内蒙古自治区人教A版数学(理科)2012届高三单元测试13基本不等式


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内蒙古自治区新人教 A 版版数学高三单元测试 13

【基本不等式】

本卷共 100 分,考试时间 90 分钟

一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分)

1. 在面积为定值 9 的扇形中,当扇形的周长取得最小值时,扇形的半径是

(A)3

(B)2

(C)4

(D) 5

2. 若 x, y 是正数,且 1 ? 4 ? 1,则 xy 有
xy

A.最大值 16

B.最小值 1 C.最小值 16 16

D.最大值 1 16

? 3. 如果 f(x)=mx2+(m-1)x+1 在区间 (??,1 上为减函数,则 m 的取值范围(



A. (0,

1? 3??

B.

???0,

1 3

?? ?

4. 给出如下四个命题:

C.

???0,

1 3

?

D (0, 1 ) 3



x

?

y

?

z

?|

xy

|?|

yz

| ;② a 2 x

?

a2 y

?

x

?

y ;③ a

?

b, c

?

d, abcd

?

0

?

a c

?

b d



1 ? 1 ? 0 ? ab ? b2

④a b

.其中正确命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

5. 已 知 实 数 ai , bi ? R, (i ? 1,2,....n) , 且 满 足 a12 ? a22 ? ..... ? an 2 ? 1 ,

b12 ? b2 2 ? ..... ? bn 2 ? 1, 则 a1b1 ? a2b2 ? ..... ? anbn 的最大值为( )

A.1

B.2 C. n 2

D. 2 n

6. 设 a ? 0 ,不等式 ax ? b ? c 的解集是?x ?2 ? x ? 1? , a : b : c ? ( )

A.1∶2∶3

B.2∶1∶3 C.3∶1∶2

D.3∶2∶1

7. 今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。当甲、乙两人为一方,丙、丁

两人为另一方时,双方势均力敌;当甲与丙对调以后,甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙

一方;而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合。那么,甲、乙、丙、丁四人的“体力”

由强到弱的顺序是

A.丁、乙、甲、丙 B.乙、丁、甲、丙

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C.丁、乙、丙、甲 D.乙、丁、丙、甲

8. 某厂产值第二年比第一年增长 p% ,第三年比第二年增长 q% ,又这两年的平均增长率为

S%,则 S 与 p ? q 的大小关系是 2

A. S ? p ? q 2

B. S ? p ? q 2

CS ? p?q 2

DS ? p?q 2

9. 已知正项等比数列{an }满足 : a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 am 、 an 使得 aman ? 4a1 ,则

1 ? 4 的最小值为( mn
A. 3 2


B. 5 3

C. 25 6

D.不存在

10. 买 4 枝郁金香和 5 枝丁香的金额小于 22 元,而买 6 枝郁金香和 3 枝丁香的金额和大于 24

元,那么买 2 枝郁金香和买 3 枝丁香的金额比较,其结果是(



A.前者贵 B.后者贵 C.一样 D.不能确定

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分)

11. 函数 y ? loga (x ? 2) ?1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0

上,其中 mn ? 0 ,则 1 ? 2 的最小值为

.

mn

12. 设 a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1; ②a+b=2;③a+b>2;④a 2 +b 2 >2;⑤ab>1,

其中能推出:“a、b 中至少有一个实数大于 1”的条件是____________.

23 ? 53 ? 22 ?5 ? 2 ?52

24 ? 54 ? 23 ?5 ? 2 ?53

13. 考察下列一组不等式:

5

5

1

1

将上述不等式在左右两端仍为两项和

22 ? 52 ? 22 ?52 ? 22 ?52

??

的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式为 ___。

14. 若 A,B,C 为△ABC 的三个内角,则 4 + 1 的最小值为



A B?C

三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤)

15. (本小题满分 10 分)已知 a,b,c 是全不相等的正实数,

求证: b ? c ? a ? a ? c ? b ? a ? b ? c ? 3 .

a

b

c

16. (本小题满分 10 分)

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已知 a,b,m 是正实数,且 a<b,求证: a < a ? m b b?m

(12 分)

17. (本小题满分12分)甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超

过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变

部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.

(Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;

(Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

18. (本小题满分 12 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x ( x ? N * )

千件,需另投入成本为 C(x) ,当年产量不足 80 千件时, C(x) ? 1 x 2 ? 10x (万元);当年 3

产量不小于

80

千件时,

C(x)

?

51x

?

10000 x

?

1450

(万元).通过市场分析,若每.件.售价为

500 元时,该厂年内生产该商品能全部销售完. (1)写出年利润 L (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

答案 一、选择题 1. A2. C3. C 解析:依题意知,若 m=0,则成立;若 m≠0,则开口向上,对称轴不小于 1,从而取并集解得 C。 4. B5. A6. B7. A8. C9. A10. A

解析:设郁金香

x

元/枝,丁香

y

元/枝,则

?4 ??6

x x

? ?

