2019学年高中数学北师大版必修五课件:1.2.2.2.1-等差数列的前n项和ppt讲练课件_图文


第一章 数 列

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栏目 导引

第一章 数 列

2.2

等差数列的前 n 项和
等差数列的前 n 项和

第 1 课时

1.数列的前 n 项和 (1)一般地, 我们称

a1+a2+…+an

为数列{an}的前 n 项和,

用 Sn 表示,即 Sn=a1+a2+…+an. (2)an 与 Sn 的关系:
? ?S1,n=1, an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

2.等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项、末项与项 数 Sn= 选用公式 首项、公差与项数 Sn=

n(a1+an) 2 ____________

n(n-1) na1+ d 2 ______________

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数.( × ) n(a1+an) (2)在公式 Sn= 中反映的是“首项、末项、项数” 2 与 Sn 的关系.( √ ) 1 (3)公式 Sn=na1+ n(n-1)d 反映了“首项、项数、公差”与 2 Sn 的关系.( √ ) (4) 若数列 {an} 中, a1 = 1 , an = 2n - 1 ,则其前 n 项和 Sn = [1+(2n-1)]n =n2.( √ ) 2

在等差数列{an}中,已知 a1=2,d=2,则 S20=( A.230 C.450 B.420

)

D.540 20×19 解析:选 B.S20=20a1+ d=20a1+190d=20×2+190×2 2
=420.

等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等 于( A.8 C.12 ) B.10 D.14

解析:选 C.设等差数列{an}的公差为 d,由等差数列的前 n 项 3×2 和公式,得 S3=3×2+ d=12,解得 d=2,则 a6=a1+(6 2 -1)d=2+5×2=12.

据科学计算, 运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列 火箭,在点火后 1 分钟通过的路程为 2 km, 以后每分钟通过的 路程增加 2 km,在达到离地面 240 km 的高度时,火箭与飞船 分离,则这一过程大约需要的时间是( A.10 分钟 C.15 分钟 B.13 分钟 D.20 分钟 )

解析: 选 C.由题意知火箭在这个过程中路程随时间的变化成等 差数列, 设第 n 分钟后通过的路程为 an, 则 a1=2, 公差 d=2, 2+2n an=2n,Sn= · n=240,解得 n=15 或 n=-16(舍去),故 2 选 C.

已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1=6,a3+a5 =0,则 S6=________.

解析:设等差数列{an}的公差为 d,
? ? ?a1=6, ?a1=6, 由已知得? 解得? ? ? ?2a1+6d=0, ?d=-2,

1 所以 S6=6a1+ ×6×5d=36+15×(-2)=6. 2

答案:6

1.等差数列{an}的前 n 项和公式与二次函数的关系 n(n-1)d (1)将等差数列前 n 项和公式 Sn=na1+ 整理成关于 2 d? d 2 ? n 的函数可得 Sn= n +?a1-2?n. 2 ? ? (2)等差数列前 n 项和 Sn 不一定是关于 n 的二次函数. 当公差 d=0 时,Sn=na1,不是项数 n 的二次函数.

(3)关于 n 的二次函数也不一定是某等差数列的前 n 项和.由 Sn=An2+Bn+C,当 C≠0 时,Sn 一定不是某等差数列的前 n d d 项和; 当 C=0 时,令 =A, a1- =B, 则一定能解出 a1 和 d, 2 2 因此这时 Sn 一定是某等差数列的前 n 项和.

2.等差数列前 n 项和的有关性质 (1)等差数列的依次 k 项之和 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公 差为 k2d 的等差数列. (2)若等差数列的项数为 2n(n∈N+),则 S2n=n(an+an+1)(an, S偶 an+1 an+1 为中间两项)且 S 偶-S 奇=nd, = . a S奇 n 若项数为 2n-1,则 S2n-1=(2n-1)an(an 为中间项)且 S 奇-S S偶 n-1 =an, = n . S奇


等差数列前 n 项和的有关计算 在等差数列{an}中, (1)已知 a3=16,S20=20.求 S10; 3 1 (2)已知 a1= ,d=- ,Sn=-15,求 n 及 a12; 2 2 (3)已知 a1+a2+a3+a4=40,an-3+an-2+an-1+an=80,Sn= 210,求项数 n.

【 解 】

(1) 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d , 则 有

?a1+2d=16, ? ? ?a1=20, ? 解得? 所以 S10=10×20+ 20(20-1) ? ?d=-2. 20a1+ d=20, ? 2 ? 10×9×(-2) =200-90=110. 2

3 n(n-1) ? 1? ?- ?=-15, (2)因为 Sn=n· + · 2 2 ? 2? 整理得 n2-7n-60=0, 解得 n=12 或 n=-5(舍去),
? 1? 3 所以 a12= +(12-1)×?-2?=-4. 2 ? ?

