【教师原创整理】江苏省南通市2015届高三数学总复习优秀资源课件:第26讲 三角函数的应用_图文


第26讲 三角函数的应用

江苏省南通中学

主要内容
一、聚焦重点 求三角函数的最值及值域. 二、廓清疑点 求三角函数值时隐含条件. 三、破解难点 三角函数中参数的讨论.

聚焦重点:三角函数的最值与值域

问题研究
如何求三角函数的最大、最小值问题?

基础知识
正弦、余弦函数有界性: | sin x |≤1, | cos x |≤1, 正弦函数
π 当 x ? ? 2kπ(k ? Z) 时取得最大值1, 2 π 当 x ? ? ? 2kπ(k ? Z) 时取得最小值-1; 2
y y=sinx
? 2
? 2?

?
-4? -3? -2? -?

π 2

1

o
-1

3?

4?

5?

6?

x

基础知识
正弦、余弦函数有界性: | sin x |≤1, | cos x |≤1, 余弦函数 当且仅当 x ? 2kπ(k ? Z) 时取得最大值1, 当 x ? ? π ? 2kπ(k ? Z)时取得最小值-1.
y
1 -4? -3? -2? -?

y=cosx
?
2?

o
-1

3?

4?

5?

6?

x

经典例题1
例1
? ①求函数 f ( x) ? 2cos x ? 2sin x , x ? [0, ] 2
2

的最大值和最小值.
? ②求函数 f ( x) ? 2cos x ? 2sin x cos x , x ? [0, ] 2
2

的最大值和最小值.
? ③求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x , x ? [0, ] 2

的最大值和最小值.

思路分析
例1
? ①求函数 f ( x) ? 2cos x ? 2sin x , x ? [0, ] 2
2

的最大值和最小值.

思路1

消元思想,将 sinx 转化为 cosx. 涉及根式

思路2

消元思想,将 cosx 转化为 sinx .

求解过程
解 f ( x) ? 2cos 2 x ? 2sin x ? 2 ? 2sin 2 x ? 2sin x
令t ? sin x ,

? ?2sin 2 x ? 2sin x ? 2,

易错点

? 由 0 ≤ x ≤ ,得 0 ≤ sin x ≤1,即 0 ≤ t ≤1. 2 1 2 5 2 t ? [0,1] , 则 y ? ?2t ? 2t ? 2 ? ?2(t ? ) ? 2 2 1 1 2 5 t ? ? ? [0,1], y ? ?2(t ? ) ? 在[0,1]上递减, 2 2 2

则当t ? 0时, ymax ? 2 ; 当t ? 1时, ymin ? ?2.

经典例题1
? 例 1 ②求函数 f ( x) ? 2cos x ? 2sin x cos x ,x ? [0, ] 2
2

的最大值和最小值.

思路分析
2

逆用倍角 公式

? 例 1 ②求函数 f ( x) ? 2cos x ? 2sin x cos x ,x ? [0, ] 2

的最大值和最小值.

思路1 思路2

消元思想,化同名. 难以实现 降次,二次变一次.

结构特征:二次齐次结构. 解题策略:用倍角公式或降幂公式降次.

求解过程
解 f ( x) ? 2cos2 x ? 2sin x cos x ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x
2 2 ? 1 ? 2( cos 2 x ? sin 2 x) 2 2 ? 易错点 ? 1 ? 2 sin(2 x ? ). 4 ? ? ? 3? 2 ? 由 0 ≤ x ≤ ,得 ? ≤ 2 x ? ≤ , ? ≤ sin(2 x ? ) ≤1, 2 4 4 4 2 4 ? y 得1 ? 2 ≤ 1 ? 2 sin(2 x ? ) ≤ 2 , 4

则当 x ? 0 时, f ( x)max ? 2;
3? 当 x ? 时, f ( x) min ? 1 ? 2 . 8

o

x

经典例题1
? 例 1 ③求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x , x ? [0, ] 2

的最大值和最小值.

