高中数学 第三章 第3讲 用导数研究函数的最值


第3讲

用导数研究函数的最值

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.函数 f(x)=x3-3x+1 在[-3,0]上的最大值,最小值分别为________. 解析 f′(x)=3x2-3,令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=1,f(-3)=-17,f(- 1)=3,f(1)=-1,f(0)=1.比较可得 f(x)max=f(-1)=3,f(x)min=f(-3)=-17. 答案 3,-17 2. 已知 a>0, 函数 f(x)=x3-ax 在[1, +∞)上单调递增, a 的最大值是________. 则 解析 因为 f′(x)=3x2-a,所以由题意可得在[1,+∞)上有 3x2-a≥0 恒成 立,所以 a≤(3x2)min,而(3x2)min=3,所以 a≤3. 答案 3 1 3. 函数 f(x)=-3x3+x 在(a,10-a2)上有最大值, 则实数 a 的取值范围是________. 解析 由 f′(x)=-x2+1,易知 f(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,1)上递增, 在 (1 , + ∞) 上 递 减 . 故 函 数 在 (a,10 - a2) 上 存 在 最 大 值 的 条 件 为

?a<1, ?10-a2>1,解得-2≤a<1. ?f?1?≥f?a?,
答案 [-2,1) 4.若函数 f(x)= 答案 x 3 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 3 ,则 a 的值为________. x +a
2

3-1

x2 5.设函数 f(x)=x3- 2 -2x+5,若对任意 x∈[-1,2],都有 f(x)>m,则实数 m 的取值范围是________.

2 解析 f′(x)=3x2-x-2=0,解得 x=1 或-3, 11 ? 2? 157 7 f(-1)= 2 ,f?-3?= 27 ,f(1)=2,f(2)=7. ? ? 7 ∴m<2. 7? ? 答案 ?-∞,2? ? ? π? 1 ? 6.函数 f(x)=2ex(sin x+cos x)在区间?0,2?上的值域为________. ? ? 1 1 解析 f′(x)=2ex(sin x+cos x)+2ex(cos x-sin x)=excos x, π π 当 0≤x≤2时,f′(x)≥0,且只有在 x=2时,f′(x)=0, π? ? ∴f(x)是?0,2?上的增函数, ? ? 1 ?π? 1 π ∴f(x)的最大值为 f?2?=2e2,f(x)的最小值为 f(0)=2. ? ? π? ? ?1 1 π? ∴f(x)在?0,2?上的值域为?2,2e2?. ? ? ? ? ?1 1 π? 答案 ?2,2e2? ? ? 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 1 7.设函数 f(x)=-3x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1. (1)求函数 f(x)的单调区间、极值; (2)若 x∈[0,3a],试求函数 f(x)的最值. 解 (1)f′(x)=-x2+4ax-3a2.令 f′(x)=0,解得 x=a 或 x=3a,列表如下: x f′(x) f(x) (-∞,a) - 递减 a 0 4 -3a3+b (a,3a) + 递增 3a 0 b (3a,+∞) - 递减

由表可知:当 x∈(-∞,a)时,函数 f(x)为减函数;当 x∈(3a,+∞)时,函 数 f(x)也为减函数;当 x∈(a,3a)时,函数 f(x)为增函数. 4 ∴当 x=a 时,f(x)的极小值为-3a3+b;当 x=3a 时,f(x)的极大值为 b.

(2)x∈[0,3a],列表如下: x f′(x) f(x) b 0 (0,a) - 递减 a 0 4 -3a3+b (a,3a) + 递增 3a 0 b

由表知:当 x∈(0,a)时,函数 f(x)为减函数;当 x∈(a,3a)时,函数 f(x)为增函 数. 4 ∴当 x=a 时,f(x)的最小值为-3a3+b;当 x=0 或 x=3a 时,f(x)的最大值为 b. 8.(2011· 莱芜市测试)已知函数 f(x)= x-1 (x∈R). ex-1

(1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数 y=g(x)对任意 x 满足 g(x)=f(4-x),证明当 x>2 时,f(x)>g(x); (3)如果 x1≠x2,且 f(x1)=f(x2),证明 x1+x2>4. (1)解 由 f(x)= x-1 2-x x-1 得 f′(x)= x-1 . e e

令 f′(x)=0,解得 x=2,则 f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,2) + 增 2 0 1 极大值e (2,+∞) - 减

所以 f(x)在(-∞,2)内是增函数,在(2,+∞)内是减函数. 1 函数 f(x)在 x=2 时取得极大值 f(2)= e. (2)证明 因为 g(x)=f(4-x),所以 g(x)= 3-x . e3-x

令 F(x)=f(x)-g(x),即 F(x)= 则 F′(x)=

x-1 3-x - , ex-1 e3-x

2-x 2-x ?2-x??e3-e2x-1? - = . ex-1 e3-x ex+2

当 x>2 时,2-x<0,2x-1>3,从而 e3-e2x-1<0, 则函数 F′(x)>0,F(x)在(2,+∞)上是增函数.

