2019学年高中数学第一章坐标系2点的极坐标与直角坐标的互化课件北师大版选修4_图文


2.1 & 2.2 §2 第 一 章 极 坐 标 系 极坐标 系的概 念 点的极 坐标与 直角坐 标的互 化

理解教 材新知
考点一 把握热 点考向

考点二
考点三

应用创 新演练

§ 2

极坐标系

2.1&2.2 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化

[自主学习]

1.极坐标系的概念 (1)极坐标系: 在平面内取一个定点 O,叫作 极点 ,自极点 O 引一条 射线 Ox,叫作 极轴;选定一个 单位长度 和角的正方向 (通 常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

(2)点的极坐标:对于平面上任意一点 M,用 ρ 表 示 线段 OM 的长 ,用 θ 表示以 Ox 为始边,OM 为终边 的角度,ρ 叫作点 M 的 极径 ,θ 叫作点 M 的 极角 ,有 序实数对 (ρ,θ)就叫作点 M 的极坐标,记作 M(ρ,θ).

①特别地,当点 M 在极点时,它的极径 ρ= 0 ,极角 θ 可以取任意值; ②点与极坐标的关系:平面内一点的极坐标可以 有 无数对,当 k∈Z 时,(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ) ,(-ρ,θ+
(2k+1)π) 表示同一个点,如果规定 ρ>0, 0≤θ<2π 或者

-π<θ≤π ,那么除 极点 外,平面内的点和极坐标就一
一对应了.

2.点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件: ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与 x 轴的正半轴重合; ③两种坐标系取相同的长度单位.

(2)极坐标与直角坐标的互化: ①将点 M 的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系
? ?x=ρcos θ, ? ? ?y=ρsin θ

式为

.

②将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式 2 2 2 ρ = x + y , ? ? ? y tan θ=x?x≠0? ? ? 为 .

[合作探究]

1.极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系?
提示:区别:平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴 为几何背景,而极坐标以角和距离为背景. 联系:二者都是平面坐标系,用来研究平面内点与距 离等有关问题.

2.点 M(ρ,θ)关于极轴、极点以及过极点且垂直于极 轴的直线的对称点的坐标各为什么?

提示:(ρ,2π-θ),(ρ,π+θ),(ρ,π-θ).
3.把直角坐标转化为极坐标时,表示方法唯一吗?

提示:通常有不同的表示法.(极角相差 2π 的整数倍)

由极坐标确定点的位置
[例 1] 在极坐标系中,画出点
? ? π? 9π? C?3,-4 ?,D?4, 4 ?. ? ? ? ? ? ? π? 3π? A?1,4?,B?2, 2 ?, ? ? ? ?

[思路点拨]

本题考查极坐标系以及极坐标的概念, 同

时考查数形结合思想,解答此题需要先建立极坐标系,再 作出极角的终边,然后以极点 O 为圆心,极径为半径分别 画弧,从而得到点的位置.

[精解详析]

π π 在极坐标系中先作出 线,再在 线上截取 4 4
? π? A?1,4 ?.同样可作出点 ? ? ? 3π? B?2, 2 ?, ? ?

|OA|=1,这样可得到点

? ? π? 9π? C?3,-4 ?,D?4, 4 ?,如图所示. ? ? ? ?

由极坐标确定点的位置的步骤 (1)取定极点 O; (2)作方向为水平向右的射线 Ox 为极轴; (3)以极点 O 为顶点,以极轴 Ox 为始边,通常按逆 时针方向旋转极轴 Ox 确定出极角的终边; (4)以极点 O 为圆心,以极径为半径画弧,弧与极角 终边的交点即是所求点的位置.

? ? π? π? 1.在极坐标系中,作出以下各点: A(4,0),B?3,4 ?,C?2,2?, ? ? ? ? ? 7π? D?3, 4 ?;结合图形判断点 ? ?

B,D 的位置是否具有对称性;并

求出 B, D 关于极点的对称点的极坐标. (限定 ρ≥0, θ∈[0,2π))

解:如图,A,B,C,D 四个点分别是唯一确定的.

由图形知 B,D 两点关于极轴对称,且 B,D 关于极点的
? 5π? ? 3π? 对称点的极坐标分别为?3, 4 ?,?3, 4 ?. ? ? ? ?

化极坐标为直角坐标
[例 2] 已知
? ? π? 2π? A?3,-3 ?,B?1, 3 ?,将 ? ? ? ?

