2013年高考数学(广东卷)理科及答案


试卷类型:A

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)题目及答案
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位 置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 准使用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:主体的体积公式 V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高。 锥体的体积公式为 ,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1 . 设 i 为虚数单位,则复数 A 6+5i B 6-5i
5 ? 6i = i

C

-6+5i

D 则 CuM=

-6-5i

2 . 设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 } A .U B {1,3,5} C {3,5,6} ??? ? ??? ? ??? ? 3 若向量 BA =(2,3) CA =(4,7) , ,则 BC = A (-2,-4) B (3,4) C (6,10 D

D {2,4,6}

(-6,-10)

4.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是

A.y=ln(x+2)

B.y=- x ? 1

C.y=(

1 x ) 2

D.y=x+

1 x

5.已知变量 x,y 满足约束条件 A.12 B.11 C.3

,则 z=3x+y 的最大值为 D.-1

6,某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为

A.12π

B.45π

C.57π

D.81π

7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个,其个位数万恶哦 0 的概 率是 A.
4 9

B.

1 3

C.

2 9

D.

1 9

8.对任意两个非零的平面向量α 和β ,定义 足|a|≥|b|>0, 与 b 的夹角 a 则 A.
1 2

。若平面向量 a,b 满 中,

, a· 和 b· 都在集合 且 b a

B.1

C.

3 2

D.

5 2

16. 填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题(9-13 题) 9.不等式|x+2|-|x|≤1 的解集为_____。

10.

的展开式中 x?的系数为______。 (用数字作答)

2 11.已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3= a2 -4,则 an=____。

12.曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为

。 。

13.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值为

(二)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题)

14, (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参

数方程分别为 点坐标为_______。



,则曲线 C1 与 C2 的交

15.(几何证明选讲选做题)如图 3,圆 O 的半径为 1,A、B、C 是圆周上的三 点,满足∠ABC=30°,过点 A 做圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,则

PA=_____________。

三.解答题。本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程 和演算步骤。

16.(本小题满分 12 分)

已知函数 (1)求ω 的值; (2)设 的值。 ,

, (其中ω >0,x∈R)的最小正周期为 10π 。



,求 cos(α +β )

17. (本小题满分 13 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图 如图 4 所示,其中成绩分组区间是: [40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上 (含 90 分)的人数记为 ,求 得数学期望。

18.(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE。

(1) 、证明:BD⊥平面 PAC; (2) 、若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值;

19. (本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1-2n+1,n∈N﹡,且 a1,a2+5,a3 成等差 数列。 (1) 、求 a1 的值; (2) 、求数列{an}的通项公式。

(3) 、证明:对一切正整数 n,有

.

20.(本小题满分 14 分)
x2 y 2 2 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e= , a b 3

且椭圆 C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相 对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由。

21.(本小题满分 14 分) 设 a<1,集合 (1)求集合 D(用区间表示) (2)求函数 在 D 内的极值点。

2012 年广东高考理科数学参考答案
一、选择题

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

答 案
二、填空题 9. 14.

D

C

A

A

B

C

D

C

1? ? ? ??, ? ? ; 2? ?
(1,1) ;
2?

10.

20 ;
15.

11.

2n-1; 12.

y=2x+1; 13.

16;

3;

三、解答题 16.解:(1)= T ?

?

,? ?

1 5

(2) cos( ? ? ? ) ?

4 8 3 15 13 ? ? ? ?? 5 17 5 17 85

17. (1)由 30 ? 0.006 ? 10 ? 0.01 ? 10 ? 0.054 ? 10 x ? 1 得 x ? 0.018 (2)由题意知道:不低于 80 分的学生有 12 人,90 分以上的学生有 3 人 随机变量 ? 的可能取值有 0,1,2

P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 1? ?

C92 6 ? 2 C12 11
1 1 C9C3 9 ? 2 C12 22

C32 1 P ?? ? 2 ? ? 2 ? C12 22
∴ E? ? 0 ? 18. (1)∵ PA ? 平面ABCD ∴ PA ? BD ∵ PC ? 平面BDE ∴ PC ? BD ∴ BD ? 平面PAC (2)设 AC 与 BD 交点为 O,连 OE ∵ PC ? 平面BDE ∴ PC ? OE 又∵ BO ? 平面PAC
6 9 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 11 22 22 2

∴ PC ? BO ∴ PC ? 平面BOE ∴ PC ? BE ∴ ?BEO 为二面角 B ? PC ? A 的平面角 ∵ BD ? 平面PAC ∴ BD ? AC ∴ 四边形ABCD为正方形 ∴ BO ? 2 在 ?PAC中 ,

OE PA OE 1 2 ? ? ? ? OE ? OC AC 3 2 3

BO ?3 OE ∴ 二面角 B ? PC ? A 的平面角的正切值为 3

∴ tan ?BEO ? 19.

