导数_高考题教师版


导数 高考题 (一) 1.(2009 北京理) (本小题共 13 分) 设函数 f ( x) ? xe (k ? 0)
kx

f ( x) ?
已知函数

1 3 x ? ax 2 ? bx 3 ,且 f '(?1) ? 0

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围.

(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f ( x ) 的单调区间;

x , x ( x ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 ) ),N( x2 , f ( x2 ) ),P( m, f (m) ), (2)令 a ? ?1 ,设函数 f ( x ) 在 1 2 1 x1 ? m ? x2 ,请仔细观察曲线 f ( x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势,并解释以下问题: x (I)若对任意的 m ? ( 1 , x 2 ),线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点,试确定 t 的最小值,并证明你的结论;
(II)若存在点 Q(n ,f(n)), x ? n< m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点,请直接写出 m 的取值范围(不 必给出求解过程) 7.(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分)

f ( x) ?
2.设函数

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a 3 ,其中常数 a>1

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。 3.(2009 广东卷理) (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值 m ? 1(m ? 0) .设

1 2 已知函数 f(x)= 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。
(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

f ( x) ?

g ( x) x .

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 4.(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 x ? x (0, ?? ) a ? 5 1 2 (2)证明:若 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? ,x 1 ? x 2 ,有 。
8.(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2 ?x

?: p?q ? ?
在 R 上定义运算 令

1 ? p ? c ?? q ? b ? ? 4bc f ? ? ? ? ? 2 ? 2c f2 ? ? ? ? ? ? 2b ? ? R 3 (b、 c 为实常数) 。 记 1 , , .

(1)如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x ) 的单调区间; (1)若 f ( x ) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明

f ? ? ? ? f1 ? ? ? ? f 2 ? ? ?

.

? ? ? 如果函数 f ? ? ? 在 ? ? 1 处有极什 ? 3 ,试确定 b、c 的值; ? ?? ?
求曲线

4

? ? ? <6.
9.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分)

y ? f ???

f ( x) ? ln(ax ? 1) ?
上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点; 的最大值为 M .若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立,试示 k 的最大值。 已知函数

1? x ,x ?0 1? x ,其中 a ? 0

? ??? ? 记 g ? x ? ?

f ? ? x ? | ? ?1 ? x ? 1?

? ? ? 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值;
(Ⅲ)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

? ?? ? 求 f ( x) 的单调区间;

解 5..(2009 全国卷Ⅱ理)(本小题满分 12 分) 设函数

f ? x ? ? x2 ? aIn ?1 ? x ?

有两个极值点

x1、x2 ,且 x1 ? x2

(I)求 a 的取值范围,并讨论

f ? x?

的单调性;

导数 高考题 (一)答案 1. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查 综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ)

(II)证明:

f ? x2 ? ?

1 ? 2 In 2 4

f ' ? x ? ? ?1 ? kx ? ekx , f ' ? 0? ? 1, f ? 0? ? 0

,

6.(2009 福建卷理) (本小题满分 14 分)

y ? x. 曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为

(Ⅱ)由

f ? x ? ? ?1 ? kx ? e ? 0
' kx

x??
,得

1 ? k ? 0? k ,

1? ? x ? ? ??, ? ? ' k ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, ? 若 k ? 0 ,则当 ? 1 ? x ? ? ? , ??, ? ' ? k ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, 当 1? ? x ? ? ??, ? ? ' k ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, ? 若 k ? 0 ,则当 ? 1 ? x ? ? ? , ??, ? ' ? k ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, 当
1 ? ? ?1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 k ,

?a ? 1 ? ? f (2a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?
故 a 的取值范围是(1,6) 3.解析 又



?a ? 1, ? 4 ? ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ? ?24a ? 0.
2

解得 1<a<6

(1)依题可设 g ( x) ? a( x ? 1) ? m ? 1 ( a ? 0 ),则 g ' ( x) ? 2a( x ? 1) ? 2ax ? 2a ; 的图像与直线 y ? 2 x 平行

g? ? x ?

