《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第二章精要课件 离散型随机变量的分布列_图文


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【学习要求】
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离散型随机变量的分布列

1.在对具体问题的分析中,理解取有限值的离散型随机变量及 其分布列的概念.认识分布列对于刻画随机现象的重要性. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 3.理解二点分布. 【学法指导】 离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随 机现象,利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.定义:一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为
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x1,x2,?,xi,?,xn,X 取每一个值 xi (i=1,2,?, n)的概率 P(X=xi)= pi ,以表格的形式表示如下: X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

这个表称为离散型随机变量 X 的 概率分布 ,或称为离 散型随机变量 X 的 分布列 .

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2.离散型随机变量的分布列的性质 (1) pi≥0,i=1,2,3,?,n ;
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(2)p1+p2+?+pn= 1 . 3.二点分布:如果随机变量 X 的分布列为 X P 为 p 的 二点分布 . 1 p 0 q

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数

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探究点一

离散型随机变量的分布列的性质

问题 1 对于一个随机试验,仅知道试验的可能结果是不够的,
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还要能把握每一个结果发生的概率. 请问抛掷一枚骰子, 朝上 的一面所得点数有哪些值?取每个值的概率是多少? 答 ξ 的取值有 1,2,3,4,5,6, 1 1 1 1 则 P(ξ=1)=6,P(ξ=2)=6,P(ξ=3)=6,P(ξ=4)=6,P(ξ=5) 1 1 =6,P(ξ=6)=6. 列成表格:
1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 称该表格为离散型随机变量 ξ 的分布列. ξ 6 1 6

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问题 2 离散型随机变量 X 的分布列刻画的是一个函数关系吗? 有哪些表示法? 答
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是.随机变量的分布列可以用表格,等式 P(X=xi)=pi(i

=1,2,?,n),或图象来表示.
问题 3 离散型随机变量的分布列有哪些性质?
答 由概率的意义和事件的关系,可知: ①pi≥0,i=1,2,?,n; ②p1+p2+?+pn=1.

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问题 4 利用随机变量研究一类问题,如抽取的奖券是否中 奖,买回的一件产品是否为正品,新生婴儿的性别,投篮
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是否命中等,这些随机试验有什么共同点?
答 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结 果.定义一个随机变量,使其中一个结果对应于 1,另一 个结果对应于 0,即得到服从二点分布的随机变量.

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问题 5 在掷骰子试验中,有 6 个可能结果,如果我们只关心 出现的点数是否小于 4,该试验结果是否服从二点分布?
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?0,如果出现的点数小于4 ? X=? ?1,如果出现的点数不小于4 ?





,{X=0}和{X=

1}分别表示“出现的点数小于 4”和“出现的点数不小于 1 1 4”,X 服从二点分布,P(X=0)=2,P(X=1)=2.

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例 1 设随机变量 X 的分布列
? k? P?X=5?=ak ? ?

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(k=1,2,3,4,5).

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(1)求常数 a 的值; ? 3? (2)求 P?X≥5?; ? ? ?1 7? (3)求 P?10<X<10?. ? ? ? k? 解 (1)由 P?X=5?=ak,k=1,2,3,4,5, ? ? 5 ? k? 5 可知∑ P?X=5?=∑ ak ? k=1 k=1 ?
=a+2a+3a+4a+5a=1, 1 解得 a= . 15

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(2)由(1)可知
? k? k P?X=5?= (k=1,2,3,4,5), ? ? 15

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? ? ? 3? 3? 4? ∴P?X≥5?=P?X=5?+P?X=5?+P(X=1) ? ? ? ? ? ?

3 4 5 4 =15+15+15=5. 本
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?1 ? ? ? 7? 1? 2? 3? (3)P?10<X<10?=P?X=5?+P?X=5?+P?X=5? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 3 2 =15+15+15=5. 小结 离散型随机变量的分布列的性质可以帮助我们求题中

参数 a,然后根据互斥事件的概率加法公式求得概率.