思路分析
例1
? ③求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x , x ? [0, ] 2

的最大值和最小值.

思路1 消元思想,将sinx转化为cosx. 计算繁琐 降次,逆用倍角公式. 不妥 sin ? ? cos ?, sin ? cos ? 思路3 利用 sin ? ? cos ?, 这三者之间的联系.
(sin ? ? cos ?) = 1 ? 2 sin ? cos ?
2

思路2



(sin x ? cos x) ? 1 ? 2sin x cos x
2

求解过程
关键点 易错点

(sin x ? cos x) 2 ? 1 ? sin x cos x ? 2 ? 设t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) , 4

? ? ? 3? ? 2 x ? [0, ],? x ? ? [ , ],? sin( x ? ) ? [ ,1], 2 4 4 4 4 2 y 2 t ?1 则t ? [1, 2],且sin x cos x ? . 2 t 2 ?1 1 ? (t ? 1)2 ? 1, 由于 y ? t ? o 2 2 1 函数在[1, 2]上递增,故当t ? 2 时, ymax ? 2 ? ; 2 当t ? 1时, y ? 1.

经典例题2
3 ? 6sin x 例2 ①求函数 y ? 的值域. 3sin x ? 2 sin x ? 1 ②求函数 y ? 的最大值和最小值. cos x ? 2

思路分析
3 ? 6sin x 例2 ①求函数 y ? 的值域. 3sin x ? 2

思路1

换元法,令t=3sinx,转化为分式函数.

求解过程
解法1
令t ? 3sin x ,t ? [?3,2)
3 ? 2t 2t ? 3 y? ?? t?2 t?2 2(t ? 2) ? 1 1 ?? ?? ? 2 t ? [?3,2) (2,3] t?2 t?2 t 忽视函数的 值域为{ y y ? ?2}. 单调性 由t ? [?3,2) (2,3],

(2,3] 忽视三角函 数的有界性

y o

9 得值域为{ y | ?3 ≤ y ≤ ? }. 5 由t ? [?3,2) (2,3],

9 得值域为{ y | y ≤ ?3或y ≥ ? }. 5

思路分析
3 ? 6sin x 例2 ①求函数 y ? 的值域. 3sin x ? 2

思路2 利用sinx的有界性“反求”.

求解过程
3 ? 6sin x y? ? 3 y sin x ? 2 y ? 3 ? 6sin x 解法2 3sin x ? 2 2y ? 3 关键点 ? sin x ? 3y ? 6 2y ? 3 ?1 ≤ sin x ≤ 1 ??1 ≤ ≤1 3y ? 6

2y ? 3 ? ≤1 ? 2 y ? 3 ≤ 3 y ? 6 3y ? 6
整理得 5 y 2 ? 24 y ? 27 ≥ 0
9 解得值域为{ y y ≤ ?3或y ≥ ? } 5

转化为绝对 值不等式, 简化运算

经典例题2
sin x ? 1 例2 ②求函数 y ? 的最大值和最小值. cos x ? 2

思路分析
sin x ? 1 例2 ②求函数 y ? 的最大值和最小值. cos x ? 2

思路1

换元法,转化为分式函数. 繁冗!

思路2

利用三角函数有界性反求.

求解过程
解 由已知得 y cos x ? 2 y ? sin x ? 1, 即sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y, y 2 ? 1sin( x ? ?) ? 1 ? 2 y , 所以sin( x ? ?) ?
1? 2 y y2 ? 1


|≤1,

技巧:利用 辅助角公式

因| sin( x ? ?) |≤1 ,|
2

1? 2 y y2 ? 1

4 即3 y ? 4 y ≤ 0, 解得 0 ≤ y ≤ , 3 4 故 ymax ? ,ymin ? 0 . 3

关键:利用 三角函数的 有界性

思路分析
sin x ? 1 例2 ②求函数 y ? 的最大值和最小值. cos x ? 2

思路1

换元法,转化为分式函数.
难以达到目标

思路2
思路3

利用三角函数有界性反求 .
根据代数式的几何意义,数形结合.