1 1 所以 F(x)>F(2)= e- e=0,故当 x>2 时,f(x)>g(x)成立. (3)证明 因为 f(x)在(-∞,2)内是增函数,在(2,+∞)内是减函数.x1≠x2,

且 f(x1)=f(x2), 所以 x1,2 不可能在同一单调区间内, x 不妨设 x1<2<x2, 由(2)可知 f(x2)>g(x2), 又 g(x2)=f(4-x2),所以 f(x2)>f(4-x2),因为 f(x1)=f(x2), 所以 f(x1)>f(4-x2),因为 x2>2,4-x2<2,x1<2,f(x)在区间(-∞,2)内为增 函数,故 x1>4-x2,即 x1+x2>4.

分层训练 B 级

创新能力提升

1.已知曲线 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R)通过点 P(0,2a2+8),在点 Q(-1, c f(-1))处的切线垂直于 y 轴,则b的最小值为________. 解析 由已知曲线 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R)通过点 P(0,2a2+8)知 c= 2a2+8. 又知其在点 Q(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,
2 c 2a +8 4 ∴f′(-1)=0,即-2a+b=0.∴b= 2a =a+a.

c 4 c ∵a>0,∴b=a+a≥4,即b的最小值为 4. 答案 4 2.(2012· 济宁模拟)已知函数 f(x)的图象过点(0,-5),它的导数 f′(x)=4x3-4x, 则当 f(x)取得极大值-5 时,x 的值应为________. 解析 易知 f(x)=x4-2x2-5,f′(x)=0 时,x=0 或 x=± 1,只有 f(0)=-5. 答案 0 3.已知 a 为实数,函数 f(x)=(x2+1)(x+a).若 f′(-1)=0,则函数 y=f(x)在 ? 3 ? ?-2,1?上的最大值和最小值分别为________. ? ? 解析 ∵f′(-1)=0,∴3-2a+1=0,即 a=2. ? 1? ∴f′(x)=3x2+4x+1=3?x+3?(x+1). ? ? 1 由 f′(x)>0,得 x<-1 或 x>-3;

1 由 f′(x)<0,得-1<x<-3. ? 3 ? ? 1 ? 因此,函数 f(x)的单调递增区间为 ?-2,-1? , ?-3,1? ,单调递减区间为 ? ? ? ? 1? ? ?-1,-3?. ? ? ∴f(x)在 x=-1 处取得极大值为 f(-1)=2; 1 ? 1? 50 f(x)在 x=-3处取得极小值为 f?-3?=27. ? ? 50 13 ? 3? 13 又∵f?-2?= 8 ,f(1)=6,且27> 8 , ? ? ? 3 ? ∴f(x)在?-2,1?上的最大值为 f(1)=6, ? ? ? 3? 13 最小值为 f?-2?= 8 . ? ? 13 答案 6; 8 1 1 4.(2012· 江南十校联考)已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)=3x3+2|a|x2+a· bx 在 R 上有极值,则 a 与 b 的夹角范围为________. 解析 ∵f′(x)=x2+|a|x+a· b,∴f′(x)=0 的 Δ=|a|2-4a· b>0,cos〈a,b〉 |a|2 4 1 a· b =|a||b|< |a|=2, |a|× 2 ?π ? 又 y=cos θ 在(0,π)上是递减的,∴〈a,b〉∈?3,π?. ? ? ?π ? 答案 ?3,π? ? ? 5.(2012· 宿迁市联考)已知 f(x)=2xln x,g(x)=-x2+ax-3. (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若存在 x∈(0,+∞),使 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围; ? x 2? (3)证明对一切 x∈(0,+∞),都有 f(x)>2?ex- e?成立. ? ? (1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2(ln x+1).

1 令 f′(x)=0,得 x= e .

