【2019精品】高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点优化练习 新人教A版必


3.1.1 方程的根与函数的零点 [课时作业] [A 组 基础巩固] 1.若 y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( A.若 f(a)·f(b)<0,不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 B.若 f(a)·f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 C.若 f(a)·f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 D.若 f(a)·f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 解析:由零点存在性定理可知选项 A 不正确; 对于选项 B, 可通过反例“f(x)=x(x-1)(x+1)在区间[-2,2]上满足 f(-2)·f(2)<0, 但 其存在三个零点: -1,0,1”推翻; 选项 C 可通过反例“f(x)=(x-1)·(x+1)在区间[-2,2] 上满足 ) f(-2)·f(2)>0,但其存在两个零点:-1,1”推翻. 答案:D 2.函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) x ) B.(-1,0) D.(1,2) -2 -1 解析:因为函数 f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又 f(-2)=e -4<0,f(-1)=e - 3<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以 f(0)f(1)<0.故函数的一个零点在(0,1). 答案:C 3.若函数 y=f(x)在 R 上递增,则函数 y=f(x)的零点( A.至少有一个 C.有且只有一个 解析:在 R 上单调的函数最多有一个零点. 答案:B 4.若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:一元二次方程有两个不相等的实根,所以 Δ =m -4>0, 解得 m>2 或 m<-2. 答案:C 5.若函数 f(x)在区间(0,2)内有零点,则( ) 1 2 2 ) B.至多有一个 D.可能有无数个 ) A.f(0)>0,f(2)<0 B.f(0)·f(2)<0 C.在区间(0,2)内,存在 x1,x2 使 f(x1)·f(x2)<0 D.以上说法都不正确 解析:函数 y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,我们并不一定能找到 x1, x2∈(a,b),满足 f(x1)·f(x2)<0,故 A、B、C 都是错误的,故选 D. 答案:D 6.函数 f(x)=2- 4-x (x∈[-1,1])的零点个数为________. 解析:令 2- 4-x =0 解得 x=0,所以函数仅有一个零点. 答案:1 7.函数 y=x +2px+1 的零点一个大于 1,一个小于 1,则 p 的取值范围为________. 解析:解法一:由题设,令 f(x)=y=x +2px+1,则有 f(1)<0, 即 1 +2p+1<0,∴p<-1, ∴p 的范围为(-∞,-1) 解法二:设 y=x +2px+1 的零点为 x1,x2 ? ?Δ =4p -4>0, 则? ? x1- x2- ? ?p >1, ? ∴? ?1+2p+1<0, ? 2 2 2 2 2 2 2 2 , 得 p<-1. ? ?p >1, ∴? ?x1x2- ? 2 x1+x2 +1<0, ∴p 的范围为(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) 8.函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是________(填序号). ① (-2,-1);②(-1,0);③(0,1);④(1,2) 解析:∵f(x)=e +x-2,∴f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0. ∴函数 f(x)的零点所在的一个区间是(0,1). 答案:③ 9.求函数 f(x)=2 +lg(x+1)-2 的零点个数. 解析:解法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg 3-2>0,由零点存在性定理,f(x) 在(0,2)上存在实根 又 f(x)=2 +lg(x+1)-2 在(0,+∞)为增函数,故 f(x)有且 只有一个零点. 解法二:(数形结合)在同一坐标系中作出 g(x)=2-2 和 h(x) =lg(x+1)的图象(如图所示),由图象可知有且只有一个交点, 即函数 f(x)有且只有一个零点. 2 x x x x x 10.关于 x 的方程 2x -3x+2m=0 有两实根均在[-1,1]内,求 m 的取值范围. 解析:方程有两实根,所以 Δ ≥0, 即 9-2×2m×4≥0, 9 所以 m≤ . 16 因为两根均在[-1,1]内, 所以{f - , f ? 5 ??m≥- , 2 ? 2 m≥ , 1 2 1 即 m≥ , 2 1 9 综上: ≤m≤ . 2 16 [B 组 能力提升] 1.已知函数 f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于( A.0 C.-1 B.1 D.不能确定 ) 解析:∵奇函数的图象关于原点对称,∴若 f(x)有三个零点,则其和必为 0. 答案:A 1 ?1?x 2.函数 f(x)=x 2 -? ? 的零点个数为( ?2? ) B.1 D.3 A.0 C.2 1 ?1?x 解析:因为 y=x 2 在 x∈[0,+∞)上单调递增,y=? ? 在 x∈R 上单调递减,所以 f(x)= ?2? 1 x 2 -? ?x 在 x∈[0,+∞)上单调递增,又 f(0)=-1<0,f(1)= >0,所以 f(x)=x 2 -? ? 2 ?2? ?2? x ?1? 1 1 ?1? 在定义域内有唯一零点. 答案:B 3.若函数 f(x)= 解析:∵f(x)= x-1 ,则 g(x)=f(4x)-x 的零点是________. x x-1 4x-1 ,∴g(x)= -x,令 g(x)=0, x 4x 4x-1 1 则有: -x

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