2016届高考数学二轮复习 第一部分 专题四 立体几何专题跟踪训练14 文


专题跟踪训练(十四)
一、选择题 1.(2015·兰州双基)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A.10π

B.8π

C.6π

D.9π

[解析] 由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥所得, 所以其体积为圆柱的体 1 积减去圆锥的体积,为:4π ×3- ×4π ×3=8π ,故选 B. 3 [答案] B 2.一个几何体的正视图和侧视图都是面积为 1 的正方形,则这个几何体的俯视图一定 不是( )

[解析] 根据“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可以判断 B 选项中的图形不可能是 其俯视图. [答案] B

3.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边 长均为 1,则该几何体的表面积为( A.1+ 2 B.2+2 2 C. 1 3
1

)

D.2+ 2

[ 解析 ]

依题意得,题中的几何体是底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱锥 P - 1 2 1 2

ABCD(如图),其中底面边长为 1,PD=1,PD⊥平面 ABCD,S△PAD=S△PCD= ×1×1= ,S△PAB
1 2 2 =S△PBC= ×1× 2= ,S 四边形 ABCD=1 =1,因此该几何体的表面积为 2+ 2,选 D. 2 2 [答案] D 4.(2015·石家庄二模)已知三棱锥 O-ABC,侧棱 OA、OB、OC 两两互相垂直,且 OA=

OB=OC=2,则以 O 为球心且 1 为半径的球与三棱锥 O-ABC 重叠部分的体积是(
A. π 2 π B. 3 π C. 6 π D. 8

)

2 3 [解析] 由已知条件可得点 O 到平面 ABC 的距离为 >1, 所以重叠部分是以 O 为球心, 3 1 1 4 π 3 1 为半径的球的 ,故所求体积 V= × π ×1 = . 8 8 3 6 [答案] C 5.(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.3π C.2π +4

B.4π D.3π +4

[解析] 由所给三视图可知, 该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半, 故该几何 1 1 2 体的表面积为 ×2π ×1×2+2× ×π ×1 +2×2=3π +4,故选 D. 2 2 [答案] D 6.(2015·新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图 如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

2

A.

1 1 1 B. C. 8 7 6

1 D. 5

1 [解析] 如图,不妨设正方体的棱长为 1,则截去部分为三棱锥 A-A1B1D1,其体积为 , 6 5 1 又正方体的体积为 1,则剩余部分的体积为 ,故所求比值为 .故选 D. 6 5 [答案] D 7.(2015·安徽卷)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

A.1+ 3 C.1+2 2

B.2+ 3 D.2 2

[解析] 在长、宽、高分别为 2、1、1 的长方体中,该四面体是如图所示的三棱锥 P-

ABC,表面积为 ×1×2×2+
[答案] B

1 2

3 2 ×( 2) ×2=2+ 3,故选 B. 4

8.把边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,连接 AC,得到三棱锥 C-ABD,其正 视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),则其侧视图的面积为( )

3

A.

3 2

B. D.

1 2 2 2

C.1

[解析] 在三棱锥 C-ABD 中, C 在平面 ABD 上的投影为 BD 的中点 O, ∵正方形边长为 2, 1 1 ∴AO=OC=1,∴侧视图的面积为 S△AOC= ×1×1= ,故选 B. 2 2 [答案] B

9.(2015·甘肃兰州诊断)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正 视图中的 x 的值是( A.2 C. 3 2 ) B. 9 2

D.3

1 [解析] 由三视图知,该几何体是四棱锥,底面是一个直角梯形,底面积 S= ×(1+ 2 1 1 2)×2=3,高 h=x,所以其体积 V= Sh= ×3x=3,解得 x=3,故选 D. 3 3 [答案] D 10.在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD 的面积分 别为 2 3 6 , , ,则三棱锥 A-BCD 的外接球体积为( 2 2 2 )
4

A. 6π C.3 6π

B.2 6π D.4 6π

[解析] 如图,以 AB,AC,AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体,则该长方体的外接球恰 为三棱锥的外接球, ∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长.

?AB·AC= 据题意?AC·AD= ?AB·AD=

2, 3, 6,

?AB= 2, 解得?AC=1, ?AD= 3,
2 2 2

∴长方体的体对角线长为 AB +AC +AD = 6, ∴三棱锥外接球的半径为 6 . 2

4 ? 6? 3 ∴三棱锥外接球的体积为 V= π ·? ? = 6π ,故选 A. 3 ?2? [答案] A 11.(2015·湖南卷)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积 尽可能大的正方体新工件, 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内, 则原工件材料的利 新工件的体积 用率为(材料利用率= )( 原工件的体积 )

A. C.

8 9π 24? 2-1? π
3

B. D.

8 27π 8? 2-1? π
3

5

[解析] 由三视图知,原工件为圆锥,要使正方体新工件的体积最大,则正方体下底面 在圆锥底面上, 上底面是平行于圆锥底面的截面圆的内接正方形, 过正方体的顶点作轴截面 如图,且 AB 为上底面正方形的对角线,设正方体的棱长为 a,则 AB= 2a,又圆锥的高为 3 -1 =2 2,所以
2 2

2a 2 2-a 2 2 16 2 3 = ,得 a= ,正方体体积为 V=a = ,圆锥的体积 2 3 27 2 2 16 2 27

1 2 2π 8 2 为 ×π ×1 ×2 2= ,故原工件的材料利用率为 = ,选 A. 3 3 9 π 2 2π 3 [答案] A

12. (2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个 几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π , 则 r=( A.1 [解析]
2 2

) B.2 C.4 D.8

由三视图可知,此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成的,其表面积为
2 2

π r +2π r +4r +2π r =20π +16,所以 r=2,故选 B. [答案] B 二、填空题 13.(2015·西安八校联考)某空间几何体的三视图及尺寸如图,则该几何体的体积是 ________.

6

1 [解析] 根据三视图可知该几何体为三棱柱,其体积 V= ×1×2×2=2. 2 [答案] 2 14.若一个圆台的主视图如图所示,则其表面积为________.

[解析] 由主视图可知, 圆台的母线长为 2 +?2-1? = 5, 故其表面积为 S=π ×1 +π ×2 +π ×(2+1)× 5=5π +3 5π . [答案] 5π +3 5π 15.已知斜三棱柱的三视图如图所示,该斜三棱柱的体积为________.
2

2

2

2

1 [解析] 由三视图可知斜三棱柱的底面积为 ×2×1=1,高为 2,所以其体积为 2×1 2 =2. [答案] 2 16.已知点 A,B,C,D 在同一个球的球面上,AB=BC=2,AC=2 2,若三棱锥 D-ABC 4 的体积的最大值为 ,则该球的表面积为________. 3

7

[解析] 由题意知,△ABC 是一个直角三角形,其面积为 2.其所在小圆的圆心为斜边

AC 的中点,设为 Q,由于底面积 S△ABC 不变,故当高最大时体积最大,所以当 DQ 与平面 ABC
1 4 1 4 垂直时三棱锥 D-ABC 的体积最大,为 ×S△ABC×DQ= ,即 ×2×DQ= ,所以 DQ=2.如图, 3 3 3 3 设球心为 O,半径为 R,则在直角三角形 AQO 中,OA =AQ +OQ ,即 R =( 2) +(2-R) , 3 3 2 所以 R= ,则这个球的表面积 S=4π ( ) =9π . 2 2 [答案] 9π
2 2 2 2 2 2

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