1? ? 当 x∈?0, e?时,f′(x)<0; ? ? ?1 ? 当 x∈? e,+∞?时,f′(x)>0. ? ? 1? ? ?1 ? 所以 f(x)在?0, e?上单调递减;在? e,+∞?上单调递增. ? ? ? ? 1 2 故当 x= e时,f(x)取最小值为-e . (2)解 存在 x∈(0,+∞),使 f(x)≤g(x)成立,即 2xln x≤-x2+ax-3 在 x∈

3 (0, +∞)能成立, 等价于 a≥2ln x+x+ x 在 x∈(0, +∞)能成立, 等价于 a≥(2ln 3 x+x+ x)min. 3 记 h(x)=2ln x+x+ x,x∈(0,+∞),
2 2 3 x +2x-3 ?x+3??x-1? 则 h′(x)= x +1-x2= = . x2 x2

当 x∈(0,1)时,h′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)>0. 所以当 x=1 时,h(x)取最小值为 4,故 a≥4. (3)证明 ? x 2? 记 j(x)=2?ex-e?,x∈(0,+∞), ? ?

?1-x? 则 j′(x)=2? x ?. ? e ? 当 x∈(0,1)时,j′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,j′(x)<0. 2 所以当 x=1 时,j(x)取最大值为-e . 1 2 又由(1)知,当 x= e 时,f(x)取最小值为- e, ? x 2? 故对一切 x∈(0,+∞),都有 f(x)>2?ex-e?成立. ? ? 6. (2012· 江西)已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1] 上单调递减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值. 解 (1)由 f(0)=1, f(1)=0, c=1, 得 a+b=-1, f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex, 则

f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex, 依题意需对任意 x∈(0,1),有 f′(x)<0.当 a>0 时,因为二次函数 y=ax2+(a- 1)x-a 的图象开口向上, f′(0)=-a<0, 而 所以需 f′(1)=(a-1)e<0, 0<a<1. 即 当 a=1 时,对任意 x∈(0,1)有 f′(x)=(x2-1)ex<0,f(x)符合条件; 当 a=0 时,对任意 x∈(0,1),f′(x)=-xex<0,f(x)符合条件;当 a<0 时,因 为 f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故 a 的取值范围为 0≤a≤1. (2)因为 g(x)=(-2ax+1+a)ex, 所以 g′(x)=(-2ax+1-a)ex. (i)当 a=0 时,g′(x)=ex>0,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1,在 x=1 处取 得最大值 g(1)=e. (ii)当 a=1 时,对于任意 x∈(0,1)有 g′(x)=-2xex<0,g(x)在 x=0 处取得最 大值 g(0)=2,在 x=1 处取得最小值 g(1)=0. 1-a (iii)当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= 2a >0. 1-a 1 ①若 2a ≥1,即 0<a≤3时,g(x)在[0,1]上单调递增,g(x)在 x=0 处取得最小 值 g(0)=1+a,在 x=1 处取得最大值 g(1)=(1-a)e. 1-a 1-a 1-a 1 ?1-a? ?=2ae ②若 2a <1,即3<a<1 时,g(x)在 x= 2a 处取得最大值 g? 2a , ? 2a ? 在 x=0 或 x=1 处取得最小值. 而 g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e, e-1 e-1 1 则当3<a≤ 时,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a;当 <a<1 时, e+1 e+1 g(x)在 x=1 处取得最小值 g(1)=(1-a)e. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资 源见《创新设计· 高考总复习》光盘中内容.


相关文档

2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大小值与导数学案
2018_2019高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(小)值与导数课时作业
2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(小)值与导数课件
高中数学第三章导数及其应用3.3.2第2课时利用导数研究函数的最值教学案新人教B版选修1
2017_2018学年高中数学第三章3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(小)值与导数优化练习
高中数学第三章导数及其应用3.3.2第2课时利用导数研究函数的最值课件新人教B版选修1
高中数学第三章导数及其应用3_3_2第2课时利用导数研究函数的最值教学案新人教B版选修1_1
高中数学第三章导数及其应用3_3_2第2课时利用导数研究函数的最值课件新人教B版选修1_1
高中数学第三章导数及其应用3.3.2第2课时利用导数研究函数的最值教学案新人教B版选修1_12
2014创新设计高中数学(苏教版)第三章 第3讲 用导数研究函数的最值
电脑版
?/a>