? 2a ? 2

a ?1

? g ( x) ? ( x ? 1) ? m ? 1 ? x ? 2x ? m ,
2 2

f ? x? ?

g ? x? m ? x? ?2 x x ,



P ? xo , y o ?
2 0

2 2 | PQ | 2 ? x0 ? ( y 0 ? 2) 2 ? x0 ? ( x0 ?

,则

m 2 ) x0

f ? x ? ? ?1,1? 即 k ? 1 时,函数 内单调递增,
1 ?1 若 k ? 0 ,则当且仅当 k , ?

m2 ? 2 x ? 2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m x0
2 2 x0 ?

当且仅当 当 m ? 0 时,

m2 2 2 x0 时, | PQ | 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2
(2 2 ? 2)m ? 2 (?2 2 ? 2)m ? 2
解得 m ?

f ? x ? ? ?1,1? 即 k ? ?1 时,函数 内单调递增,
综上可知,函数

2 ?1

f ? x ? ? ?1,1?

内单调递增时, k 的取值范围是

??1,0?

? 0,1?

当 m ? 0 时, . (2)由

解得 m ? ? 2 ? 1

2.解析 本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关键是通过分析导函数,从 而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。 解析

y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?
m

m ?2?0 ?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0 x ( x ? 0 ),得
m

?*?

? (I) f ( x) ? x ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a)
2

? 由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (??,2) 是增函数; ? 当 2 ? x ? 2a 时, f ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2,2a) 是减函数; ? 当 x ? 2a 时, f ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在区间 (2a,??) 是增函数。
综上,当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

?*? 有一解 x ? ? 2 ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? 2 ; 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1? k ? ? 0 , 当 k ? 1 时,方程
若m ? 0,

k ? 1?

1 m,

函数

y ? f ? x ? ? kx

x?
有两个零点

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 2(1 ? k ) ,即

1 f (2a) ? (2a) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3
f (0) ? 24a
由假设知

x?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) k ?1 ;
k ? 1? 1 m,

若m ? 0,

函数

y ? f ? x ? ? kx

x?
有两个零点

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 1 ? 1 ? m(1 ? k ) x? 2(1 ? k ) k ?1 ,即 ;

?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1? k ? ? 0 , 当 k ? 1 时,方程
函数

k ? 1?

1 m,

?? ? 4 ? 8a ? 0 1 ? 0?a? g ( ? 1) ? a ? 0 2 充要条件为 ? ,得
⑴当 ⑵当 ⑶当

y ? f ? x ? ? kx

x?
有一零点

1 ? ?m k ?1
x?? m 2;

x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数;

y ? f ? x ? ? kx 综上,当 k ? 1 时, 函数 有一零点
k ? 1?


x ? ( x2, ? ?)

时,

f ? ? x ? ? 0,? f ( x)



( x2, ? ?)

内为增函数;

1 1 k ? 1? m ( m ? 0 ),或 m ( m ? 0 )时,

1 g (0) ? a ? 0,?? ? x2 ? 0 a ? ?(2x22 +2x2 ) 2 (II)由(I) ,

函数

y ? f ? x ? ? kx

x?
有两个零点

1 ? 1 ? m(1 ? k ) k ?1 ;

? f ? x2 ? ? x22 ? aln ?1? x2 ? ? x22 ? (2x22 +2x2 )ln ?1 ? x2 ?
1 h ? x ? ? x 2 ? (2 x 2 ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ? ) 2 , 设


1 1 k ? 1? x ? ? ?m m 时,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 k ?1 当 .
4 解 当

b ? 1时,函数y ? f ?( x)

h? ? x ? ? 2x ? 2(2x ?1)ln ?1? x ? ? 2x ? ?2(2x ?1)ln ?1 ? x ?