5 3

y y

? ?

22① 24②

,∴由不等式的可加(减)性,

得 x>3,y<2,∴2x>6,3y<6,故前者贵。

二、填空题

11. 3 ? 2 2 12. ③13. a m?n ? bm?n ? a mbn ? a nbm ?a, b ? 0, a ? b, m, n ? 0?

解析:仔细观察左右两边式子结构的特点、指数的联系,便可得到。

14. 9 ?

因 为 A + B + C = ? , 且 (A + B + C) · ( 4 + 1 ) = 5 + 4 · B ? C + A ≥ 5 +

A B?C

A

B?C

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2 4 ? B ? C ? A =9,因此 4 + 1 ≥ 9 ,当且仅当 4· B ? C = A ,即 A=2(B+

A B?C

A B?C ?

A B?C

C)时等号成立.

三、解答题

15. 证法 1:(分析法)

要证 b ? c ? a ? a ? c ? b ? a ? b ? c ? 3

a

b

c

只需证明 b ? c ?1 ? c ? a ?1 ? a ? b ?1 ? 3 aa bb cc

即证 b ? c ? c ? a ? a ? b ? 6 aabbcc

而事实上,由 a,b,c 是全不相等的正实数

∴ b ? a ? 2, c ? a ? 2, c ? b ? 2

ab

ac

bc

∴ b?c ?c?a?a?b?6 aabbcc

∴ b ? c ? a ? a ? c ? b ? a ? b ? c ? 3 得证.

a

b

c

证法 2:(综合法)

∵ a,b,c 全不相等

∴ b 与 a , c 与 a , c 与 b 全不相等. abacbc

∴ b ? a ? 2, c ? a ? 2, c ? b ? 2

ab

ac

bc

三式相加得 b ? c ? c ? a ? a ? b ? 6 aabbcc

∴ (b ? c ?1) ? ( c ? a ?1) ? ( a ? b ?1) ? 3

aa

bb

cc

即 b?c?a ? a?c?b ? a?b?c ?3 .

a

b

c

16. 证明:由 a,b,m 是正实数,故要证 a < a ? m b b?m

只要证 a(b+m)<b(a+m) 只要证 ab+am<ab+bm

只要证 am<bm, 而 m>0

只要证 a<b,

由条件 a<b 成立,故原不等式成立。
17. 解析:(Ⅰ)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 s ,全程运输成本为 v

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? ? y ? a ? bv2 s ? s( a ? bv) vv

故所求函数及其定义域为 y ? s( a ? bv), v ? (0, c] . v

(Ⅱ)依题意知s,a,b,v都为正数,故有 s( a ? bv) ? 2s ab v

当且仅当 a ? bv ,即 v ? a 时等号成立。

v

b

① 若 a ? c ,则当 v ? a 时, y 取得最小值;

b

b

② 若 a ? c ,则 a ? bc2 , b

s( a ? bv) ? s( a ? bc) ? s[( a ? v ) ? (bv ? bc)]

v

c

vc

? s (c ? v)(a ? bcv) vc

因为 c ? v ? 0 ,且 a ? bc2 ,故有 a ? bcv ? a ? bc2 ? 0 ,

? s (c ? v)(a ? bcv) ? 0 , vc

故 s( a ? bv) ? s( a ? bc) ,当仅且当 v ? c 时等号成立。

v

c

综上可知,若 a ? c ,则当 v ? a 时,全程运输成本最小;若 a ? c ,

b

b

b

当 v ? c 时,全程运输成本 y 最小.

18. 解析: (1)当 0 ? x ? 80, x ? N * 时,

L(x) ? 500?1000x ? 1 x2 ?10x ? 250 ? ? 1 x2 ? 40x ? 250

10000 3

3

当 x ? 80 , x ? N * 时,
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L(x) ? 500?1000x ? 51x ? 10000 ?1450 ? 250 ? 1200 ? (x ? 10000)

10000

x

x

?

L(

x)

?

? ? ?

?

1 3

x

2

?1200 ?

? 40x ? 250 (x ? 10000)

(0 ? x ? 80, x ? N*) (x ? 80, x ? N*)

?

x

(2)当 0 ? x ? 80, x ? N * 时, L(x) ? ? 1 (x ? 60)2 ? 950 3

?当 x ? 60 时, L(x) 取得最大值 L(60) ? 950

当 x ? 80, x ? N ,

? L(x) ? 1200 ? (x ? 10000) ? 1200 ? 2 x ? 10000 ? 1200 ? 200 ? 1000,

x

x

?当 x ? 10000 ,即 x ? 100 时, L(x) 取得最大值 L(100) ? 1000 ? 950. x

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