求解过程
解 设点 A(cos x,sin x) ,点 B(2,1)
sin x ? 1 则y ? 可看做点 A(cos x,sin x) 与点 B(2,1) 的连 cos x ? 2

线的斜率. 点,点 B(2,1) 是一个定点,

由于点 A(cos x,sin x) 是单位圆 x 2 ? y 2 ? 1上的一个动 则当直线 AB 与圆相切时,斜率取最值. 设过点 B 的直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) , 当直线与圆相切时有
4 得 k ? , k ? 0 ,故 ymax 3

充分考虑代数式 的几何意义

y B o x

2k ? 1

1? k2 4 ? ,ymin ? 0 . 3

? 1,

A

回顾反思
求三角函数最值问题的常见类型 一、 整式型
化成 y ? A sin(?x ? ?) 的形式. 化成二次型函数. 二、 分式型
c sin x ? d 形如 y ? 的形式. a sin x ? b c cos x ? d 形如 y ? 的形式. a sin x ? b

(1)思想方法:化归转化,降次换元,数形结合. (2)思维误区:忽略单调性,忽略范围.

廓清疑点:求三角函数值时的隐含条件.

问题研究
根据已知条件,求三角函数取值的范 围时,如何挖掘隐含条件?

经典例题3
例3 已知5cos2 ? ? 4cos2 ? ? 4cos ? ,则 cos2 ? ? cos 2 ? 的取值范围是_______________.

思路分析
例3 已知5cos2 ? ? 4cos2 ? ? 4cos ? ,则 cos2 ? ? cos 2 ? 的取值范围是_______________.

思路:由条件消元,转化为求目标函数的最值问题

解 由5cos ? ? 4cos ? ? 4cos ? ,
2 2

求解过程

条件的双重 作用 忽略三角函 数的有界性

5 得 cos ? ? cos ? ? cos 2 ? (1) . 4
2

将(1)代入 cos2 ? ? cos 2 ?,
2 2

1 2 得 cos ? ? cos ?= ? ? cos ? ? 2 ? ? 1? (??,1]. 4 1 5 3 2 cos ? ? [?1,1],?? ? cos ? ? 2 ? ? 1? [? , ]. 4 4 4 5 2 cos ? ? ? 0,1? , 0 ≤ cos ? ? cos 2 ? ≤ 1, 4 忽略条件 4 ?? 1 ? cos ? ? 2 ?2 ? 1? [0, 16 ]. 对变量范 ? cos ? ? [0, ] 4 25 5 围的约束 16 2 2 的范围是 ? cos ? ? cos ? [0, ].

25

回顾反思
(1)基本策略:利用已知条件消元,转化为 求目标函数的最值问题. (2)思维误区:忽视条件对变量的取值范围的约束.

经典例题4
1 例4 若sin ? cos ? ? ,t ? sin ? cos ? , 2

求t 的取值范围.

思路分析
例4
1 t ? sin ? cos ? , 若sin ? cos ? ? , 2

求t 的取值范围.
思路1:由条件消元,转化为一元函数的 最值问题. 计算量大

思路2:由条件的结构特征,利用三角函数 的有界性求范围
1 ? t ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin(? ? ?) 2

1 ? t ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin(? ? ?) 解 2 1 3 1 片面利用有界 ??1 ≤ ? t ≤ 1,?? ≤ t ≤ 性,错解! 2 2 2 1 ? t ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin(? ? ?) 正解 2 1 ? t ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin(? ? ?) 2

求解过程

1 1 ? ? 3 ?1 ≤ ? t ≤ 1, ?? ≤ t ≤ , ? 1 1 ? ? 2 2 2 ?? ?? ?? ≤ t ≤ 2 2 ??1 ≤ 1 ? t ≤ 1; ?? 1 ≤ t ≤ 3 , ? ? 2 2 ? ? 2

回顾反思
基本策略:根据条件与结论的结构联系,构

造三角函数;再利用三角函数的
有界性,约束变量的范围. 思维瑕点:考虑问题不全面.

