四川省雅安中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题(新)


雅安中学 2015 级高一下学期半期数学试卷
本试卷分 第Ⅰ卷 (选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,则实数 m 的值为 ( ) 3 A. - 2 B. 3 2 C. 2 D. 6 )

2. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 6, a1 ? 4 ,则公差 d 等于( A.1 B. C.﹣2 D.3 )

3.若 a、b、c,d∈R,则下面四个命题中,正确的命题是( A.若 a>b,c>b,则 a>c C.若 a>b,则 ac >bc
2 2

B.若 a>-b,则 c-a<c+b D.若 a>b,c>d,则 ac>bd )
?

4. 在 ?ABC 中,若边长和内角满足 b ? 2, c ? 1, B ? 45? ,则角 C 的值是( A. 60
?

B. 60 或 120

?

?

C. 30

?

D. 30 或 150

?

1 5. 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? ?1 ,公差 d ? ,则 {an } 的第一个正数项是( 5

)

A. a 5
2

B. a 7
2

C. a 4

D. a 6 ) 1 B.- ≤a<2 4 1 D.-2<a≤- 4 )

6.若不等式 x -ax+1≤0 和 ax +x-1>0 均不成立,则( 1 A.a<- 或 a≥2 4 1 C.-2≤a<- 4

7. 已知 ?an ? 是等差数列, a2 ? ?1, a8 ? 5 ,则数列 ?an ? 的前 9 项和 S9 为( A. 18 B. 27 C. 24

8. 设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 2b ? 3c cos A ? 3a cos C. 则角 A 的大 小为( ) B.

?

D. 15

?

? A. 3

? 6

C.

2? 3

D.

5? 6

9. 某小朋友按如下规则练习数数,1 大拇指,2 食指,3 中指,4 无名指,5 小指,6 无名指,7 中 指,8 食指,9 大拇指,10 食指, ... ,一直数到 2016 时,对应的指头是( A.小指 B.中指 C.食指 D.大拇指
-1-



10. 在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4, 且a ? b ? 10, 则向量 AB 在向量 AC 上的投影 是( A.6 ) B.9 C.-6 D.7

???? ???? ??? ? ???? 11. 如 图 , ?ABC 的 AB 边 长 为 2 , P,Q 分 别 是 AC,BC 中 点 , 记 AB? AP? BA , ? BQ ? m

??? ? ???? ??? ? ??? ? AB ? AQ ? BA ? BP ? n ,则(
A. m ? 2,n ? 6 B. m ? 2,n ? 4 C. m ? 3,n ? 1

)

D. m ? 3n ,但 m,n 的值不确定 12. 记 n 项正项数列为 a1 , a2 ,? ? ?, an ,其前 n 项积为 Tn ,定义 lg(T1 ? T2 ? ? ? Tn ) 为“相对叠乘积”,如 果有 2013 项的正项数列 a1 , a2 ,? ? ?, a2013 的“相对叠乘积”为 2013 ,则有 2014 项的数列

10, a1 , a2 ,? ? ?, a2013 的“相对叠乘积”为(
A.2014 B.2016

) C. 3042 D.4027

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空 题(本大题共有 4 题,每题 5 分,共 20 分)

? ,△ ABC 的面积是______. 3 14. 如图,山顶上有一座铁塔,在地面上一点 A 处测得塔顶 B 处的仰角 山顶 C 处测得 A 点的俯角 β =45°,已知塔高 BC 为 50m,则山高 CD 等于
13.在△ ABC 中,BC=2,AB=3, B ? m。 15. 在等差数列 ?an ? 中 ,其前 n 项和为 Sn 若,S2 =9, S4=22,则 S8= 16. 已知 OA ? 1, OB ? 3 , OA ? OB ? 0 ,点C在 ?AOB 内,且 .

α =60°,在

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? m ?AOC ? 30? ,设 OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则 等于 n



三、解答题(本大题共有 6 题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (10 分) 已知| a |=| b |=6,向量a 与 b 的夹角为 (1)求| a + b |,| a - b |; (2)求 a + b 与 a - b 的夹角。

?

?

?

?

? . 3

? ?

? ?

? ?

? ?

-2-

18. (12 分)已知 ?ABC 的周长为 2+1,且 sin A+sin B= 2sin C. (1)求边 AB 的长; 1 (2)若△ABC 的面积为 sin C,求角 C 的度数. 6

19.(12 分)不等式 kx -2x+6k<0. (1)若不等式的解集为{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; (2)若不等式的解集为 R,求 k 的取值范围.

2

20. (12 分)设 ?an ? 为等差数列, Sn 是等差数列的前 n 项和,已知 a2 ? a6 ? 2 , S15 ? 75 . (1)求数列的通项公式 an ; (2) Tn 为数列 ?

? Sn ? ? 的前 n 项和,求 Tn . ?n?

