内蒙古自治区人教A版数学(理科)2012届高三单元测试10解三角形


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内蒙古自治区新人教 A 版数学高三单元测试 10

【解三角形】
本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分)
1. 若 ?ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则 ?ABC 是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

2. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a ,b,c,若 a ? 2 ,b=2,sinB+cosB= 2 ,则

角 A 的大小为

()

A. ? 2

B. ? 3

C. ? 4

D. ? 6

3. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列,且

a ? 1, b ? 3,则S?ABC =( )

A. 2

B. 3

C. 3

D.2

2

4. 在△ABC 中 tan A 是以 ? 4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差, tan B 是以 1 为第三 3
项,9 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( )

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、非等腰直角三角形。

5. 已知 ?ABC 中, AB ? 4, AC ? 3, ?BAC ? 60? ,则 BC ? ( )

A.

13

B. 13

C. 5

6. 在锐角 ?ABC 中,若 C ? 2B ,则 c 的范围( ) b

? ? A. 2, 3

? ? B. 3, 2

C. ?0, 2?

D.10
? ? D. 2, 2

7. 在△ABC 中, 已知 a ? 3,b ? 4, c ? 2, 则 c ? cos B ? b ? cos C ? ( )

A2

B3

C4

D5

8. 在 ?ABC 中,已知 B ? 600 且 b ? 3 ,则 ?ABC 外接圆的面积是( )

A

?

2

B

3?

4

C?

D 2?

9. 在 ?ABC 中,A、B、C 所对的边分别是 a 、b 、c ,已知 a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ,则 C ? ( )

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A. ?

B. ?

C. 2?

D. 3?

2

4

3

4

10. 在 ?ABC 中,若 cos Acos B ? sin2 C ,则 ?ABC 是 ( ) 2

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形

D.直角三角形

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分)

11. 已知 ?ABC 中, AB ? 4, ?BAC ? 45? , AC ? 3 2 ,则 ?ABC 的面积为_______
12. 在 ?ABC 中, a,b, c 分别是角 A, B,C 的对边,且 cos B ? ? b ,则角 B 的大小 cos C 2a ? c


13. 在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等差数列,B ? 300 ,?ABC 的 面积为 3 ,则 b ?
2 14. 在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 2 , b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,

则角 A 的大小为

.

三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤)

15. ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B,C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c 且 满 足

c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos(B ? C) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

16. ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 为 内 角 A, B, C 的 对 边 , 且

2asin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C.

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值. 17. (本小题满分 l2 分) 已知函数 f (x) ? cos(2x ? 2? ) ? cos 2x ( x ? R ).
3 (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间;

(Ⅱ) ? ABC 内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,若 f ( B) ? ? 3 ,b ? 1, c ? 3, 且

2

2

a ? b, 试求角 B 和角 C。

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18. (本小题满分 12 分)在 △ABC 中, cos B ? ? 5 , cos C ? 4 .

13

5

(Ⅰ)求 sin A 的值;

(Ⅱ)设 △ABC

的面积 S△ABC

?

33 2

,求 BC

的长.

答案

一、选择题

1. B2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. C9. D10. D

二、填空题
11. 612. 2? 13. 3
三、解答题

3 ?114. ? 6

15. 解析:(I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin Acos C.因为 0 ? A ? ? ,

所以 sin A ? 0.从而sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以tan C ? 1,则C ? ? 4

(II) 3 sin A ? cos(B ? C) ? 3 sin A ? cos(? ? A)

= 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ? ) 6

又 0 ? A ? 3? , ? ? A ? ? ? 11? ,

46

6 12

所以 A ? ? ? ? 即 A ? ? 时 2sin( A ? ? ) 取最大值 2.

62

3

6

综上所述, 3 sin A ? cos(B ? C) 的最大值为 2,此时 A ? ? , B ? 5? . 3 12

16. 解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c

即 a2 ? b2 ? c2 ? bc

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A
故 cos A ? ? 1 ,A=120° 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

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sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B) ? 3 cos B ? 1 sin B

2

2

? sin(60? ? B)

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1

17.

解:(Ⅰ)∵

f

?

x

?

?

cos

? ??

2x

?

2π 3

? ??

?

cos

2

x

?

3 sin 2x ? 3 cos 2x ?

2

2

3

sin

? ??

2x

?

π 3

? ??



∴ 故函数 .

f

? x? 的最小正周期为 π ;递增区间为 ???k?

? ? , k? 12

?

5? 12

? ??

(

k

Z ?

)………6 分

(Ⅱ)

f

? ??

B 2

? ??

?

3

sin

? ??

B

?

π 3

? ??

?

?

3 2

,∴

sin

? ??

B

?

π 3

? ??

?

?

1 2



∵ 0 ? B ? π ,∴ ? π ? B ? π ? 2π ,∴ B ? π ? ? π ,即 B ? π .…………………9 分

3

33

36

6

由正弦定理得:

a sin A

?

1 sin π

?

3 sin C

,∴ sin C

?

3 ,∵ 0 ? C ? π ,∴ C ? π 或 2π .

2

33

6

当 C ? π 时,A ? π ;当 C ? 2π 时,A ? π .(不合题意,舍)

3

2

3

6

所以

B

?

π 6

.



C ? π …12 3

18. 解:(Ⅰ)由 cos B ? ? 5 ,得 sin B ? 12 , ………2 分

13

13

由 cos C ? 4 ,得 sin C ? 3 .

5

5

………4 分

所以 sin A ? sin(B ? C) ? sin B cos C ? cos B sin C ? 33 .………6 分 65

(Ⅱ)由 S△ABC

?

33 2



1? 2

AB ?

AC ? sin

A

?

33 2



由(Ⅰ)知 sin A ? 33 ,故 AB ? AC ? 65 , 65

………8 分

又 AC ? AB ? sin B ? 20 AB ,故 20 AB2 ? 65 , AB ? 13 .……10 分

sin C 13

13

2

所以

………12 分略

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