破解难点:三角函数中参数的讨论.

问题研究
如何讨论三角函数中的参数?

经典例题5
例5 若方程 2cos2x+2cosx-3+a=0 , 恒有实数解, 求 a 的取值范围.

思路分析
例5 若方程 2cos2x+2cosx-3+a=0 ,
恒有实数解, 求 a 的取值范围. 分析: 令 t=cosx, 则 |t|≤1, 问题等价于2t2+2t-3+a=0 在 |t|≤1时 如何保 证等价

恒有实数解.
思路1 从方程在区间上有解的角度考虑. 思路2 从二次函数图象及性质考虑.

思路3 正难则反, 从反面考虑.
思路4 从分离参数的角度考虑.

求解过程
解法 1 从方程有实数解的角度求解
令 t=cosx, 则 2t2+2t-3+a=0 (|t|≤1)恒有解.

?? ? 4(7 ? 2a) ≥ 0, ?? ? 4(7 ? 2a) ≥ 0, ? ? ? ? ?2 ? 4(7 ? 2a) 或 ? ?2 ? 4(7 ? 2a) |≤ 1, ?| |≤ 1, ?| 4 4 ? ? 7 ??1 ≤ a ≤ . 2

求解过程
解法 2 从二次函数图象及性质考虑. 问题转化为:

“a 为何值时, f(t)=2t2+2t+a-3 的图象与横轴
至少有一个交点的横坐标在 [-1, 1] 内.” 1 ∵f(t) 图象的对称轴为直线 t ? ? , y 2 ? f (?1) ≥ 0, ? f (?1) ? 0, ?? 或? ?? ? 4(7 ? 2a) ≥ 0, ? f (1) ≥ 0, o 7 ??1 ≤ a ≤ . 2

t

求解过程
解法 3 “正难则反”, 从反面考虑 7 当 △=4(7-2a)≥0, 即 a ≤ 时, 2
若方程 f(t)=2t2+2t+a-3=0 的两根均在 [-1, 1] 之外, y 1 ∵f(t) 图象的对称轴为直线 t ? ? , 2 ∴ f(1)<0. 解得 a<-1. o t 7 ??1 ≤ a ≤ . 2

求解过程
解法 4 从分离参数的角度考虑

原方程即为:
1 2 7 a ? ?2cos x ? 2cos x ? 3 ? ?2(cos x ? ) ? . 2 2 ?1 ≤ cos x ≤ 1, 7 ??1 ≤ a ≤ 2
2

回顾反思
(1)数学思想:化归思想、整体思想.
(2)方法比较 思路1 对问题的直接转译,思维量小, 计算量大.

思路2 数形结合,直观易理解计算量大.
思路3 正难则反, 对前两种思路的优化. 思路4 分离参数将问题转化为求已知函数 的值域问题. (3)思维误区:忽视问题转化的等价性.

总结提炼
知识与内容

一、聚焦重点
求三角函数的最值及值域. 二、廓清疑点 求三角函数值时的隐含条件. 三、破解难点

三角函数中的参数的讨论.

总结提炼
策略与方法
(1) 转化化归的思想,数形结合的思想. (2) 换元法,整体代换是实现转化的常用途径. (3) 关注三角函数的有界性. (4) 注意挖掘隐含条件.





同步练习
1 ? cos 2 x ? 3sin 2 x ? ) 时,函数 f ( x) ? 1. 当 x ? (0 , 的最小 sin x 值为 .

2. 已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值 是 . . . . 3. 函数 y ? 2sin x(sin x ? cos x) 的最大值是 4. 函数 f ( x) ? cos x ? cos( x ? ) 的最小值是 3 5. 函数 y ?| sin x | ?2sin x 的值域为

?

参考答案
1.3. 2.2. 3. 2 ? 1. 4. ? 3 . 5.[-1,3].


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