福建省罗源县第一中学2013届高三第二次月考数学(理)试题


完卷时间:120 分钟



分:150 分

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. 在复平面内,复数 A. (1,1)
2

2i 对应的点的坐标为( ) 1? i B. (?1,1) C. (?1, ?1)
B. (0,1) C. [0,1]

D. (1, ?1) )

2. 不等式 x ? x ? 0 的解集为 M , f ( x) ? ln( ? | x |) 的定义域为 N ,则 M ? N ? ( 1 A. [0,1) D. (?1,0] )

3.命题“ ?x ?[1,2], x2 ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是( A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 5 D. a ? 5

4.已知向量 a =(1,2) b =(1,0) c =(3,4).若 ? 为实数, (a ? ?b)∥ ,则 ? =( , , c A.

?

?

?

?

?

?



1 4

B.

1 2

C.1

D.2

5. 将函数 y ? sin( x ? 得图象向左平移

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所

? 个单位,则所得函数图象对应的解 析式为( ) 3 1 ? ? 1 1 ? A. y ? sin( x ? ) B. y ? sin(2 x ? ) C. y ? sin x D. y ? sin( x ? ) 2 3 6 2 2 6 x ?1 6.过点(0,1)且与曲线 y ? 在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( ) x ?1
A. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 2 ? 0

?y ? 2 ? 7.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3 x ? y 的最大值为( ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 ) C. 2 D. 4 C.3 D. ?1



8.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 ,点 P 在 AM 上,且满足 AP ? 2 PM ,则

??? ?

???? ?

??? ??? ??? ? ? ? PA ? (PB ? PC) 的值为(

A. ?4

B. ?2

9.函数 y ?

ln | x | 的大致图象为( ) x

A

B

C

D

10. 已知偶函数 f(x) 的周期为 2,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x ,如 果在区间 [?1, 3] 内, 函数 F ( x) ? f ( x) ? kx ? k ? 2 ( k ? R 且 k ? ?2 )有 4 个不同的零点,则 k 的取值范围 是( A. (? )

3 ,0) 4

B. (?1, 0)

C. (? , 0)

1 2

D. (?

2 ,0) 3

11.设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1)2 +(y ?1)2 =1相切,则 m +n 的取值范围是( ) B. ( ? ?,1 ? 3] ? [1+ 3,+?) D. ( ? ?,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?)

A. [1 ? 3,1+ 3] C. [2 ? 2 2,2+2 2]

12. 已知函数 f ( x) ? 3x ? 2 , ? R .规定:给定一个实数 x0 ,赋值 x1 ? f ( x0 ) ,若 x

x1 ≤244,则继续赋值 x2 ? f (x1 ), ?,以此类推,若 xn?1 ≤244,则 xn ? f ( xn-1 ) ,否
则停止赋值, 如果得到 xn 称为赋值了 n 次 (n ? N* ) . 已知赋值了 k 次后该过程停止, x0 则 的取值范围是( A. (3
k ?6 k ?5

) B. (3k ?6 ? 1, k ?5 ? 1] 3 D. (34?k ? 1, 5?k ? 1] 3

, ] 3 5?k C. (3 ? 1, 6?k ? 1] 3

第Ⅱ卷(非选择题
13.计算定积分

共 90 分)
. .

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.

?

1

?1

( x 2 ? sin x)dx ?

14.已知 sin(? ? ? ) ? ?2sin(

?
2

? ? ) ,则 sin 2? =

15. 圆 C 过坐标原点,圆心在 x 轴的正半轴上.若圆 C 被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 2 2 , 则圆 C 的方程是 .

16. 已知函 数 f (x ) 在 [a , b] 上的图像是连续不断的,且对任意 x1 , x 2 ? [a, b] , ? ? 0 (其中

x1 ? ?x2 f ( x1 ) ? ?f ( x2 ) )? 成立, f ' ( x) 是 f (x) 的导函数,现给出如下 1? ? 1? ? 命题:① f (x) 在区间 ( a, b) 内必有极大值;② f (x) 在区间 ( a, b) 上单 调递增;③必定存在唯

x1 ? x 2 ) ,都有 f (

一的 x0 ? (a, b) ,使得 f ' ( x0 ) ? 其中真命题的序号是

f (a) ? f (b) ;④导函数 f ' ( x) 在区间 ( a, b) 上单调递减. a ?b


三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17. (本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .向量 m ? ?1, cosB ? ,

n ? sin B, ? 3 ,且 m ? n .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 面积为

?

?

3 3 , a ? 2 ,求 b 的值. 2

18. (本小题满分 12 分) 已知 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2an ? n(n ? N * ) (I)求证 {an ? 1} 是等比数列,并求 an ; (II)设 bn ? nan ? n ,求数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? 的部分图像如图所示. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

)

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

20. (本小题满分 12 分) ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 在 ?ABC 中 , 已知 AB? AC ? 3BA? BC .
[来

(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

21. (本小题满分 12 分)

? 1 ?6 ? x ,0 ? x ? c ? 工厂生产某种产品,次品率 p 与日产量 x(万件)间的关系为: p ? ? (c ?2 , x ? c ?3 ?
为常数,且 0<c<6) .已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元,每出现 1 件次品亏损 1.5 元. (1)将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数; (2 )为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率=

次品数 ? 100% ) 产品总数

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)当 a ?

a (a ? R) . x ?1

9 时,如果函数 g ( x) ? f ( x) ? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2

(2)当 a ? 2 时,试比较 f (x) 与 1 的大小; (3)求证: ln( n ? 1) ?

1 1 1 1 ? ? ??? ( n ? N* ). 3 5 7 2n ? 1

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