A,B 坐标化为直

角坐标,并求 A,B 两点间的距离.

[思路点拨]

本题考查如何将极坐标化为直角坐标,解

答此题需要利用互化公式先将极坐标化为直角坐标,再由两 点间的距离公式得结果.

[精解详析]



? ? π? 2π? A?3,-3 ?,B?1, 3 ?由极坐标化为直角坐标, ? ? ? ?

对于点 A,有

? π? 3 x=3cos?-3 ?= , ? ? 2

?3 ? π? 3 3 3 3? ? ? y=3sin?-3 ?=- ,∴A? ,- . ? 2 2 ? ? ? ?2

2π 1 2π 3 对于点 B,有 x=1×cos =- ,y=1×sin = , 3 2 3 2 1 3 ∴B(- , ). 2 2 ∴|AB|=
? 3 3 ?3 1? 2 ? + ? +? - - ? 2 2 2 ? ? ?

3? ?2 2? ?

= 4+12=4.

1.将极坐标 M(ρ,θ)化为直角坐标(x,y),只需根据公
? ?x=ρcos θ, 式:? ? ?y=ρsin θ

即可得到;

2.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的极坐标问题转 化为熟悉的直角坐标问题求解.

本例中如何由极坐标直接求 A,B 两点间的距离?

解:根据 M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2),则由余弦定理得:
2 |MN|= ρ2 + ρ 1 2-2ρ1ρ2cos?θ1-θ2?,

所以|AB|=

3 +1

2

2

?2π ? π?? ? ? ? - - -2×3×1×cos? =4. ?3 ? 3 ? ?? ?

化直角坐标为极坐标

[ 例 3] 0≤θ<2π).

分别将下列点的直角坐标化为极坐标 (ρ>0 ,

(1)(-1,1),(2)(- 3,-1).
[思路点拨] 本题考查如何将直角坐标化为极坐标,

同时考查三角函数中由值求角问题, 解答此题利用互化公 式即可,但要注意点所在象限.

[精解详析]

(1)∵ρ=

?-1?2+12= 2,

tan θ=-1,θ∈[0,2π), 又点(-1,1)在第二象限, 3π ∴ θ= . 4
? ∴直角坐标(-1,1)化为极坐标为? ?

3π? 2, ?. 4?

(2)ρ= ?- 3?2+?-1?2=2, -1 3 tan θ= = ,θ∈[0,2π), - 3 3 ∵点(- 3,-1)在第三象限, 7 ∴θ= π. 6 ∴直角坐标(-
? 7π? 3,-1)化为极坐标为?2, 6 ?. ? ?

将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)时,运用公式 ?ρ= x2+y2, ? y ? 即可, 在[0,2π)范围内, 由 tan θ=x(x≠0) y tan θ=x?x≠0? ? ? 求 θ 时, 要根据直角坐标的符号特征, 判断出点所在象限, 如果允许 θ∈R,再根据终边相同的角的意义,表示为 θ +2kπ,k∈Z 即可.

2.将下列各点由直角坐标化为极径 ρ 是正值,极角在 0 到 2π 之间的极坐标. (1)(3, 3);(2)(-2,-2 3).

y 3 解:(1)ρ= 3 +? 3? =2 3,tan θ=x= , 3
2 2

π 又点(3, 3)在第一象限,所以 θ= . 6 所以点(3,
? 3)的极坐标为?2 ?

π? 3, ?. 6?

(2)ρ= ?-2?2+?-2 3?2=4, y -2 3 tan θ=x= = 3, -2 4π 又点(-2,-2 3)在第三象限,所以 θ= . 3 所以点(-2,-2
? 4π? 3)的极坐标为?4, 3 ?. ? ?

本课时常考查极坐标的确定及点的直角坐标与极坐标 的互化,特别是直角坐标化为极坐标常与三角知识交汇命 题,更成为命题专家的新宠.

[考题印证] 点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的极坐标为
? π? A.?2, 3? ? ? ? π? C.?2,-3 ? ? ? ? 4π? B.?2, 3 ? ? ? ? 4π? D.?2,- 3 ? ? ?

(

)

[ 命题立意 ]

本题主要考查点的极坐标与直角坐标

的互化,同时还考查了三角知识及运算解题能力.

