对几道2014年高考数学题的多角度思考_图文


上海中学数学?2015年第1—2期

对几道2014年高考数学题的多角度思考
324400

浙江省龙游中学

张中华

笔者对2014年高考浙江理科卷的几道试题作 了多角度思考,得到一些不同于评卷标准中参考答 案的方法.



m≥3),

解题的繁与简在于方法的选择 例1 (2014浙江理一9)已知甲盒中仅有1个球

且为红球,乙盒中有m个红球和扎个蓝球(优≥3,九 ≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒
中.

一毒高焉蒜<嘶≥3,m≥3).因此,E(6)
<E(邑),pt>声z,故选A. 解法2:注意到m≥3,,z≥3,不妨设优一咒=3, (1)当i—l时,6的分布列如表3所示.
表3
el p
1 l 2 1

聪,一Ec最,一鬻一笺斋焘昔

由于p。一p。一蘸瓮嵩瑞>o(行≥3,

(a)放人i个球后,甲盒中含有红球的个数记 为e(i一1,2); (b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球 的概率记为pi(;一1,2).则( A.户l>pz,E(e1)<E(&) B.夕-<p2,E(a)>E(已)
C.户?>声2,E(£,)>E(已)




,。一


从而E(a)=号,户。一号×丢+专x 1一丢.
(2)当i一2时,岛的分布列如表4所示.
表4

1 1 2 3 5 3 1

D.夕?<户z,E(a)<E(已) 解法l:由题意可得, (1)当i一1时,e。的分布列如表1所示.
表1
6 p







●_一


___——

。_一




m十押

m十n

从而职户1×熹+2×熹=鬻,
p。=丢×焘+焉×?一焘罴.
(2)当i一2时,已的分布列如表2所示.
表2 a
户 1
2 3

从而E(&)=2,p:一号×÷+詈×号+÷×1
一号.因此,E(et)<E(&),p->pz,故选A.
解法3: 放入1个球(可红可蓝)后,从甲盒中有2个球(1 个红球,1个可红可蓝),取出一个红球的概率记为声。; 放入2个球(可红可蓝)后,从甲盒中有3个球(1 个红球,2个可红可蓝),取出一个红球的概率记为户:; 由概率的意义可知p。>p:(也可类比:在没饱 和的前提下,糖水加糖更甜等溶液混合浓度问题); 已知:数学期望E(手)反映的是随机变量享取值 的平均水平, 放人1个球(可红可蓝)后,甲盒中有2个球(1 个红球,1个可红可蓝),含有红球的个数的平均水 平为E(e。); 放入2个球(可红可蓝)后,甲盒中有3个球(1 个红球,2个可红可蓝),含有红球的个数的平均水 平为E(&);

C: C:+。

Q:g
C:+。

C蠹 C三+。

从而跳)=是×,+警×2+是×3
乙啪+n 乙m+^L,卅+”

3m2—3m+4m行+行2一行 (m+,z)(掰+行一1)


圹蕞×号+筹×号+蕞×,一
3m2—3m+2m行+行2一竹

3(m+挖)(撒+挖一1)



万方数据

32

上海中学数学?2015年第l一2期 显然前者的平均水平小于后者,即E(a)< 综上可知:f:<J,<j。,故选B

E(&).因此,E(手。)<E(已),pl>户2;故选A. 反思:本题策略不同,运算量明显不同,可见 解题的繁与简关键在于方法的选择.解法3立足 于数学概念的本质,体现了多想1分钟少算5分 钟的思想,也充分体现了数学源于生活,本题导向 性很好. 2运算的难与易在于分析的角度 ’例2 (2014浙江理一lo)设函数厂1(z)=z2,

^(z)一2(z—T2),厂(z)一寺『sin27啊I,口,一矗,i=
o,1,2,…,99,记J。一l^(口。)一^(no)I+ I^(盘z)一^(口t)I+…+l^(口。。)一^(口。s){,忌一
1,2,3.则(


A.Jl<12<J3 C.,1<J3<J2

B.jz<Jl<j3
D.f3<J『2<Jl

解法1:(1)当是一1时,函数,,(z)一z2在

[o,1]上单调递增,n,一南,i—o,1,2,…,99,


1—1

图2

则J。=『^(日。)一^(n0)|+I^(丑z)一^(口?)f+ …+l^(口99)一^(口98)j=,l(n1)一厂1(口o)+厂1(口2)
一,l(口1)+…+厂l(口99)一厂l(口98)一,1(口99)一 厂l(口o)一1. (2)当志=2时,函数,2(z)=2(T—z2)在

^虿一L

(3)当志一3时,函数,(T)一号I sin2肼I,如图
3所示.
j::2

A:。B。。I+2 A,。B,。I一2

A;。B。。l≈砉。

[o,号]上单调递增,在[号,1]上单调递减,
则J2=I^(口。)一^(锄)I+I五(日z)一五(n。)I+
…+I^(口。9)一^(n。s)I=^(口-)一^(口o)+^(n2)
一^(n1)+…+^(口49)一^(口48)+