(3)因为 a1+a2+a3+a4=40,an-3+an-2+an-1+an=80, 所以 4(a1+an)=40+80,即 a1+an=30. (a1+an)n 又因为 Sn= =210, 2 2×210 所以 n= =14. a1+an

等差数列中的基本计算 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1,d,n,an 和 Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本 量 a1 和 d 的方程组,解出 a1 和 d,便可解决问题.解题时注意 整体代换的思想.

1.(1)已知等差数列{an}中,a1=4,S8=172, 则 a8=________,d=________. (2)在等差数列{an}中,已知公差 d=2,an=11,前 n 项和 Sn= 35,求 a1 和 n.

8(a1+a8) 8(4+a8) 解:(1)由已知,得 S8= = =172, 2 2 解得 a8=39, 又因为 a8=4+(8-1)d=39, 所以 d=5.故填 39 和 5.

?an=a1+(n-1)d, ? (2)由? n(n-1) S =na1+ d, ? 2 ? n ?a1+2(n-1)=11, ? 得? n(n-1) na + ×2=35, ? 2 ? 1
? ?n=5, ? ?n=7, 解方程组,得? 或? ? ? ?a1=3 ?a1=-1.

与等差数列前 n 项和有关的实际问题 有 30 根水泥电线杆,要运往 1 000 m 远的地方开始安 装,在 1 000 m 处放一根,以后每隔 50 m 放一根,一辆汽车每 次只能运 3 根, 如果用一辆汽车完成这项任务(最后返回原处), 这辆汽车的行程共有多少?

【解】

法一:如图,假定 30 根水泥电线杆存放在 M 处,

a1=|MA1|=1 000 m, a2=|MA2|=1 050 m, a3=|MA3|=1 100 m, … a30=(a3+150×9)m.

由于一辆汽车每次只能运 3 根, 故每运一次只能到 A3, A6, A9, …, A30 这些地方, 这样组成公差为 150, 首项为 1 100 的等差数列, 令汽车行程为 s, 则有 s=2(a3+a6+…+a30)=2(a3+a3+150×1 +…+a3+150×9)
? 9×10? ? ? =2?10a3+150× 2 ? ? ?

=2×(11 000+6 750)=35 500(m). 即这辆汽车的行程共有 35 500 m.

法二:根据题意,知汽车每次走的路程可构成一个等差数列, 其中 a1=(1 000+50×2)×2=2 200,a2=(1 000+50×5)×2= 2 500,….公差 d=150×2=300,项数为 10, 10×(10-1) 所以 Sn = 10a1 + d = 10×2 200 + 5×9×300 = 2 35 500,即这辆汽车的行程共有 35 500 m.

此类问题主要应用转化思想,把实际问题抽象转化为等差数列 求和问题.对于实际问题首先是根据问题给出的已知条件建立 数学模型,然后利用等差数列的前 n 项和公式求解,最后再回 到实际问题作出结论.

2.(1)甲、 乙两物体分别从相距 70 m 的两处同 时相向运动,甲第 1 分钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m,则甲、乙开始运动后____________分钟 相遇. (2)为了参加 5 000 m 长跑比赛,李强给自己制订了 10 天的训 练计划;第 1 天跑 5 000 m,以后每天比前一天多跑 400 m,李 强 10 天一共跑了多少 m?

n(n-1) 解: (1)设 n 分钟后相遇, 依题意, 有 2n+ +5n=70, 2 整理得 n2+13n-140=0.解之得 n=7, n=-20(舍去). 所以相 遇是在开始运动后 7 分钟.故填 7. (2)将李强每一天跑的路程记为数列{an}, 由题意知, {an}是等差 数列,则 a1=5 000 m,公差 d=400 m. 10×(10-1) 所以 S10 = 10a1 + d ,= 10×5 000 + 45×400 = 2 68 000(m),故李强 10 天一共跑了 68 000 m.

等差数列前 n 项和性质的应用 (1)已知等差数列前 3 项的和为 30, 前 6 项的和为 100, 则它的前 9 项的和为( A.130 C.210 ) B.170 D.260

(2)已知数列{an},{bn}均为等差数列,其前 n 项和分别为 Sn, Sn 2n+2 a5 Tn,且T = ,则 =________. b5 n+3 n

【解析】

(1)利用等差数列的性质:S3,S6-S3,S9-S6 成等

差数列.所以 S3+(S9-S6)=2(S6-S3), 即 30+(S9-100)=2(100-30),解得 S9=210. (2)由等差数列的性质,知 a1+a9 a1+a9 ×9 2 2 a5 S9 2×9+2 5 = = = = = . b5 b1+b9 b1+b9 T9 3 9+3 ×9 2 2 5 【答案】 (1)C (2) 3

等差数列前 n 项和的常用性质 (1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是等差数列.
?Sn? 1 ? ? (2)数列 n 是等差数列,公差为数列{an}的公差的 . 2 ? ?

am (3)涉及两个等差数列的前 n 项和之比时,一般利用公式 b = n 2n-1 S2m-1 · 进行转化,再利用其他知识解决问题. 2m-1 T2n-1

3.(1)在等差数列{an}中,若 S4=1,S8=4, 则 a17+a18+a19+a20 的值为( A.9 C.16 ) B.12 D.17

(2)等差数列{an}的通项公式是 an=2n+1,其前 n 项和为 Sn,
?Sn? 则数列? n ?的前 ? ?

