2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1.1抛物线的定义及其标准方程课件北师大版选修1_1_图文


2.2.1.1 抛物线的定义及其标准方程 1.了解抛物线、焦点及准线的定义. 2.掌握抛物线标准方程的四种形式,并能说出各自的特点,从而培 养学生数形结合解决问题的能力及分类讨论的数学思想. 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条直线l(l不过F)的距离相等的点的集合 叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线. 名师点拨1.抛物线的定义用集合语言表示为:P={M||MF|=d}(d为 M到定直线l的距离). 2.定义的实质可归纳为“一动二定三相等”:一个动点,设为M点;一 个定点F(抛物线的焦点)及一条定直线l(抛物线的准线);点M到点F 的距离与它到定直线l的距离相等. 3.抛物线定义中的定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是 抛物线,而是过点F与l垂直的一条直线.如到点F(1,0)与到直线l:x+y1=0的距离相等的点的轨迹方程是x-y-1=0,轨迹为过点F且与直线l 垂直的一条直线. 【做一做1-1】 平面上到定点A(1,1)和到定直线l:x+2y=3距离相 等的点的轨迹为( ) A.直线 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆 答案:A 【做一做1-2】 动点M到定点(-3,0)的距离比它到直线x-1=0的距 离大2,则点M的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 解析:本题主要考查抛物线的定义. 因为动点M到定点(-3,0)的距离比它到直线x=1的距离大2,所以动 点M到定点(-3,0)的距离等于它到直线x=3的距离,所以点M的轨迹 符合抛物线的定义,即满足条件的点M的轨迹是抛物线. 答案:D 2.抛物线的标准方程 图形 标准方程 y2=2px (p>0) 焦点坐标 p ,0 2 准线方程 p 2 开口 x=? 向右 y2=-2px (p>0) p - ,0 2 x= p 2 向左 图形 标准方程 x2=2py (p>0) 焦点坐标 p 0, 2 准线方程 p 2 开口 y=? 向上 x2=-2py (p>0) p 0,2 y= p 2 向下 名师点拨对四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、 分析: (1)共同点: ①原点在抛物线上,焦点在坐标轴上; ②准线与坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的 1 2 距离都等于一次项系数的绝对值的 , 即 = ( > 0); 4 4 2 ③焦点到准线的距离均为p(p>0). (2)不同点: ①方程的右端取正号时,开口方向与x轴(或y轴)的正方向相同,焦 点在x轴(或y轴)的正半轴上;方程的右端取负号时,开口方向与x轴 (或y轴)的负方向相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上. ②由一次项系数和开口方向可确定抛物线标准方程的类型. 如下口诀可帮助记忆: 对称轴要看一次项,符号确定开口方向; 如果y是一次项,负时向下,正时向上; 如果x是一次项,负时向左,正时向右. 注意:标准方程中p的几何意义是焦点到准线的距离. 【做一做 2-1】 抛物线 A.x= 1 B. 32 = C. = 2D. = 4 1 2 1 y=? 2 8 的准线方程是( ) 答案:C 【做一做2-2】 已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则该抛物线的标 准方程为( ) A.x2=-12y B.x2=12y C.y2=-12x D.y2=12x 答案:A 【做一做 2-3】 抛物线 y= 答案: 0, 4 1 2(≠0)的焦点坐标为 . 题型一 题型二 题型三 求抛物线方程 【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(-3,2); (2)以坐标轴为对称轴,焦点在直线x-2y-4=0上. 分析:求抛物线的标准方程,要根据所给的条件确定其类型,设出 相应的标准方程形式,然后求出参数p. 题型一 题型二 题型三 解:(1)①当抛物线的焦点在 x 轴上时,设抛物线的标准方程为 y2=-2px(p>0). 2 2 把点(-3,2)代入,得 2 =-2p×(-3),解得 p= . 所以所求抛物线的标准方程为 y 2 2 ②当抛物线的焦点在 y 轴上时,设抛物线的方程为 x2=2py(p>0). 由抛物线过点(-3,2),知(-3) =4p,解得 p= 所以所求的抛物线方程为 x = 2 4 =? . 3 3 9 . 2 9 . 4 题型一 题型二 题型三 (2)直线 x-2y-4=0 与 x 轴的交点为(4,0),与 y 轴的交点为(0,-2), 故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2). 2 ①当焦点为(4,0)时,设抛物线方程为 y =2px(p>0),则 = 4, 2 所以p=8.所以抛物线方程为 y2=16x. ②当焦点为(0,-2)时,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 则 ? = ?2, 所以p=4.所以抛物线方程为 x2=-8y. 2 反思本题第(1)问中,焦点的位置不易确定,可作出草图,结合图形, 设出抛物线的方程,从而分情况求解.第(2)问主要是根据抛物线的 定义,求出焦点坐标,从而求出方程. 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程为y=-1; (2)焦点在x轴的正半轴上,焦点到准线的距离是3. 解:(1)由准线方程为 y=-1 知,抛物线焦点在 y 轴正半轴上, 且 = 1, 则p=2. 故抛物线的标准方程为 x2=4y. (2)设焦点在 x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0), 则焦点坐标为 ,0 , 准线为x=? , 2 2 则焦点到准线的距离是 因此所求的抛物线的标准方程是 y2=6x. - 2 2 2 = = 3. 题型一 题型二 题型三 由抛物线方程求焦点坐标及准线方程 【例2】 已知下列抛物线的方程,分别求其焦点坐标和准

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