I^(n50)一^(n。9)I+^(口5。)一^(口51)+…+
^(n98)一厂2(n99)一^(口49)一^(no)+
图3

l^(反so)一,2(口。9)l+五(a5。)一^(盘99)=^(口49)

反思:本题分析角度的不同,运算难度显著不 同,解题过程中及时处理题目的信息,内化为自己的 理解,通过模糊估计或找中间量的思想判断目标的 范围,以减少解题的盲目性和思维定势. 3信息的统与分在于化归的途径
例3

+^(n5。H^‰。)一冀?等<1.
(3)当志一3时,函数厂(z)=÷I sin27时I在

[。,丢],[丢,导]上单调递增,在[丢,丢],[导,?]
上单调递减,则J『s—I^(口?)一^(no)I+ I^(a。)一^(口。)I+…+I,s(口。s)一厶(口。s)}一 ^(n2。)一^(n。)+I^(n25)一厂3(口2a)f+^(口25)一 ^(口。9)+I^(口50)一^(n49)}+^(乜74)一^(口50) +f^(n75)一^(a7。)I+^(口75)一厂3(n99)
一2[^(乜25)一^(n。。)+^(n74)]

(2014浙江理一13)当实数z,y满足

fz+2y一4≤O

|{z~y一1≤o时,1≤口.r+y≤4恒成立,则实数n
【z≥l 的取值范围是 解法l:如图4,由于1≤n.r+y≤4,可以转化

一号(2sin器,r—sin詈石)≈号>?.

为不等式组忙髯;基.注意到恒成立,考虑参变

万方数据

上海中学数学?2015年第l一2期

33

线,因此它的最值必出现在几条约束直线的交点处, 量分 离 由 于







/● ●f、 ● 、

耋z

,从式子结构联想

所以求出三个交点A(1,o),B(2,1),c(1,睾),因为
≤ 1≤口z+y≤4恒成立,所以
+ ,● /、 ●【 参/r/r

{饕棚{鬻……足
(蓦)曲≥一口且一口≥(鬟)一,而(蜀)嘶一
是m一~,≥一,≥一n≥,≤口(誊;)…一志№一~导
j—n≥一要≥口≤要.综上可知:1≤口≤要.


“3—2

≤4,解得

们1 ≤4

l≤口≤詈.
反思:由题目结构特征 及相关信息,可转化为斜率、 公式,根据几何意义求出参 数范围;也可化归为线性问 题,寻找关键点,列出方程 组.两种方法均体现了转化 与化归的思想,殊途同归,各 有千秋.
一, 图5
、.

、j

一+逝~、


、、、

.:、 ’,


t’
、、、 、

2014年的高考落下帷幕,浙江卷的这几道题目
给笔者留下了深刻的印象,在关注试卷难易度时,师 生更应该思考试卷命题的导向.新课程改革的一个 目标是:“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬 背、机械训练的现状,倡导学生主动参与、乐于探究、 勤于动手,培养学生搜集和处理信息的能力,获取新 知识的能力,分析和解决问题的能力以及交流与合 作的能力.”或许教师可以从这里找到答案.

_,1.长i伊、_i¨

图4

解法2:根据已知实数z,y所满足的条件画出 可行域(如图5),因为目标函数z=nz+y是一条直

(上接第29页) 实上还可以借助图形来理解这一解法,如图1、图2. ≤2,所以口≤4. 而对于转化以后的I 2z—n

I≥1一{对z∈[2,

+∞)恒成立这一问题,还可以从反面思考,考虑命 题的否定,即j z∈[2,+。。),使l

2z一口I<1一÷,

这样可转化为了z∈[2,+。。),使三一1<2z—n<1



因此这个问题还可以利 用数形结合的思想来解决.把




.J+

.|

一要,也即{乏至{i三:至_:i二,得到口>4,从而得
到口≤4. 四、启示与思考 在解决问题时,不仅要关注结果,更要注意过程 中对数学本质的挖掘,实现真正意义上的“等价转 化”.解题教学中,教师要展示知识结论与方法的形 成过程,让学生能够理解问题的来龙去脉,把握问题 的实质.教师还应提供实战练习,进行有针对性的改 进与防范,完善学生的认知和思维结构,让学生对数 学多一份自信与成功的喜悦.


2T一口I+兰≥1对V.r∈(O,


? ≮ V
.口,2

.}
/ -,_一

+。。)恒成立转化为l 2T一口l


≥1一三对任意z>0恒成


./j

立.令‘厂(T)一l 2T一乜I,g(.r)


—l一三,由题意知,当z>o

时,厂(z)的图像要在g(z)图像上方,如图3,得到号

万方数据


相关文档

一道2014年高考导数题的多角度思考
论-对几道2014年高考数学题的多角度思考
对几道2014年高考数学题的多角度思考-论文
对几道2014年高考数学题的多角度思考(PDF X页)
对一道高考数学题的多角度思考
2014年高考数学安徽卷(理)第20题的解析与思考
昆明新思考2014年云南高考数学全真模拟
新思考教育2014年云南昆明高考数学(文)【新课标】
从不同视角对一道2014年北京高考数学题的解析-浙江嘉兴第一
电脑版
?/a>