10 项和为________.

解析:(1)由等差数列的性质知 S4, S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列, 不妨设为{bn},且 b1=S4=1,b2=S8-S4=3, 于是求得 b3=5,b4=7,b5=9, 即 a17+a18+a19+a20=b5=9.

(2)因为 an=2n+1, 所以 a1=3, n(3+2n+1) 所以 Sn= =n2+2n, 2 Sn 所以 n =n+2,
?Sn? 所以? n ?是公差为 ? ?

1,

首项为 3 的等差数列, 10×9 10 项和为 3×10+ ×1=75. 2 答案:(1)A (2)75
?Sn? 所以数列? n ?的前 ? ?

思想方法

等差数列前 n 项和公式的灵活运用

在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,求 S110.

【解】 法一:(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 10(10-1) ? d=100, ?10a1+ 2 d,则? ?100a +100(100-1)d=10. 1 2 ?

1 099 ? ?a1= 100 , 解得? ?d=-11 . ? 50 110(110-1) 故 S110=110a1+ d 2 1 099 110×109 ? 11 ? =110× + ×?-50?=-110. 100 2 ? ?

法二:(设而不求整体代换法)因为 S10=100,S100=10, 90(a11+a100) 所以 S100-S10=a11+a12+…+a100= =-90. 2 故 a11+a100=-2. 又因为 a1+a110=a11+a100=-2, 110(a1+a110) 所以 S110= =-110. 2

法三:(新数列法)因为 S10,S20-S10, S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列, 所以设该数列公差为 d, 10×9 则其前 10 项和为 10×100+ · d=10, 2 解得 d=-22. 10×11 10×11 故其前 11 项和为 11×100+ d=11×100+ ×(-22) 2 2 =-110.

Sn 法四: (运用函数观点解决问题)由于 f(n)= 是关于 n 的一次函 n
? 100? ? 10 ? ? S110? 数,而点?10, 10 ?,?100,100?,?110, 110?在其图像上,由斜 ? ? ? ? ? ?

率相等, S110 100 10 100 - - 110 10 100 10 得 = ?S110=-110. 110-10 100-10

法五:(待定系数法)设数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn(A,B 为常数),则
2 ? ?S10=A×10 +B×10=100,① ? 2 ? ?S100=A×100 +B×100=10,②

11 111 解得 A=- ,B= . 100 10 故 S110=A×1102+B×110 11 111 2 =- ×110 + ×110=-110. 100 10

法一是运用基本量方法;法二则利用了基本计算中常用的整体 代换方法;法三是利用等差数列前 n 项和的性质构造新数列; 法四的巧妙之处在于把握住了数列的函数本质;法五利用 Sn 是关于 n 的二次函数 Sn=An2+Bn.根据已知条件确定待定系数 A,B 后,便可求出数列{an}的前 n 项和公式,这样可以求某些 项的和.

1.已知在等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前 10 项的和 S10 等于( A.100 C.380 ) B.210 D.400

a4-a2 15-7 解析:选 B.d= = =4, 2 4-2 a1=3,所以 S10=210.

2.在等差数列{an}中,已知 a1=10,d=2,Sn=580,则 n 等 于( A.10 C.20 ) B.15 D.30

1 1 解析:选 C.因为 Sn=na1+ n(n-1)d=10n+ n(n-1)×2=n2 2 2 +9n,所以 n2+9n=580,解得 n=20.

S奇 11 3.在等差数列{an}中,S10=120,且在这 10 项中, = ,则 S偶 13 公差 d=________.

?S奇+S偶=120 ? ? ?S奇=55 解析:由?S奇 11 ,得? ,所以 S 偶-S 奇=5d=10, ? S = 65 = ? 偶 ? 13 S ? 偶 所以 d=2.

答案:2

4.在等差数列{an}中, (1)已知 a5+a10=58,a4+a9=50,求 S10; (2)已知 S7=42,Sn=510,an-3=45,求 n.

解:(1)由已知条件得
? ? ?a5+a10=2a1+13d=58, ?a1=3, ? 解得? ? ? ?a4+a9=2a1+11d=50, ?d=4,

10×9 S10=10a1+ ×d=10×3+45×4=210. 2 7(a1+a7) (2)S7= =7a4=42,所以 a4=6. 2 n(a1+an) n(a4+an-3) n(6+45) Sn= = = =510, 2 2 2 所以 n=20.

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