高三数学(理)湘教版一轮复习配套课件第2章 第3节 函数的奇偶性及周期性_图文


第三节 函数的奇偶性及周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定 义 如果对于函数f(x)的定义域内任意 偶函数 一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函 图像特点 关于 y轴 对称 数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意 奇函数 一个x,都有 f(-x)=-f(x) ,那 关于原点 对称 么函数f(x)是奇函数 2.周期性 (1)周期函数: 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函 数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数, 那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期. 1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对 称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数 f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个 x,均 有 f(-x)=-f(x), 而不能说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0)、 f(-x0)=f(x0). 3.分段函数奇偶性判定时,f(-x0)=f(x0)利用函数在定义域某 一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误 的. [试一试] 1.(2013· 广东高考)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y= x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是 A.4 C.2 B.3 D.1 ( ) 解析:由奇函数的概念可知,y=x3,y=2sin x是奇函数. 答案:C 2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b 的值是 1 A.- 3 1 C. 2 1 B. 3 1 D.- 2 ( ) 解析:∵f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 1 ∴a-1+2a=0,∴a= .又f(-x)=f(x), 3 1 ∴b=0,∴a+b= . 3 答案:B 1.判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法: (2)图像法: 2.周期性常用的结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; 1 (2)若 f(x+a)= ,则 T=2a; f?x? 1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a.(a>0) f?x? [练一练] 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2 014)=________. ? 3? 解析:∵f(x)=-f?x+2?, ? ? ? 3? f(x)=-f?x+2?,且 ? ? f(1)=2,则 ?? ? 3? 3 ? 3? ?? ? ∴f(x+3)=f? x+2?+ ?=-f?x+2?=f(x). ? 2? ? ? ?? ∴f(x)是以3为周期的周期函数. 则f(2 014)=f(671×3+1)=f(1)=2. 答案:2 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1-x2+ x2-1; (2)f(x)= 3-2x+ 2x-3; (3)f(x)=3x-3-x; 4-x2 (4)f(x)= ; |x+3|-3 2 ? ?x +x,x>0, (5)f(x)=? 2 ? ?x -x,x<0. 2 ? ?x -1≥0, 解:(1)∵由? 2 ? ?1-x ≥0, 得x=± 1, ∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)∵函数f(x)= 3-2x + 关于坐标原点对称, ∴函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. ? ?3? ? 2x-3 的定义域为 ?2? ,不 ? ? ? ? (3)∵f(x)的定义域为R, ∴f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. 2 ? ?4-x ≥0, (4)∵由? ? ?|x+3|-3≠0, 得-2≤x≤2且x≠0. ∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x2 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = = x , |x+3|-3 ?x+3?-3 ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (5)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点 对称,又当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时,-x>0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0,故f(-x)= x2+x=f(x),故原函数是偶函数. [类题通法] 判断函数奇偶性除利用定义法和图像法,应学会利用性质,具体 如下: (1)“奇+奇”是奇, “奇-奇”是奇, “奇· 奇”是偶, “奇÷ 奇” 是偶; (2)“偶+偶”是偶, “偶-偶”是偶, “偶· 偶”是偶, “偶÷ 偶” 是偶; (3)“奇· 偶”是奇,“奇÷ 偶”是奇. [典例] (1)已知 y= f (x )+ x 2 是奇函数,且 f (1)=1. 若 g(x ) =f (x )+2,则 g(-1)=________. [解析] (1)∵ y= f (x )+ x 2 是奇函数,且 x = 1 时, y= 2, ∴当 x =-1 时, y=-2, 即 f (- 1)+(-1)2=-2, 求f(-1)是解本 题的关键! 得 f (- 1)=-3,所以 g(- 1)=f (-1)+ 2=-1. [答案] -1 [典例] (2)已知奇函数 f (x )的定义域为[-2,2],且在 区间[-2,0]上递减,求满足 f (1-m )+ f (1-m 2)<0 的实数 m 的取值范围. [解] (2)∵f (x )的定义域为[- 2,2], 易漏掉对 -2≤1-m ≤2, ∴ 解得-1≤m ≤ 3. ①变量取值 -2≤1-m 2≤2, 的限制! 又 f (x )为奇函数,且在[-2,

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