[自主尝试] - 3 ρ= 1 +?- 3? =2,tan θ= =- 3, 1
2 2

又点(1, - 3)在第四象限, 所以 OP 与 x 轴所成的角为
? 5π? 5π ,故点 P 的一个极坐标为?2, 3 ?,排除 A,B 选项.又- 3 ? ? ? 4π? 4 2 π+2π= π,所以极坐标?2,- 3 ?所表示的点在第二象限, 3 3 ? ?

π 5 故 D 不正确,而- +2π= π. 3 3 [答案]

C

一、选择题 1.点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示 为
? π? A.?2,4 ? ? ? ? 5π? C.?2, 4 ? ? ? ? 3π? B.?2, 4 ? ? ? ? 7π? D.?2, 4 ? ? ?

(

)

解析:ρ= ?- 2?2+? 2?2=2, 2 tan θ= =-1, - 2 ∵点 P 在第二象限, 3π ∴最小正角 θ= . 4

答案:B

2. 在极坐标系中与点 点的极坐标是
? 2π? A.?3, 3 ? ? ? ? 4π? C.?3, 3 ? ? ?

? π? A?3,-3 ?关于极轴所在的直线对称的 ? ?

(
? π? B.?3,3 ? ? ? ? 5π? D.?3, 6 ? ? ?

)

解析:与点

? π? A?3,-3?关于极轴所在直线的对称的点的极 ? ?

? π? 坐标可以表示为?3,2kπ+3 ?(k∈Z), 这时只有选项 ? ?

B 满足

条件.

答案:B

3 .在极坐标系中,若等边△ABC 的两个顶点是
? 5π? B?2, 4 ?,那么可能是顶点 ? ? ? 3π? A.?4, 4 ? ? ? ? B.?2 ?
? ? ? ?

? π? A ?2,4 ? , ? ?

C 的坐标的是

(

)

3π? 3, ? 4?
?

C. 2 3,π

? ? ?

D.??3,π??

解析:如图,由题设,可知 A,B 两点 关于极点 O 对称,即 O 是 AB 的中点. 又|AB|=4,△ABC 为正三角形, π ∴|OC|=2 3,∠AOC= ,点 C 的极角 2 π π 3π 5π π 7π θ= + = 或 + = , 4 2 4 4 2 4 即点 C
? 的极坐标为?2 ?

3π? ? 7π? 3, ?或?2 3, ?. 4? ? 4?

答案:B

4.若 ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,则点 M1(ρ1,θ1)与点 M2(ρ2,θ2) 的位置关系是 A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.关于过极点垂直于极轴的直线对称 D.两点重合
解析: 因为点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称的点为 (-ρ,π- θ).由此可知点(ρ1,θ1)和(ρ2,θ2)满足 ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π, 是关于极轴所在直线对称.

(

)

答案:A

二、填空题 π 5.将极轴 Ox 绕极点顺时针方向旋转 得到射线 OP,在 OP 6 上取点 M,使|OM|=2,则 ρ>0,θ∈[0,2π)时点 M 的极 坐 标 为 ________ , 它 关 于 极 轴 的 对 称 点 的 极 坐 标 为 ________(ρ>0,θ∈[0,2π)).
解析:ρ=|OM|=2, π 与 OP 终边相同的角为- +2kπ(k∈Z). 6
? 11π? 11π ∵θ∈[0,2π),∴k=1,θ= .∴M?2, 6 ?. 6 ? ?

? ? π 答案:?2,11π? ∴M 关于极轴的对称点为(2, ). 6 ? ? 6

? π? ?2, ? 6? ?

6.点

? π? A?5,3 ?在条件: ? ?

(1)ρ>0,θ∈(-2π,0)下的极坐标是________; (2)ρ<0,θ∈(2π,4π)下的极坐标是________.
解析:(1)当 ρ>0 时,点 A ∈Z), ∵θ∈(-2π,0).令 k=-1,点 A 符合题意.
? 5π? 的极坐标为?5,- 3 ?, ? ? ? π? 的极坐标形式为?5,2kπ+3 ?(k ? ?

(2) 当 ρ<0 时 ,

? π? ?5, ? 3? ?

的 极 坐 标 的 一 般 形 式 是

? π? ?-5,?2k+1?π+ ?(k∈Z). 3? ?

∵θ∈(2π,4π),当 k=1 时,点 A 符合题意.
? 5π? 答案:?5,- 3 ? ? ? ? 10π? (2)?-5, 3 ? ? ?

? 10π? 的极坐标为?-5, 3 ?, ? ?