得对称轴 x=b 位于区间 [?1,1] 之外

此时 M ? max{g (?1), g (1), g (b)}

1 1 [? , 0) x ? (? , 0) ? h x ? 0, ? h ( x ) ? ? 2 ⑴当 时, 在 2 单调递增;
⑵当 x ? (0, ??) 时,

? ? ? ? 由 f (1) ? f (?1) ? 4b, 有f (b) ? f (?1) ? (b m1) ? 0
2

h? ? x ? ? 0

, h( x) 在 (0, ??) 单调递减。

?g(-1)? max{g (?1), g (b)} ①若 ?1 ? b ? 0, 则f (1)? f (-1)? f (b),
1 1 1 M ? max{ f ?(?1) , f ?(b) } ? ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? (b ? 1) 2 2 2 2 于是
①若 0 ? b ? 1 ,则 f?(=1)? f?(1)? f?(b),?g(1)? max{g (?1), g (b)} 于是

?

?

?

1 1 1 ? 2 ln 2 ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? 2 2 4


f ? x2 ? ? h( x2 ) ?

1 ? 2 In 2 4 .

6.解法一:
2 (Ⅰ)依题意,得 f '( x) ? x ? 2ax ? b

1 1 1 1 M ? max{ f ?(?1) , f ?(b) } ? ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2
M ?
综上,对任意的 b、c 都有

由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0得b ? 2a ? 1 .

1 2

1 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (2a ? 1) x, 故f '( x) ? ( x ? 1)( x ? 2a ? 1). 3 从而
令 f '( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1 ? 2a. ①当 a>1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x ) 的变化情况如下表: x

b ? 0, c ?
而当,

1 1 1 g ( x) ? ? x 2 ? M ? [ ? 1,1] 2 2 2 时, 在区间 上的最大值

1 故 M ? K 对任意的 b,c 恒成立的 k 的最大值为 2

(??,1 ? 2a)
+ 单调递增

(1 ? 2a, ?1)
- 单调递减

(?1, ??)
+ 单调递增

5.解: (I)

f ? ? x ? ? 2x ?

a 2x ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x
2

f '( x)
f ( x)

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,其对称轴为
2

x??

1 2 。由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个均大于 ?1 的不相等的实根,其

由此得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) 。 ②当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 此时有 f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x ) 的单调增区间为 R ③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 同理可得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) 综上: 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) . 当

m ? ? 2,3?

g (0) ? ?
时,

m 2 ? 4m ?0 2 3 . g (2) ? ?(m ? 2) ? 0

所以存在 即当

m ? ? 0,2?

使得 g (? ) ? 0

m ? ? 2,3?时,

MP 与曲线 f ( x ) 有异于 M,P 的公共点

综上,t 的最小值为 2. (2)类似(1)于中的观察,可得 m 的取值范围为 解法二: (1)同解法一.

?1,3?

(Ⅱ)由 a ? ?1 得

f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 2 x ? ?1, x2 ? 3 3 令 f ( x) ? x ? 2x ? 3 ? 0 得 1

1 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 3x 2 x ? ?1, x2 ? 3 3 (2)由 a ? ?1 得 ,令 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 1
由(1)得的 f ( x ) 单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数在处取得极值。故

x ? ?1, x2 ? 3 取得极值,故 由(1)得 f ( x ) 增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数 f ( x ) 在处 1
5 ?1, 3 )N( 3, ?9 ) M( 。
观察 f ( x ) 的图象,有如下现象: ①当 m 从-1(不含-1)变化到 3 时,线段 MP 的斜率与曲线 f ( x ) 在点 P 处切线的斜率 f ( x ) 之差 Kmp- f '(m) 的值由正连 续变为负。 ②线段 MP 与曲线是否有异于 H,P 的公共点与 Kmp- f '(m) 的 m 正负有着密切的关联; ③Kmp- f '(m) =0 对应的位置可能是临界点,故推测:满足 Kmp- f '(m) 的 m 就是所求的 t 最小值,下面给出证明并确
2 定的 t 最小值.曲线 f ( x ) 在点 P(m, f (m)) 处的切线斜率 f '(m) ? m ? 2m ? 3 ;