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跟踪训练 1 (1)下面是某同学求得的离散型随机变量 X 的 分布列. X
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P

-1 1 2

0 1 4

1 1 6

试说明该同学的计算结果是否正确.
1 1 解 因为 p1+p2+p3=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=2+4 1 11 +6=12<1. 不满足概率之和为 1 这一性质,因而该同学的计算结果不
正确.

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(2)设 ξ 是一个离散型随机变量,其分布列为 ξ P
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-1 0 1 2 1-2q

1 q2

①求 q 的值; ②求 P(ξ<0),P(ξ≤0).
解 ①由分布列的性质得,1-2q≥0, 1 2 q ≥0,2+(1-2q)+q2=1, 2 ∴q=1- . 2 1
②P(ξ<0)=P(ξ=-1)=2,
P(ξ≤0)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)
? 1 1 2? ? = +1-2?1- ?= 2- . 2 2 2? ? ?

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探究点二 例2 求离散型随机变量的分布列

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将一颗骰子掷两次, 求两次掷出的最大点数 ξ 的分布列.

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解 由题意知 ξ=i(i=1,2,3,4,5,6), 1 1 则 P(ξ=1)=C1C1=36; 6 6 3 3 1 P(ξ=2)=C1C1=36=12; 6 6 5 5 P(ξ=3)=C1C1=36; 6 6
7 7 P(ξ=4)=C1C1=36; 6 6 9 9 1 P(ξ=5)=C1C1=36=4; 6 6

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本 课 所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为 时 栏 ξ 1 2 3 4 5 6 目 1 1 5 7 1 11 开 P 36 12 36 36 4 36 关

11 11 P(ξ=6)= 1 1= . C6C6 36

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小结
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(1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随

机变量 X 取每一个值时对应的随机事件, 然后利用排列、 组合 知识求出 X 取每个值的概率,最后列出分布列. (2)求离散型随机变量 X 的分布列的步骤是:首先确定 X 的所 有可能的取值;其次,求相应的概率 P(X=xi)=pi;最后列成 表格的形式.

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跟踪训练 2 将一颗骰子掷 2 次,求下列随机事件的分布列. (1)两次掷出的最小点数 Y; (2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差 ξ.

解 设(i,j)表示掷两次骰子后出现的点数,i 表示第一次的点
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数,j 表示第二次的点数.
(1)Y 的可能取值为 1,2,3,4,5,6.
当 Y=1 时,(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1), (4,1),(5,1),(6,1). 11 9 1 7 故 P(Y=1)=36,同理 P(Y=2)=36=4,P(Y=3)=36, 5 3 1 1 P(Y=4)=36,P(Y=5)=36=12,P(Y=6)=36.

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所以 Y 的概率分布列为 Y 1 2 3 4 5 6 11 1 7 5 1 1 P 36 4 36 36 12 36
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(2)ξ 的可能取值为-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5. 1 当 ξ=-5 时,出现的点数为(1,6),P(ξ=-5)=36. 当 ξ=-4 时,出现的点数为(1,5),(2,6), 2 1 P(ξ=-4)=36=18. 1 1 5 同理,P(ξ=-3)=12,P(ξ=-2)=9,P(ξ=-1)=36,
6 1 5 1 P(ξ=0)=36=6,P(ξ=1)=36,P(ξ=2)=9,

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1 1 1 P(ξ=3)= ,P(ξ=4)= ,P(ξ=5)= . 12 18 36
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所以 ξ 的分布列为 ξ -5 -4 -3 -2 -1 1 1 1 1 5 P 36 18 12 9 36 0 1 6 1 5 36 2 1 9 3 1 12 4 1 18 5 1 36

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探究点三 例3 实际应用 某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖, 飞镖

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落在靶外的概率为 0.1,飞镖落在靶内的各个点 是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径
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分别为 30 cm,20 cm,10 cm, 飞镖落在不同区域的 环数如图中标示.设这位同学投掷一次得到的环数这个随机 变量为 X,求 X 的分布列.
解 由题意可知, 飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积 成正比,而与它们的位置和形状无关.由圆的半径值可得到三 个同心圆的半径比为 3∶2∶1,面积比为 9∶4∶1,所以 8 环 区域,9 环区域,10 环区域的面积比为 5∶3∶1,则掷得 8 环, 9 环,10 环的概率可分别设为 5k,3k,k,根据离散型随机变量 分布列的性质(2)有 0.1+5k+3k+k=1,解得 k=0.1.