-3-

21. (12 分)已知向量 m ? (sin A, sin B) , n ? (cosB, cos A) , m ? n ? sin 2C ,且 A 、 B 、 C 分别 为 ?ABC 的三边 a 、 b 、 c 所对的角。 (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求 c 边的长。

22. (12 分 )已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且公差 d ? 0 ,它的第 2 项、第 5 项、第 14 项分别 是等比数列 {bn } 的第 2、3、4 项。 (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {cn } 对任 意正整数 n 均有 求 a1c1 ? a2 c2 ? ? ? an cn 的值.

c c1 c ? 2 ? ? ? n ? an?1 成立, b 1 b2 bn

-4-

雅安中学 2015 级高一下学期半期考试 数学答案 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 DCBC B DABCD AD

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共有 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13.

3 3 2

14. 25

?

3 ?1

?
?

15. 60

16. 3

三、解答题(本大题共有 6 题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (10 分) 解:(1) a ? b =| a || b |cosθ =6×6×cos | a + b |= ( a ? b) 2 =6 3 (2)∵( a + b )?( a - b )= a ? b =0

? ?

?

? =18 3
?

? ?

?

?

| a - b |= ( a ? b) 2 =6
?2

? ?

?

? ?

? ?

?2

∴ a + b 与 a - b 的夹角为 90° ∴ c=1 即 AB=1 又 a+b= 2

? ?

? ?

18. (12 分) 解:(1)由正弦定理得:a+b= 2c ∵ ?ABC 的 周长为 2+1 ∴a+b+c= 2+1 1 1 1 (2) ∵ S? ABC ? ab sin C = sin C ∴ab= 6 3 2

a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b) 2 ? 2ab ? c 2 1 ∴cosC= = = 2 2ab 2ab
∴C=60° 19. (12 分)解: (1)∵不等式的解为 x<-3 或 x>-2, 所以-3,-2 是方程 kx -2x+6k=0 的两根且 k<0. (-3)×(-2)=6 所以 (-3)+(-2)=2/K
? ?k<0, (2)∵不等式的解集为 R,∴? ?Δ =4-4k×6k<0. ?
2

2 所以 k=- . 5

k<0, ? ? 即? 6 6 k> 或k<- , ? 6 ? 6

所以 k<-

6 . 6

-5-

20. (12 分)解: ⑴∵ a2 ? a1 +d ,a6 ? a1 +5d ,∴ a2 ? a6 ? 2a1 ? 6d=2 ①,又 S15 ? 15a1 ? 105d ? 75 ②,解方程①②,得 a1 =-2 ,d=1,∴数列 的通项公式 an =n-3; ⑵∵ S n ?

S 1 1 2 5 1 5 ?S ? n ? n ,∴ n ? n ? ,即数列 ? n ? 为首项为-2 公差是 等差数列,∴前 n 项的 2 2 2 n 2 2 ?n?

和为 Tn ? ?2n ?

n(n ? 1) 1 1 2 9 ? ? n ? n 2 2 4 4

21. (12 分) 解: (1) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B)

????2 分

, A ? B ? ? ? C,0 ? C ? ? ? s i n A ( ? B) ? s i nC , ? m ? n ? sin C. ? ? ? ? 3 分 又 对 于 ?A B C

? m ? n ? si n2C ,

? sin 2C ? sin C , cos C ?

1 ? ,C ? . 2 3

????6 分

(2)由 sin A,sin C,sin B 成等差数列, 得2sin C ? sin A ? sin B 即 2c ? a ? b. ?8 分

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18,即 ab cosC ? 18, ab ? 36. ????10 分
由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC ? (a ? b) ? 3ab,????11 分
2 2 2 2

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,? c ? 6.

????12 分

?a1 ? d ? b1 q ?a 2 ? b2 ?d ? 2 ? ? 2 n ?1 22(12 分)解(1) ?a5 ? b3 ? ?a1 ? 4d ? b1 q ? ? ?q ? 3 ? a n ? 2n ? 1, bn ? 3 ?a ? b ? ?b ? 1 3 ? 1 4 ? 14 ?a1 ? 13d ? b1 q c (2)a n ?1 ? a n ? n ? 2 ? c n ? 2 ? 3 n ?1 bn
令Dn ? a n c n ? 2(2n ? 1) ? 3 n ?1 ? (4n ? 2)3 n ?1 则数列{Dn }的前n项和为S n S n ? 2 ? 1 ? 6 ? 3 ? ? ? (4n ? 2) ? 3 n ?1 (1) 3 S n ? 2 ? 3 ? 6 ? 3 2 ? ? ? ( 4 n ? 2 ) ? 3 n ( 2) (2) ? (1)得2 S n ? ?2 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 2 ? ? ? 4 ? 3 n ?1 ? (4n ? 2)3 n ? ?2 ? 4 ? 3n ? 3 ? (4n ? 2) ? 3 n ? (4n ? 4)3 n ? 4 2

? S n ? (2n ? 2) ? 3n ? 2

-6-


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