抛物线定义及标准方程1_图文


抛物线及其标准方程

1

抛物线的生活实例 探照灯的灯面

3

一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直 线L的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线。
L N
M

注1 定点F叫做抛物线的焦点。
2 定直线L叫做抛物线的准线

· F ·

3 点F在直线外(若点在直线上 呢?) MF ︳ ︳ 即: 若︳ ? 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 MN ︳

4

二 抛物线标准方程的推导
求曲线方 程的基本 步骤是怎 样的?
想 一 想 ?
l
N
M

· · F

回顾求曲线方程的一般步骤是:
1、建立适当的直角坐标系,设动 点 为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程
4、化简 5、(证明)
6

二 抛物线标准方程的推导
l N
K

M

· · F

设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢?

7

二 抛物线标准方程的推导
解:如图,取过焦点F且垂直于准线L的直 y 线为x轴,线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F( 2 ,0),L:x =2 设动点M的坐标为(x,y) K o F 由抛物线的定义可知,

· ·

x

p2 p ( x ? ) ? y2 ? x ? 2 2
化简得

2 y

= 2px(p>0)
8

(1) 抛物线定义:
一般地,我们把顶点在原点、 焦点F 在坐标轴上的抛物线的方程 叫做抛物线的标准方程。 (2)抛物线的标准方程:

9

三 抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px(p>0)表示的抛物线, 其焦点F位于X轴的正半轴上,其准线 y 交于X轴的负半轴
即焦点F (
p 2 ,0 )

准线L: x = -

p 2

o

.

x

其中p 为正常数,它的几何意义是:

焦点到准线的距离(焦准距)
但是,一条抛物线,由于它在坐标平 面内的位置不同,方程也不同,所以 抛物线的标准方程还有其它形式。

10

三 抛物线的标准方程
抛物线的标 准方程还有 哪些形式?
想 一 想 ?

其它形式的抛 物线的焦点与 准线呢?

L

y

o

p F( ,0) 2
L: χ=-

F

y2=2pχ

x

p 2

(p>0)
12

y

p ,0) F(- 2
F o

L

χ=

p 2
x

y2=-2pχ
(p>0)
13

y

χ2=2py

p F(0, ) 2 p L: y =- 2

(p>0)
F o L
14

x

p ) F(0,- 2
o F

y

p L: y = 2
L

χ2=-2py (p>0)
15

x

Y F

L

Y

F X L

ox

ox

X

Y L

Y

L

ox
F

X

F

ox

X

16

x2=2py

Y
F

L

Y

y 2=2px
F

ox

X

ox

X

P F ( 0, ) 2

p y?? 2
Y

L

p x?? 2

P F ( ,0 ) 2
Y L

x2= -2py

L

y 2= -2px
X F

ox
F

ox

X

P F ( 0, - ) 2

p y? 2

P F(- , 0) 2

p x? 17 2

﹒ ﹒ ﹒
o
y

图象 y

开口方向 标准方程

焦点

准线

x

向右

o

x 向左

y

o

x

向上


o

y

向下
18

x

抛物线的标准方程

怎样把抛物线的位置特 征(标准位置)和方程特 征(标准方程)统一起来?
想 一 结论:1 一次项(X或Y)定焦点 想 ? 2 一次项系数正负定开口
19

练习
P35 1, 2

作业 P35 3, 4

20


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