17-18版:3.2.1 几个常用函数的导数-3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)_图文


3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 学习目标 1 1.能根据定义求函数 y=c,y=x,y=x ,y=x ,y= x的导数. 2 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 原函数 f(x)=c 几个常用函数的导数 导函数 0 f′(x)=__ f(x)=x f(x)=x2 f(x)= 1 x f(x)= x f′(x)=__ 1 2x f′(x)=___ 1 -x2 f′(x)=_______ 1 2 x f′(x)=_______ 知识点二 原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x 基本初等函数的导数公式 导函数 0 f′(x)=____ αxα-1 f′(x)=______ cos x f′(x)=______ -sin x f′(x)=______ xln a a f′(x)=______ (a>0) f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f′(x)= ex f′(x)=____ 1 xln a (a>0,且a≠1) f(x)=ln x 1 x f′(x)=____ 题型探究 类型一 例1 求下列函数的导数. (1)y=x12; 解答 利用导数公式求函数的导数 y′=(x12)′=12x12-1=12x11. 1 (2)y=x4; -4 解答 -4-1 y′=(x )′=-4x 4 =-4x =-x5. -5 (3)y= x3; 解答 3 3 y′=( x )′=( x )′= x 5 5 3 5 3 ?1 5 2 3 ?5 3 = x = 5 . 5 5 x2 5 x x (4)y=2sin 2cos 2; 解答 x x ∵y=2sin cos =sin x,∴y′=cos x. 2 2 (5) y ? log 1 x; 2 解答 1 y′= (log 1 x)? = =- . 1 xln 2 2 xln 2 1 (6)y=3x. 解答 y′=(3x)′=3xln 3. 反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式,需通过恒等变换对解 析式进行化简或变形后求导,如根式化成指数幂的形式求导. 跟踪训练1 求下列函数的导数. 1 (1)y=(1- x)(1+ )+ x; 解答 x 1 ∵y=(1- x)(1+ )+ x x 1 1-x ? 1 = + x= = x 2 , x x 1 ?3 ∴y′=- x 2 . 2 (2)y=2cos -1. 2 2x 2x 解答 ∵y=2cos -1=cos x, 2 ∴y′=(cos x)′=-sin x. 类型二 导数公式的综合应用 命题角度1 利用导数公式解决切线问题 例2 已知点 P( - 1,1) ,点 Q(2,4) 是曲线 y = x2 上两点,是否存在与直线 解答 PQ垂直的切线,若有,求出切线方程,若没有,说明理由. 引申探究 若例2条件不变,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程. 解答 则 y′| x ? x0 =2x0, 因为y′=(x2)′=2x,设切点为M(x0,y0), 4-1 又因为 PQ 的斜率为 k= =1, 2+1 1 而切线平行于 PQ,所以 k=2x0=1,即 x0= . 2 1 1 所以切点为 M( , ). 2 4 1 1 所以所求切线方程为 y- =x- ,即 4x-4 y-1=0. 4 2 反思与感悟 解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用: (1)切点处的导数是切线的斜率; (2)切点在切线上; (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决. 跟踪训练2 解答 已知两条曲线y=sin x,y=cos x,是否存在这两条曲线的 一个公共点,使在这一点处两条曲线的切线互相垂直?并说明理由. 设存在一个公共点(x0,y0),使两曲线的切线垂直, 则在点(x0,y0)处的切线斜率分别为k1=y′| x ? x0 =cos x0, k2=y′| x ? x0 =-sin x0. 要使两切线垂直,必须有k1k2=cos x0(-sin x0)=-1, 即sin 2x0=2,这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直. 命题角度2 利用导数公式求最值问题 例3 求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离. 解答 依题意知抛物线y=x2与直线x-y-2=0平行的切线的切点到直线x- y-2=0的距离最短,设切点坐标为 (x0,x2 0). 1 1 1 ∵y′=(x )′=2x,∴2x0=1,∴x0= , ∴切点坐标为( , ), 2 2 4 1 1 | - -2| 2 4 7 2 ∴所求的最短距离 d = = . 8 2 2 反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式,可求其图象在某一点P(x0,y0)处的切线方 程,可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,一般都与函数 图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况,再利用 导数的几何意义准确计算. 跟踪训练3 已知直线l: 2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A、B两点, O是坐标原点,试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在弧 AOB 上 求一点P,使△ABP的面积最大. 解答 当堂训练 1.下列结论: ①(sin x)′=cos x;② ( x )? = x 5 3 2 3 ; 1 1 ③(log3x)′= ;④(ln x)′= . 3ln x x 其中正确的有 A.0个 5 3 答案 解析 B.1个 C.2个 √ D.3个 5 2 ∵② ( x )? = x 3 ; 3 1 ③(log3x)′= , xln 3

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