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得到离散型随机变量 X 的分布列为
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X P

0 0.1

8 0.5

9 0.3

10 0.1

小结

这是一道分布列的计算与分布列的性质综合应用的实

际问题,本题利用离散型随机变量分布列的性质:概率和为 1 求出 k 的值,再利用分布列中 ξ 的不同取值对应的事件互为互 斥事件,结合事件性质求解有关事件的概率.

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跟踪训练 3 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区,B 肯定是受 A 感染的.对于 C, 因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的,于是假定他受 A 和 1 受 B 感染的概率都是 .同样也假定 D 受 A、 和 C 感染的概率 B 2 1 都是 .在这种假定之下,B、C、D 中直接受 A 感染的人数 X 3 就是一个随机变量,写出 X 的分布列.
解 用列举法列出受 A 感染的情形: A—B—C—D;

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共有6种情况.

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A 直接感染了 1 个人的情况有①、②2 种;A 直接感染了两个 人的情况有③、④、⑤3 种;A 直接感染了 3 个人的情况有⑥,
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只有 1 种. 所以,所求分布列为
X P 1 1 3 2 1 2 3 1 6

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1.下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是
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(
2 1 2

)

A.

ξ P
ξ

1 1 4
0 1 5

0 1 2
1 2 5

1 1 4
2 3 5

B.

0 1 P -4
ξ P -1 1 4

ξ

1 3 4
0 1 4

C.
P

D.

1 1 2

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解析 本题考查分布列的概念及性质,即 ξ 的取值应互不相同
n

且 P(ξi)≥0,i=1,2,?,n,∑P(ξi)=1.
i=1

本 A 中,ξ 的取值出现了重复性; 课 1 时 B 中,P(ξ=0)=- <0, 4 栏 目 3 开 C 中,∑P(ξ )=1+2+3=6>1. i 5 5 5 5 关 =1 i

答案

D

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?1? P(ξ=i)=a?3?i,i=1,2,3,则 ? ?

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2.设随机变量 ξ 的分布列为 值为
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a的

( C ) 9 B. 13

27 11 A.1 C. D. 13 13 ?1 1 1? 解析 由分布列的性质,得 a?3+9+27?=1, ? ? 27 ∴a= . 13

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3.设某项试验成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 ξ 描述 1
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次试验的成功次数,则 P(ξ=0)等于 1 1 A.0 B. C. 2 3

( C ) 2 D. 3

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4.将一枚硬币扔三次,设 X 为正面向上的次数,则 P(0<X<3)
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=________. 0.75
解析 P(0<X<3)=1-P(X=0)-P(X=3)

1 1 =1- 3- 3=0.75. 2 2

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5.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知 红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一 半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得 1 分,取出 黄球得 0 分,取出绿球得-1 分,试写出从该盒中取出一球
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所得分数 ξ 的分布列.
解 设黄球的个数为 n,由题意知 绿球个数为 2n,红球个数为 4n,盒中球的总数为 7n. ξ 的可能取值为 1,0,-1. 4n 4 n 1 2n 2 ∴P(ξ=1)=7n=7,P(ξ=0)=7n=7,P(ξ=-1)=7n=7.
所以从该盒中随机取出一球所得分数 ξ 的分布列为 ξ P 1 4 7 0 1 7 -1 2 7

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1.离散型随机变量的分布列,不仅能清楚地反映其所取的一
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切可能的值,而且能清楚地看到每一个值的概率的大小, 从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况. 2.一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它 取这个范围内各个值的概率之和.


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