2019-2020学年高中数学必 第二章 数列 2.4 等比数列教案 新人教A版必修5.doc


2019-2020 学年高中数学必 第二章 数列 2.4 等比数列教案 新人 教 A 版必修 5
一、 【教学目标】 : 1.知识目标: 1).理解等比数列的定义并能用定义证明数列为等比数列; 2).掌握等比数列的通项公式.会解决知道 n, an ,q, a1 中的三个,求另一个的问题. 2.能力目标: 1).通过等差等比的类比,培养类比思维能力,数学归纳能力及应用数学知识解决问题 的能力。 2). 体会“知三求一”的方程思想 (二)、过程与方法: 由浅入深,循序渐进,不断地激发学生思维的积极性和创造性,使学生自行发现知 识. “创造”知识. (三) 、情感态度与价值观: 通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 二、 【教学重点】 :等比数列的定义及通项公式的推导及应用。 三、 【教学难点】 :灵活应用等比数列定义、通项公式解决一些相关问题。 四、 【教学时间】 :1 课时 五、 【教学方法】 :启发、引导、讨论. 六、 【授课类型】 : 新课 七、 【教学用具】 :三角板、多媒体。 八、 【教学过程】 : (一) 、导入新课 首先回忆一下前几节课所学主要内容: 名称 概念 等差数列

从第2项起,每一项与它前一项的差 等 同一个常数

常数 常数性质 通项公式

公差 d d 可正可负,且可以为零

an ? a1 ? (n ?1)d

通项变形

an ? ak ? (n ? k )d (n, k ? N * )

前面我们已经研究了一类特殊的数列—等差数列, 今天我们一起研究第二类新的数列— —等比数列 (二) 、新知探究 一:创设情境,引入新知 1.有一个巴伊老爷很小气,阿凡提听说后就想治治他。阿凡提给巴伊老爷打工,还说 第一天只需支付 1 分钱,第二天 2 分,第三天 4 分,依次类推,每一天都是前一天的 2 倍, 伊巴老爷觉得才几分钱便欣然同意了,大家猜猜看,到第 30 天,巴伊老爷能支付出工资来 吗?

229 ? 536870912(分) ? 537 (万元)
2.下面我们来看这样几个数列,看其又有何共同特点? 1,2,4,8,16,…,2 ; 5,25,125,625,…; 1,- , ,? ,…; 对于数列①, an = 2
n ?1
63

① ② ③

1 1 2 4

1 8

;

an =2(n≥2) a n ?1 an =5(n≥2) a n ?1
·

对于数列②, an = 5

n

;

对于数列③, an = (?1)

n ?1

1 2
n ?1



an 1 ? ? (n≥2) a n ?1 2

共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数 1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表

示(q≠0) ,即: 1

an =q(q≠0) a n ?1

“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

{ an }成等比数列 ? 2

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0 an

隐含:任一项 an ? 0且q ? 0

“ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件. 3 思考 1: 1.已知等比数列{ an }: (1) an 与 q 能不能是零? (2)公比 q 能不能是 1? 2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 . q= 1 时,{an}为常数

① 1,-1,1,…,(-1)n+1 ; ②1,2,4,6…; ③a,a,a,…,a; ⑤ ④已知 a1=2,an=3an+1 ;

m, 2m, 4m2 ,8m3 ,...

⑥2a,2a,2a,…,2a. 3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列? 非零常数列 2.等比数列的通项公式 1: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 等差数列的通项公式: 方法一:(累加法) ) 方法二:(归纳法)

a2 ? a1 ? d
a3 ? a2 ? d

……

a4 ? a3 ? d

an?1 ? an?2 ? d

an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

?

a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d

(n-1) 式子

? a1 ? 2d a4 ? a3 ? d

? (a1 ? d ) ? d

……
a2 ?q a1
a3 ?q a2
an ?q an ?1

? a1 ? 3d

? (a1 ? 2d ) ? d

类比等差数列,推导等比数列的通项公式:

方法一:(累加法) (等差数列) 方法一:(累乘法) (等比数列)

a2 ? a1 ? d
a4 ? a3 ? d

… …
an ? an?1 ? d

a3 ? a2 ? d

an?1 ? an?2 ? d

?

an ? a1 ? (n ?1)d

(n-1) 个 式子

an ? a1 ? (n ?1)d

an ? q n ?1 a1

a4 ? a3 q ? (a1q 2 )q ? a1q 3



等 差 数列 通 项公 式的 推 导 ( 归 纳 法)

等 比 数列 通 项公 式的 推 导 ( 归 纳

a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d

? a1 ? 2d a4 ? a3 ? d

? (a1 ? d ) ? d

a3 ? a2q ? (a1q)q ? a1q2 a4 ? a3q ? (a1q 2 )q
? a1q3

2 法)

a ? a1q

……

? a1 ? 3d

? (a1 ? 2d ) ? d

… …

an ? a1 ? (n ?1)d

n ?1 ? a n a1 q

3.等比数列的通项公式变形式: an ? am ? qn?m (a1 ? q ? 0) (三) 、例题分析

例1:已知数列?an ? 满足a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 (1)求证:数列?an ? 1? 是等比数列;

(3)已知a3 ? , q ? ? , 求a1;
n ?1

(2)求数列?an ?的通项公式。 例 2:在等比数列{an} a 中:? 1 2an ? 2 证明: n ?1 ? ?2 (1)已知a1 ? 2, q ? 3, a an n ? 162, ? 1求n; an ? 1 1 ? 1 2a ? 2 (2)已知a1 ? 3, q ?a ? a5; n n ?1,求 证明: 2 ? ?2 a ? 1 a ? 1 1 n 1 n
?12 ? an ? 1 ?a2 对于通项公式 ?2 a qn? 来说,有a , q , an , n四个量, n? 1 1 n 可以知三求一 ? an ? 2 ? 1
n

9 3 ??an ?1? 是以a1 ?1 ? 2为首项,公比为2的等比数列。 (4)已知a1 ? 2, a5 ? 8, 求q

例 3: 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别 是 12 与 18,求它的第 1 项与第 2 项. 例 4:在等比数列{an}中,a3=20 ,q=2 ,求 a6 ,an (四)反馈练习

例 1.在等比数列

?an ?



1)a4 ? 27, q ? ?3, 求an ;

(2)a3 ? 12, a4 ? 18, 求a1.
(五)课堂小结 在师生互动中让学生了解:(由学生归纳总结) 等比数列的概念和等比数列的通项公式及变形式的应用. (六) 、课后作业:1)教材 P 53 习题 2.4A 组的第 1,2,3,题 2)类比等差数列思考等比数列有何性质; 【板书设计】 §2.4 等比数列(第 1 课时) (一) 、导入新课 (二) 、新知探究 1.等比数列概念 2.等比数列的通项公式及变形式 (三)例题分析 (四)反馈练习 (五)课堂小结 (六) 、课后作业

教学反思:本节课把等比数列定义及通项公式的探索、发现、创新等思维过程的暴露,知识 形成过程的揭示作为教学重点,同时,由于“思维过程的暴露,知识形成过程的揭示”不像 将知识点和盘托出那么容易,而是通过教师精心设计问题层次,由浅入深,循序渐进,不断 地激发学生思维的积极性和创造性,使学生自行发现知识. “创造”知识


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