分类讨论问题中,如果涉 及二级分类,要先进行一级分类,再进行二级分类,把问题表述 清楚,最后整合结论时,要根据情况按照一定的次序进行,如本 题中是按照实数 a 从小到大的顺序进行表述的. 含有参数的一元 二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的情况下, 按照本 题的方法求解,但如果不能根据因式分解的方法求出其根,则需 要按照不等式对应方程根判别式的情况进行分类,看下面的变 式.

第33讲 │ 要点探究

变式题

解关于 x 的不等式 x2-x+a>0.

第33讲 │ 要点探究
[解答] 方程 x2-x+a=0 的判别式 Δ=1-4a. 1 (1)当 Δ<0,即 a> 时,方程 x2-x+a=0 无实根,此时不等 4 式 x2-x+a>0 的解集为 R; 1 (2)当 Δ=0,即 a= 时,方程 x2-x+a=0 有两个相等的实 4 ? 1? 1 2 根 x1 = x2 = , 此 时 不 等 式 x - x + a>0 的 解 集 为 ?-∞,2? 2 ? ? ?1 ? ∪?2,+∞?; ? ?

第33讲 │ 要点探究
1 (3)当 Δ>0,即 a< 时,方程 x2-x+a=0 有两个不相等的实 4 根 1- 1-4a 1+ 1-4a x1 = ,x2= , 2 2 此时不等式 x2-x+a>0 的解集为 ? ? ? 1- 1-4a? ? ? ?1+ 1-4a ? ∪ ,+∞?. ?-∞, ? ? 2 2 ? ? ? ? 1 1 综上所述:当 a> 时,不等式的解集为 R;当 a≤ 时,不等 4 4 式的解集是 ? ? ? 1- 1-4a? ? ? ?1+ 1-4a ? ∪ - ∞ , ,+ ∞ ? ? ? ?. 2 2 ? ? ? ?

第33讲 │ 要点探究
? 探究点3
例3

含参数的一元二次不等式恒成立问题
已知函数f(x)=x2+(lga

[2011· 甘肃甘谷三中三检]

+2)x+lgb满足f(-1)=-2且对于任意x∈R,恒有f(x)≥2x成 立. (1)求实数a,b的值; (2)解不等式f(x)<x+5.

第33讲 │ 要点探究
[解答] (1)由f(-1)=-2知, lgb-lga+1=0,① a ∴b=10.② 又f(x)≥2x恒成立,有x2+x· lga+lgb≥0恒成立,故Δ=(lga)2 -4lgb≤0.将①式代入上式得:(lgb)2-2lgb+1≤0,即(lgb- 1)2≤0,故lgb=1,即b=10,代入②得,a=100. (2)由(1)得,f(x)=x2+4x+1, f(x)<x+5,即x2+4x+1<x+5, ∴x2+3x-4<0. 解得:-4<x<1,∴不等式的解集为{x|-4<x<1}.

第33讲 │ 要点探究
? 探究点4 一元二次不等式的实际应用

例4 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研 部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳 转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最 少为400 t,最多为600 t,月处理成本y(元)与月处理量x(t)之 1 2 间的函数关系可近似表示为:y= x -200x+80 000,且每处 2 理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处 理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如 果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏 损?

第33讲 │ 要点探究

y [思路] (1)平均成本即x,把其用x表示出来,用基本不等式 求解其最小值时的x值;(2)获利模型即收入减去成本,本题即 100x-y,获利即100x-y>0,根据这个不等式的解和x的范围 说明是否获利,根据这个函数的最小值说明国家补贴的最小 值.

第33讲 │ 要点探究
[解答] (1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为: y 1 80000 x=2x+ x -200 ≥2 1 80000 x· x -200=200, 2

1 80000 当且仅当 x= x ,即x=400时, 2 才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.

第33讲 │ 要点探究
(2)设该单位每月获利为S, ?1 ? 2 则S=100x-y=100x-?2x -200x+80000? ? ? 1 2 =- x +300x-80000. 2 若S>0,则x2-600x+160000<0,其判别式6002- 4× 160000<0,该不等式无解,故该单位每月不能获利. 1 又S=100x-y=- (x-300)2-35000, 2 因为400≤x≤600, 所以当x=400时,S有最大值-40000. 故需要国家每月至少补贴40000元,才能不亏损.

第33讲 │ 要点探究
[点评] 本题充分体现了不等式在解决实际问题中的作

用.解决实际问题的基本方法之一,是建立其函数模型,一个 函数的变化情况对实际问题作出解释和结论,建立的函数模型 有时就要根据不等式进行研究.

第33讲 │ 规律总结 规律总结
1.含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论.在能够 直接求出不等式对应方程根的情况下,根的大小是分类的标准; 在需要使用求根公式才能确定不等式对应方程根的情况下,方程 的判别式是分类的标准.

第33讲 │ 规律总结
2.一元二次不等式在指定范围的恒成立(或者不等式在指定范 围的恒成立),其本质是这个不等式的解集包含着指定的区间.解 决这类问题的基本方法,一是引进函数关系后,通过函数图象实现 数形结合;二是等价转化,转化为求函数的最值或是值域. 3.以实际应用问题的形式给出的不等关系,首先要选择一个 变量建立这个问题的函数模型或者不等式模型,然后再根据问题的 求解目标,选择使用不等式的方法,通过解不等式或者证明不等式 达到解题的目的.


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