(1)在 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1中 令 n ? 1 得: 2S1 ? a2 ? 22 ? 1 令 n ? 2 得: 2S2 ? a3 ? 23 ? 1 解得: a2 ? 2a1 ? 3 , a3 ? 6a1 ? 13 又 2 ? a2 ? 5? ? a1 ? a3 解得 a1 ? 1 (2)由 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1
2Sn?1 ? an?2 ? 2n?2 ? 1得 an?2 ? 3an?1 ? 2n?1

又 a1 ? 1, a2 ? 5 也满足 a2 ? 3a1 ? 21 所以 an?1 ? 3an ? 2n 对n ? N ? 成立 ∴ an ?1 +2n ?1 ? 3 ? an ? 2n ? ∴ an ? 2n ? 3n

∴ (3)

an ? 3n ? 2n

(法一)∵ an ? 3n ? 2n ? ? 3 ? 2 ? ? 3n ?1 ? 3n ?2 ? 2 ? 3n ?3 ? 22 ? ... ? 2 n ?1 ? ? 3n ?1 ∴
1 1 ? n?1 an 3

? ? 1 ?n ? 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? 3? ? 3 1 1 1 1 1 1 1 ?? ∴ ? ? ? ... ? 1 ? ? 2 ? ... ? n?1 ? ? 1 a1 a2 a3 an 3 3 3 2 1? 3

(法二)∵ an?1 ? 3n?1 ? 2n?1 ? 2 ? 3n ? 2n?1 ? 2an ∴
1 1 1 ? ? an ?1 2 an 1 1 1 ? ? a3 2 a2 1 1 1 ? ? a4 2 a3 1 1 1 ? ? a5 2 a4

当 n ? 2 时,

………
1 1 1 ? ? an 2 an ?1

累乘得:

1 ? 1? ?? ? an ? 2 ?

n?2

?

1 a2
n?2

1 1 1 1 1 1 1 ?1? ∴ ? ? ? ... ? 1 ? ? ? ? ... ? ? ? a1 a2 a3 an 5 2 5 ?2?
20. (1)由 e ?

1 7 3 ? ? ? 5 5 2

2 得 a 2 ? 3b2 ,椭圆方程为 x2 ? 3 y 2 ? 3b2 3
2 2

椭圆上的点到点 Q 的距离 d ? x 2 ? ? y ? 2 ? ? 3b2 ? 3 y 2 ? ? y ? 2 ?

? ?2 y 2 ? 4 y ? 4 ? 3b 2 ? ?b ? y ? b ?

当① ?b ? ?1 即 b ? 1 , d max ? 6 ? 3b 2 ? 3 得 b ? 1 当② ?b ? ?1 即 b ? 1 , d max ? b 2 ? 4b ? 4 ? 3 得 b ? 1 (舍) ∴ b ?1 ∴ 椭圆方程为 (2) S?AOB ?
x2 ? y2 ? 1 3

1 1 OA ? OB sin ?AOB ? sin ?AOB 2 2 1 当 ?AOB ? 90? , S?AOB 取最大值 , 2

点 O 到直线 l 距离 d ? ∴ m2 ? n 2 ? 2
m2 ? n2 ? 1 又∵ 3
3 1 解得: m 2 ? , n 2 ? 2 2

1 m2 ? n 2

?

2 2

? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? , , ,? ,? 所以点 M 的坐标为 ? ?或? ? ?或? ?或? ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?AOB 的面积为

1 2

21. (1)记 h ? x ? ? 2x2 ? 3?1 ? a ? x ? 6a ? a ? 1?
? ?9 ? 1 ? ? a
2

?4 8 a

??

a ??1 a ?? 9 3 ? 3

1 ① 当 ? ? 0 ,即 ? a ? 1 , D ? ? 0, ??? 3 1 ② 当0 ? a ? , 3

? 3 ? 3a ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? ? 3 ? 3a ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? D ? ? 0, , ?? ? ? ?? ? ? ? ? 4 4 ? ? ? ? ? 3 ? 3a ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? , ?? ? ③ 当a ? 0,D ?? ? ? 4 ? ?

(2)由 f ? ? x ? ? 6x2 ? 6 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0得x=1 a 得 ,
1 ① 当 ? a ? 1 , f ? x ? 在D内有一个极大值点a,有一个极小值点1 3 1 ② 当 0 ? a ? ,∵ h ?1? ? 2 ? 3?1 ? a ? ? 6a=3a ?1 ? 0 3

h ? a ? ? 2a2 ? 3?1? a ? a ? 6a=3a ? a2 ? 0
∴ 1? D, a ? D ∴ f ? x ? 在D内有一个极大值点a ③ 当 a ? 0 ,则 a ? D 又∵ h ?1? ? 2 ? 3?1 ? a ? ? 6a=3a ?1 ? 0 ∴ f ? x ? 在D内有无极值点


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