安徽省合肥市高中数学必修一全一册教案(26套) 人教课标版16(优秀教案)


指数与指数幂的运算()

教学目标: .知识与技能:()理解分数指数幂和根式的概念; ()掌握分数指数幂和根式之间的互化; ()掌握分数指数幂的运算性质; ()培养学生观察分析、抽象等的能力. .过程与方法: 通过与初中所学的知识进行类比,分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质. .情态与价值
()培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想; ()通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯; ()让学生体验数学的简洁美和统一美.
教学重点:()分数指数幂和根式概念的理解; ()掌握并运用分数指数幂的运算性质;
教学难点:分数指数幂及根式概念的理解 教学用具:多媒体 教学方法:讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 教学过程: 提问:
.复习初中时的整数指数幂,运算性质?

修改与创 新

an ? a ? a ? a ??? a, a0 ? 1 (a ? 0) , 00无意义

a?n

?

1 an

(a ? 0)

am ? an ? am?n ; (am )n ? amn

(an )m ? amn , (ab)n ? anbn

什么叫实数?有理数,无理数统称实数.

.观察以下式子,并总结出规律: a >

10

8

① 5 a10 ? 5 (a2 )5 ? a2 ? a 5 ② a8 ? (a4 )2 ? a4 ? a 2

12

10

③ 4 a12 ? 4 (a3 )4 ? a3 ? a 4 ④ 5 a10 ? 5 (a2 )5 ? a2 ? a 5

小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指 数的形式,(分数指数幂形式).
根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形 式.如:

2
3 a2 ? a 3 ? (a ? 0)

1
b ? b2 ? (b ? 0)

5
4 c5 ? c 4 ? (c ? 0)

m
即: n am ? a n (a ? 0, n ? N *, n ? 1)

为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:

m
a n ? n am (a ? 0, m, n ? N *)

正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.

?m
即: a n ?

1
m

(a

?

0, m, n ? N *)

an

规定:的正分数指数幂等于,的负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只

n

11

1

是根式的一种新的写法,而不是 a m ? a m ? a m ??? a m (a ? 0)

由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整 数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:

() ar ? as ? ar?s (a ? 0, r, s ?Q)

() (ar )S ? ars (a ? 0, r, s ?Q)

() (a ?b)r ? arbr (Q ? 0,b ? 0, r ? Q) 若 a >,是一个无理数,则该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读
课本
即: 2 的不足近似值,从由小于 2 的方向逼近 2 , 2 的过剩近似值从大

于 2 的方向逼近 2 .

所以,当 2 不足近似值从小于 2 的方向逼近时,5 2 的近似值从小于 5 2 的

方向逼近 5 2 .

当 2 的过剩似值从大于 2 的方向逼近 2 时,5 2 的近似值从大于 5 2 的方

向逼近 5 2 ,(如课本图所示)

所以, 5 2 是一个确定的实数.
一般来说,无理数指数幂 a p (a ? 0, p是一个无理数) 是一个确定的实数,有
理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂 的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.

思考: 2 3 的含义是什么?
由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质 相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即:
ar ? as ? ar?s (a ? 0, r ? R, s ? R)
(ar )s ? ars (a ? 0, r ? R, s ? R)
(a ? b)r ? arbr (a ? 0, r ? R)

.例题 ().求值

2
解:① 83

2
? (23)3

3? 2
?2 3

? 22

?4

?1
② 25 2

?

(52

?1
)2

2?(? 1 )
?5 2

? 5?1

?

1

5

③ ( 1 )?5 ? (2?1)?5 ? 2?1?(?5) ? 32 2



(16

?
)

3 4

?

(

2

4?( ?
)

3 4

)

? ( 2)?3

?

27

81

3

38

().用分数指数幂的形式表或下列各式( a >)

解: a3.

a

?

1
a3 ? a2

?

3? 1
a2

?

7
a2

a2

?

3

a2

2
?a2 ?a3

?

2? 2
a3

8
? a3

1

4

41

2

a3 a ? a ? a3 ? a3 ? (a3 )2 ? a3

分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算.

补充练习:

(2n?1)2 ? ( 1 )2n?1

.计算:

2 的结果

4n8?2

.若 a3 ? 3,

a10

?

384,

求a3

?[( a10 a3

1
)7

]n?3的值

小结: .分数指数是根式的另一种写法. .无理数指数幂表示一个确定的实数. .掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的.
作业:

教学反思:
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语 的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁 能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样; 从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起 相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。


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