?1,
M(

5 3 ).N( 3, ?9 )
y? m2 ? 4m ? 5 m2 ? 4m x? . 3 3

(Ⅰ) 直线 MP 的方程为

? m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m y ? x ? ? ? 3 3 ? 1 ? y ? x3 ? x 2 ? 3x ? 3 由?
3 2 2 2 得 x ? 3x ? (m ? 4m ? 4) x ? m ? 4m ? 0

线段 MP 与曲线 f ( x) 有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数

g ( x) ? x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m在(-1,m)上有零点.
因为函数 g ( x) 为三次函数,所以 g ( x) 至多有三个零点,两个极值点. 又 g (?1) ? g (m) ? 0 .因此, g ( x) 在 (?1, m) 上有零点等价于 g ( x) 在 (?1, m) 内恰有一个极大值点和一个极小值点,即
g '( x) ? 3x2 ? 6 x ? (m2 ? 4m ? 4) ? 0在(1, m) 内有两不相等的实数根.
??=36 ? 12 (m2 ? 4m ? 4)>0 ? 2 2 ?3(?1) ? 6 ? (m ? 4m ? 4) ? 0 ? 2 2 ?3m ? 6m ? (m ? 4m ? 4) ? 0 ?m ? 1 ?

?
线段 MP 的斜率 Kmp

m 2 ? 4m ? 5 3

当 Kmp- f '(m) =0 时,解得 m ? ?1或m ? 2

y?(
直线 MP 的方程为
2

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 3 3
2

g ( x) ? f ( x) ? (


m ? 4m ? 5 m ? 4m x? ) 3 3

等价于



??1 ? m ? 5 ? ?m ? 2或m ? ?1, 解得2 ? m ? 5 ?m ? 1 ?

2 当 m ? 2 时, g '( x) ? x ? 2 x 在 (?1, 2) 上只有一个零点 x ? 0 ,可判断 f ( x ) 函数在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0, 2) 上单调

又因为 ?1 ? m ? 3 ,所以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2. 7.解析 (1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) 。

递减,又 g (?1) ? g (2) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (?1, 2) 上没有零点,即线段 MP 与曲线 f ( x ) 没有异于 M,P 的公共点。

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x 2分

由条件得: f '(2) ? 0,即2 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而
3

(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则

f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以

f ' ( x) ?

( x ? 1) 2 x

x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? ) ? ( x ? 2)( x2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
'

故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加。 (ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0
'

将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 (? ? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6.

故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加。 (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调增加. (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

f '( x) ?
9.解(Ⅰ)

?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2

a 2 ax 2 ? a ? 2 ? ? , ax ? 1 (1 ? x)2 (ax ? 1)(1 ? x)2

g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?


a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x

2 ∵ f ( x ) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0,即a 1 ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1.

x ? x2 ? 0 时有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 ? 由于 1<a<5,故 g ( x) ? 0 ,即 g(x)在(4, +∞)单调增加,从而当 1
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0 ,故 0 ? x1 ? x2 时,有 x1 ? x2 ,当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?1 x1 ? x2 x2 ? x1 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃 〃12 分
8.(Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x ? 3x ? 3x ? 3)e ,故
3 2 ?x

ax 2 ? a ? 2 f '( x) ? , (ax ? 1)(1 ? x)2 (Ⅱ)
∵ x ? 0, a ? 0, ∴ ax ? 1 ? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??). ②当 0 ? a ? 2 时,

f '( x) ? 0解得x ?


2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a 2-a 2-a ), 单调增区间为( , ? ?). a a

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x2 ? 6x ? 3)e? x ? ?e? x ( x?3 ? 9x) ? ? x( x ? 3)( x ? 3)e
?x

f ( x)的单调减区间为(0,


(Ⅲ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x)的最小值为f (0) ? 1;

当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0.

当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅱ)②知, f ( x ) 在

x?

2?a 2?a f( ) ? f (0) ? 1, a 处取得最小值 a

综上可知,若 f ( x ) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??).

0),(3, ? ?) 从而 f ( x)在(??, ?3),(0,3)单调增加,在(? 3, 单调减少.
(Ⅱ) f '( x) ? ?( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2 ?x

? (3x2 ? 6x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a].


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