7.直线 l 过点

? ? π? π? A?7,3 ?,B?7,6 ?,则直线 ? ? ? ?

l 与极轴所在直线

的夹角等于________.
解析:如图所示,先在图形中找到直线 l 与极轴夹角(要注 意夹角是个锐角), 然后根据点 A, B 的位置分析夹角大小. π π π 因为|AO|=|BO|=7,∠AOB= - = , 3 6 6 π π- 6 5π 所以∠OAB= = . 2 12 π 5π π 所以∠ACO=π- - = . 3 12 4 π 答案: 4

8.已知两点的极坐标是

? ? π? π? A?3,12?,B?-8,12?,则 ? ? ? ?

AB 中点

的一个极坐标是________.
解析:画出示意图,A,B 与极点 O 共线, 1 5 ∴ρ= (3-8)=- , 2 2 π θ= . 12
? 5 π? 故 AB 中点的一个极坐标为?-2,12?. ? ? ? 5 π? 答案:?-2,12? ? ?

三、解答题 9.设有一颗彗星,围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好 位于该抛物线的焦点处,当此彗星离地球 30 万千米时, 经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为 30° ,试 建立适当的极坐标系,写出彗星此时的极坐标.

解:如图所示,建立极坐标系,使极点 O 位于抛物线的 焦点处,极轴 Ox 过抛物线的对称轴,由题设可得下列 4 种情形:

①当 θ=30° 时,ρ=30(万千米); ②当 θ=150° 时,ρ=30(万千米); ③当 θ=210° 时,ρ=30(万千米); ④当 θ=330° 时,ρ=30(万千米). ∴彗星此时的极坐标有 4 种情形:(30,30° ),(30,150° ), (30,210° ),(30,330° ).

10. 在极坐标系中, 点 A 和点 B O 为极点. (1)求|AB|;(2)求 S△AOB.

? π? 的极坐标分别为?2,3 ?和(3,0), ? ?

2 解:|AB|= ρ2 1+ρ2-2ρ1ρ2cos?θ1-θ2?



2 +3

2

2

?π ? -2×2×3×cos?3-0? ? ?

= 4+9-6= 7. 1 S△AOB= |OA|· |OB|· sin ∠AOB 2 ?π ? 1 = ×2×3×sin?3-0? 2 ? ? 3 3 = . 2

11.在极坐标系中,如果

? ? π? 5π? A?2,4?,B?2, 4 ?为等边三角形 ? ? ? ?

ABC 的两个顶点,求顶点 C 的极坐标.
解:法一:对于
? π? A?2,4 ?有 ? ?

π ρ=2,θ= , 4

π ∴x=ρcos θ=2cos = 2, 4 π y=ρsin θ=2sin = 2. 4 ∴A( 2, 2). 对于
? 5π? B?2, 4 ?有 ? ?

5 ρ=2,θ= π. 4

5π ∴x=2cos =- 2, 4 5π y=2sin =- 2. 4 ∴B(- 2,- 2). 设 C 点的坐标为(x, y), 由于△ABC 为等边三角形, 故有|AB| =|BC|=|AC|. ∴有(x+ 2)2+(y+ 2)2=(x- 2)2+(y- 2)2 =( 2+ 2)2+( 2+ 2)2.
? ??x- ∴有? ? ??x+

2?2+?y- 2?2=16, 2?2+?y+ 2?2=16.

? ?x= 6, 解之得? ? ?y=- 6,

? ?x=- 或? ? ?y= 6.

6,

∴C 点的坐标为( 6,- 6)或(- 6, 6). - 6 ∴ρ= 6+6=2 3,tan θ= =-1. 6 7π 3π ∴θ= 或 θ= . 4 4 ∴点 C
? 的极坐标为?2 ?

7π? ? 3π? 3, ?或?2 3, ?. 4? ? 4?

法二:设 C 点的极坐标为(ρ,θ)(0≤θ<2π,ρ>0). 则有|AB|=|BC|=|AC|.
? π? ? 2 2 2 2 ? ? θ - ρ + 2 - 2 × 2 ρ cos = 2 + 2 -2×2×2cos π, ? 4 ? ? ∴? ? ? ?ρ2+22-2×2ρ cos?θ-5π?=22+22-2×22cos π. 4? ? ?

?ρ=2 3, ? 解之得? 3π θ= ? 4 ? ∴点 C

?ρ=2 3, ? 或? 7π θ= . ? 4 ? 3π? ? 7π? 3, ?,?2 3, ?. 4? ? 4?

? 的极坐标为?2 ?

加油学习


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